二次曲線的漸近方向ppt課件

1、5.1 5.1 二次曲線與直線的相關位置二次曲線與直線的相關位置第五章第五章 二次曲線的普通實際二次曲線的普通實際5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線二次曲線的漸近方向、中心、漸近線5.3 二次曲線的切線二次曲線的切線5.4 二次曲線的直徑二次曲線的直徑5.5 二次曲線的主直徑和主方向二次曲線的主直徑和主方向5.6 二次曲線方程的化簡與分類二次曲線方程的化簡與分類5.7 運用不變量化簡二次曲線的方程運用不變量化簡二次曲線的方程第五章第五章 二次曲線的普通實際二次曲線的普通實際教學安排闡明教學安排闡明122.3.1.2.課時通過本章的學習，使學生理解二次曲線和直線的相關位置；掌握二次曲線的漸

2、近方向、漸近線、中心、切線等概念；掌握二次曲線的直徑、方向等；熟悉二次曲線的化簡和分類。1.二次曲線的漸近方向、漸近線、中心、切線等概念；二次曲線的直徑、方向等；二次曲線的化簡和分教學時數：本章教學目標及要求：本章教學重點 本章教學難類。二次曲線的相關理論； 二次曲線的化點簡和分類。5.1 5.1 二次曲線與直線的相關位置二次曲線與直線的相關位置2課時二次曲線與直線的相關位置；1.二次曲線與直線的相關位置的討論； 2.一些符合的記憶。 1.理解并記憶一些符合； 2.掌握二次曲線與直線的相關位置； 3.熟悉二次曲線與直線的相關位置的條件； 教學時數：教學重點：教學難點：教學目標：4.培養(yǎng)學生分析

3、問題和解決問題的能力。引論引論一、平面上的二次曲線221112221323332220(1)a xa xy a ya xa y a。其一般形式是：平面上由二元二次方程所表示的曲叫做二次曲。線線( , )1x yxy如果點的坐標中有虛數，我們仍然認為它表示平面上的一點，并把它叫做虛點； 相對于把 、都是實數對應的點叫做實點； 實點和虛點統(tǒng)稱為復點。我們把對應坐標為共軛虛數的點叫做共.復點：軛虛點。二、平面上的虛元素如圓、曲、物等。橢圓雙線拋線111222121212( ,)()14,1MMx yxyxxyyMM Mxy設、為兩個復點，則點分成定比 的坐標是、.定比分點公式：。C0A B CAxB

4、y 若 、 、 與三個實數成比例, 則方程為實直線，否則為虛直線。 虛直線和實直線統(tǒng)稱為復直線。 只討論實系數方程， 它表示的曲線上可3.復直線：能有虛點。11122221211212(,),(,)2MMxyxyM MxxyyM M設是平面上的兩個復點，且的坐標，中至少有一個為虛數，稱為虛向量。相對于虛向量前面所講的向量稱為實向量。虛向量、實向量統(tǒng)稱為.復向量：復向量。2. 復向量復向量0000(,):XxxtxyX YyyYt過點且方向為的直。的參數方程為線三、一些記號三、一些記號22111222132333( , )222Fx ya xa xya ya xa ya；1111213( ,)F

5、x ya xa ya；2122223( ,)Fx ya xaya；3132333( ,)Fx yaxaya；22111222( , )2x ya xa xya y；1112*1222( , )xaaAyaa叫的矩陣；111213122223132333( , )aaaAaaaF x yaaa叫的矩陣；11122Iaa；111221222aaIaa；1112133122223132333=aaaIaaaaaa；11132223113332333=aaaaKaaaa。123( , )( , )( , )( , )FFFFx yxx yyx yx y可以驗證：。22111222132333( ,)2

6、220(1)Fxya xa xya ya xa ya 下面我們二次曲討論線111222221101200220130230332221101201312022023(2)2(222)03()()XXYYXaaata xa yaa xa yaY ta xa x ya ya xa ya（ ） 即：5.1 5.1 二次曲線與直線的相關位置二次曲線與直線的相關位置200100200(, )2(,)0(,)(,)X Y tFXFtFxyxy Yxy(4)0000(2)(,):(2)(1)Xxxtx yX YyyYtt和過點且方向為的直參數方程的交情況。我們先把方程代入方程，整理得關于 的方程：（）線點t

7、下面我們這個于 的方程，從而了解(1)和(2)的交點情況。討論關一、一、(X,Y)0(X,Y)0的情況的情況200100200,()2(,) 0(,)(,)X YXtFFY t F x yx yx y+對方程210020000,0(4)4(,)(,)4,(,)X YtF xyXFxy YX Y F xy當 （）時：方程是關于 的二次方程，判別式（）。12(4)(210)(.)1tt 方程有兩個不等的實根 與 ，直線與二次曲線有兩個不同的：實交點；12(4)(210)(2).tt 方程有兩個相同的實根 與，直線與二次曲線有兩個重合的：實交點；(4)(2)30. 方程有兩個共軛虛根，直線與二次曲線

8、(1)有兩個共軛的：虛交點。222222/410/413 +2401+20 xyxyxyxyxyx y 都是兩個交點：。如和有兩個不同的實交點；和有兩個 共同點重合的實交點；和有兩個共軛的虛交點。100200(,)(,)0(2)(1)1XFFYxyxy當.時：直線與二次曲線有唯一的實交點；10020000( ,)( ,)00(4)(2)(21)( ,)XF x yF x y YF x y當且時 ： 是矛盾方程，直線與二次曲線沒有交點；.10020000(,)(,)0(,) 0(4)(2)(1)3F x y X F x y YF x y當且時：是恒等式，直線的全部在二次曲線上。.19014.P作

9、、業(yè)：二、二、(X,Y)=0(X,Y)=0的情況的情況200100200)(,(,)0.(, ) 02(,)(,)X Y tFX FY t F x yX Ytx yx y=+ 對方程當時是關于 的一次方程， 又分三種情況：1.2.3.復元素； 記號；直線和二次曲線的相小結：關位置。2200 xyxy直線在曲線上.221yxy曲線和直線交于一點.雙曲線和它的漸近線不相交.5.2 5.2 二次曲線的漸近方向二次曲線的漸近方向 中心中心 漸近線漸近線2課時二次曲線的漸近方向和漸近線；1.二次曲線的漸近方向的討論； 2.二次曲線的中心。 1.理解漸近方向、中心和漸近線； 2.掌握二次曲線的分類； 教學

10、時數：教學重點：教學難點： 3.熟悉有心和無心二次曲線教學目標：的概念。復習復習3.4.5.6.1.平面上的二次曲線； 2.復點；復向量；復直線；定比分點公式；一 一、概念：些記號。1.02030(,0.).X Y ：直線與二次曲線有兩個不同的實交點；：直線 與二次曲線有兩個重合的實交點；：直線與二次曲線有兩個共軛二、的虛交點。10020010020010020000001( ,)( ,)02( ,)( ,)003( ,)( ,)( ,) 0( ,0)F x y XF x y YF x y X F x y YF x y X F x y Y F x yF x yX Y.時， 直線與二次曲線有唯一

11、的實交點；、時， 直線與二次曲線沒有交點；時， 直線的全部都在二次曲線上。.、.三一、二次曲線的漸近方向一、二次曲線的漸近方向1,0:X YX Y ：滿足條件的方向叫做二次曲線(1)的漸近方向，否則叫做非漸 定義近方向。11122211222111221212112222122111122440:20(, ) 0+=0()2()():XXa XYYXX YYaX Ya XYa Yaaaaa aaaIaa 證：因二次曲線的二次項系數不能全為零，當時，。1二次曲線的漸近方向總存在且最多定理 ：有兩個。22122220:=():IaYXaa同理：當時，有。112212122122()= 002= 0

12、:0:11:00X YXYaaaaX YIa ， 當時，有，則，故或，此時，所以定理成立。20:IXY 二次曲線的漸近方向是一對共軛虛方向，我們把沒有實漸近方向的二次曲定義2線叫橢(1)： 圓型的。22221.1xyab求橢圓的漸例近方向。 因為二次曲線的漸進方向最多有兩個，而任意直線的方向有無數多個，所以二次曲線的非漸進方向可以有無數多個。二次曲線按漸近方向的分類二次曲線按漸近方向的分類2222( , )00,:XYXaX YiabYbX Yabi虛漸近方向，將系數代入即，得=即橢圓的漸近方向為：。221 0 xy 可驗證：也另是橢圓型的。2222211/0001/aIba b因,解：故有一

13、對共軛20I 時有一個實漸近方向，有一個實漸近方向的二次曲線定義2(2)：叫拋物型的。二次曲線按漸近方向的分類二次曲線按漸近方向的分類222.ypx求拋物線的例漸近方向。2200001(, )00:1:0IX YYX Y因, 它有一個實漸近方向，這時即，得拋物 線的漸近方向為 解：。221020 xx 驗證：，都例 ：是拋物型的。2210000(, )00:0:1IX YXX Y因為, 它有一個實漸近方向，這時即 ，得 解：漸近方向為。二次曲線按漸近方向的分類二次曲線按漸近方向的分類22222222211/00,01/(, )00,:aIba bXYXaX YabYbX Yab因故它有兩個不同

14、的實漸近方向 ，這時即，得=即雙曲 解線的漸近方向為：。220 xy另外可以驗證：也是雙曲型的。22221.xyab求雙曲線的例3漸近方向。2220= 00III橢圓型（）拋物型（二次曲線）雙曲）可型（見：20I 時二次曲線有兩個實漸近方向，有兩個實漸近方向的二次曲線定義2(3)：叫雙曲型的。0(, )XY 當時，非漸近方向的直線與二次曲線總有兩個交點，我們把這兩個交點的連線叫二次曲 定義3：線的弦。CC若點 是二次曲線的通過它的所有弦的中點， 則點叫二次曲 定義4：線的中心。000111022212210020000,(,)( , )0:( , )0( ,)(,)( ,)0,()2(,)(,

15、)(,)0X YC xyF x yCX YxXtLF x yMx yyYtMxyCM MLF xytF xyXF xy Y tF xyxy與 證：設是的中心，則過 以為方向的直線 :交于兩點、，點為弦的中點，將 代入得。12000000(,)0(,)( , )0(,)20FCFFx yx yx yx y點是：的理中心定。二、二、 二次曲線的中心二次曲線的中心推論推論12120000000000(,)()0(,)()X FYFX YFFxyxyxyxy故，因、 不同時為零，有，。反之也成立。，101120122022()xxXtxxxX ttxxXt因為1212() 0,)0,X ttY ttX

16、 Y同理又、 不同時為零( , ) 0( , ) 02,F x yF x yx y原點為的中心不含推論 ：的一次項。111312122223( , )000a xa yaF x ya x a y a二次曲線的中心的坐標由下列方程組確定：推論1： 。0 x1201222xxXxtt ()120(1)tt ，11002002)()()(2)(,2,XFYFX Yxyxytt 另外，二次曲線按中心的分類二次曲線按中心的分類13111212222311121312222300( , )0aaaaaaa xa yaFa xa yax y 當時， 方程組有無數多解，即有無數個中心?；蛏系狞c都是曲線1311

17、12122223aaaaaa無當時方程組無解即沒有中心 ， 叫 心二次 曲線；線心的中二次心，這條曲線；直線叫中心直線。有一條中心直線的二次曲線叫我們把無心和線心二次曲線非中心二叫次曲線。2222I02I00.yxy中心二次曲線無心二次曲線， 如二次曲線非中心二次曲線線心二次曲可線， 如見：20I 當時方程組有唯一解，即有一個中心，叫中心二次曲線；例例22232361080 xxyyxy 證明二次曲線有唯一中心，并求出中 例4：心坐標。233031703501 31213,2322xyIxyxy 解方程, 因為，所以二次曲線有唯一中心，方程組的解為故中證明：心坐標為 （） 。222+2620

18、xxyyxy考察二例5：次曲線的中心。211311011111I因為，又，所以二次曲線解：為無心曲線。26 +50 xx例6：考察二次曲線的中心。2103100=00000150,1=5030Ixxxxx 因，又，故二次曲線為線心曲線。實際上方程可寫成 （）由兩直線0，組成，其中心軌跡和這兩 解：直線等距。三、漸近線三、漸近線120000000000000000:( , )0,()0(,)(,)(,)( ,)()0( ,)0( , ) 0( ,)( ,) 0( , ),0,XLXYXFYFLxxtX YYyytFC xyxyxyx yFF x yF x yC x yF x yLF x yx y

19、x y：，漸近線 因為漸近線的方向滿足又因的中心符合 當不在二次曲線上，即時與二次曲線沒有交點 ；當在二次曲線上即時，漸近線 的全部都在 曲線證：。0上。 23二次曲線與它的漸近線或沒有交點，或整條直線在這條二次、定理 ：曲線上。15過二次曲線的中心，且以漸近方向為方向的直線叫它的漸近線。顯然，橢圓型有兩條虛漸近線；雙曲型有兩條實漸近線；拋物型無漸近線或有一條實、定義 ：漸近線。例例195 1236P作業(yè)：、2222.+0 xyab求的例7漸近線。22222212211/00,01/( , )(1/)0( , )(1/)0:,aIba bF x ya xF x yb yxatxatX Yabi

20、ybitybit因故曲線是中心曲線，且有一對共軛的虛漸近方向 ，由中心條件得中心在原點 （0,0） ，其漸近方向為因此漸近方程 ,解：為。 所給的二次曲線的圖形是一個點 （0,0） ，稱為點橢圓，在復平面上，它的漸近線是一對相交于原點的共軛虛直線。5.3 5.3 二次曲線的切線二次曲線的切線2課時二次曲線切線的求法；1.二次曲線切線的定義； 2.二次曲線切線的求法。 1.理解二次曲線切線的定義； 2.掌握二次曲線切線的求法； 教學時數：教學重點：教學難 3.熟悉二次曲線的奇點：教學目標：點和正常點。復習復習,:10X YX Y ：滿足條件的方向叫做二次曲線的漸近方向，否則叫做非漸定義 近方向。

21、1二次曲線的漸近方向總存在且最多定理 ：有兩個。()0,XY 當時，非漸近方向的直線與二次曲線總有兩個交點，我們把這兩點的連線叫二次曲定義2：線的弦。CC若 是二次曲線通過它的所有定義弦的中點 ， 則 叫二次曲線3：的中心。12000000( ,)( , )0( ,2)0( ,)0.CFFFx yx yx yx y是的中心且定理 ：4 過二次曲線的中心，且以漸近方向為方向的直線叫它的漸近線。顯然，橢圓型有兩條虛漸近線；雙曲型有兩條實漸近線；拋物型無漸近線或有一條實定義 ：漸近線。一、定義一、定義二、切線的求法二、切線的求法0000000(,)( , )=0MxyF x yx xXtMMyyYt

22、 設點是二次曲線上的點，求過的曲線的切線。而過的直線為210020000000100200()4,0(,)(,)4,(,)=0() 0()()0XXYYF xyXFxy YX Y F xyMF x yF x yFx y （）成為的切線的條件是：當時，在上， 若直線和二次曲線相交于重合的兩點，則這條直線叫做二次曲線的切線，交點叫切點。若直線全部在曲線上，也稱它為二次曲線的切線，直線上的每一點都定義：是切點。切線的求法切線的求法002001001002002000010001000200200010000( ,)( ,)( ,)( ,)(,)(,)( ,)( ,) 0()()( ,)( ,)( ,

23、)FFFFFFxxyyF x yF x yx yx yX Yxy tMyyxy tx x F x yy y F x yx yxxx yx y 如果、不全為零，由式得 :，故過的切線是：或，即:()00100200(),0(,) 0(,)(,)0XXYYF xyF xyF xy 可見當時， 是的切線，除了外，還有成立。1002000002(,)(,)0:(,)0FFxyxyX YMxyy如果時：式成為恒等式，切線方向不確定，這時過的任何直線都可視為二次曲線的切線。如在(0,0)點的切線。三、奇點和正常點三、奇點和正常點10020000(,)(,) 0(,)FFx yx yx y奇點和正常點 二次

24、曲線上滿足的點叫二次曲線的奇點，二次曲線的非奇點叫：正常點。( , )=0( , )=0( , )=0MF x yMMF x yMMF x y式 若是的正常點則過的切線為；若為奇點則過的切線不定，即過的每一條直線都是定理：的切線。22200 xyx二次曲線上一般都是正常點，個別情況才有奇點。例如：可以驗證原點 （0,0） 是二次曲線的奇點；上的點都是它的奇點。推論推論10020001000200100200300110120131202202313023033(,)(,)(,)(,)0 (,)(,)(,)0()()()0 xF xyyF xyx F xyy F xyxF xyyF xyF xy

25、x a xa yay a xa yaa xa ya 將式改寫成：，即，明故：證。11 0120022013023033()()()0a x xax yxya y yaxxayya即：。0011 0120022013023033( ,)( , )0()()()0M x yF x yMa x x ax yxya y yaxxayya若是的正常點 推論：，則過的切線方程為： 。22000000000( , )0( , )0222( , )0(,)F x yF x yxxyyxyx xx y xyy yxxyyF x yMxy比較二次曲線和它的切線方程可以發(fā)現：把中的、改寫成：、后就是在點 特點：處的

26、切線。222430(2 11, )xxyyxyA 求在的例 ：切方程。點線2210(0,2)xxy yM 求二次曲，的例切2：方程。線過點線00100000 20(1.2.(,)(,)0)()Mx x F x yyy F x yM直線和二次曲線有重合的兩點切線的定義直線的全部在二次曲線上過的切線的求法：正常點：切線為；奇點：過的任何直線都是二次曲線小結：的切線。例題例題200 13.P作、業(yè)：5.4 5.4 二次曲線的直徑二次曲線的直徑2課時二次曲線切線的直徑；1.二次曲線切線的直徑； 2.二次曲線切線的共軛方向。 1.理解二次曲線的共軛方向； 2.掌握二次曲線的直徑教學時數：教學重點：教學難

27、； 3.熟悉二次曲線點：教學的共目標：軛直徑。復習復習: 若直線和二次曲線相交于重合的兩點，則這條直線叫二次曲線的切線，交點叫切點。若直線全部在曲線上，也稱它為二次曲線的切線，直線上的每一點定義都是切點。10020000(,)(,) 0(,)F x yF x yx y 二次曲線上滿足的點叫二次曲線的奇點，二次曲線的非奇點叫做奇點和正常點：它的正常點。( , )( , )MF x yMMMMF x y 若 是的正常點，則過的切線為；若 為奇點，則過的切線不定，把過的每一條直線定都視為理：的切線。0011 0120022013023033( ,)( , )()()()0M x yF x yMa x

28、 xax yxya y yaxxayya若是的正常點 推論，則過的切線方程為：。一、二次曲線的直徑一、二次曲線的直徑200000010020000120012)( , ) ( ,:0( ,):( ,)( , ) 02 ( ,)( ,) ( ,) 0(1)( ,)+ =XXYFXtFX FXX YYx yx xtX Yx yy ytx yYx yx y Y t F x yttx ytt 設是二次曲線的一個非漸近方向， 即， 而是平行于的弦的中心，則過點的弦為，與二次曲線兩交點由的兩根 與 確定。又因為為弦的中點，所以：0，從而有證1002001211121222132300( ,)( ,)0:(

29、 , )( , )0(2)()()0(3)( ,)FFXFFXYXYx yYx yX Yx yYx ya X a Y xaay aax y ，可見平行于方向的弦的中點的坐標滿足方程整理化簡得：1： 二次曲線的一族平行弦的中點的軌跡定理是一條直線。11121222111222111212220000220()2()()(,)(,):,0:X Ya Xa Ya Xa YXa Xa XYa Ya Xa Y Xa Xa Y YXxyxyX YY 反之，若點滿足(2)式，則(1)中將有絕對值相等而符合相反的兩根，點就是具有方向的弦的中點，因此方程(2)為一族平行于某一非漸近方向的弦中點軌跡方程。方程(2

30、)的一次項系數不全為零， 因為當時，有，這與Y是非漸近方向的假設矛盾，所以(2)是一個二元一次方程，是一條直線。二次曲線的直徑二次曲線的直徑. 1 二次曲線平行弦的中點軌跡叫做這個二次曲線的直徑， 它所對應的平行弦，叫做共軛于這條直徑的共軛弦，而直徑也叫做共軛于平行弦方定義向的直徑。1211112132122223( , )( , )0(4)( , )=(5)( , )=(6)kF x ykF x yF x ya x a y aF x ya x a y a 若二次曲線的一族平行弦的斜率為 ，則共軛于這族平行弦的直徑方程是： 推論： 若00則：若(5)(6)表示兩條不同直線時，(4)上式就構成一

31、直線束。推論推論131112122223(4)=aaaaaa 若(5)(6)表示同一直線，這時， 為一條直線；13111211121222122223(4)aaaaaaaaaa當時 (4)為中心直線束；當為平行直線束；證明續(xù)證明續(xù)111213131112111213122223111213131112122223000(4)0(4)a xa yaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 若(5)(6) 中有一個為矛盾方程，比如中，這時成立，仍為一平行直線束；若(5)(6)有一個為恒等式，如，這時成立，只表示一條直線。11121222131112122223aaaaaaaaaa于 故即二次曲中心曲，

32、 它的全部直一中心直束， 該直束的中心即二次曲中心；即二次曲心曲, 其全部直于一平行直束。徑屬徑屬當時線為線個線線線當時線為無線個線定理定理2 22 中心二次曲線的直徑通過曲線的中心，無心二次曲線的直徑平行于曲線的漸近方向，線心二次曲線的直徑只有一條，就是曲線的中定理 ：心直線。11121312222312112212131112122223:0(0 )X Ya xa yaa xa yaaaaaaaaaaa其方向二次曲的近方向；，即二次曲心曲，這二次曲只有一直，它的方程是：或，即心二次曲的中心直。因此有：為線漸當線為線線時時線條徑線線線二、共軛方向和共軛直徑二、共軛方向和共軛直徑1222111

33、2:():():=X Ya Xa Ya Xa YX YX Y 我把二次曲定：的與非近方向共直的方向叫做非近方向的共方向。們線漸軛漸軛義2 22122211122 21112221212221122 22222122211121122121112222,(, )() ,()0(,)()2()()()()(2)0,0X YXXXXXXXXXYIX Yaa Y tYaa Y ttX Yaaa Ytaaa Yaa Y taaa Yta aaaaa Yttt 所以有。其中，因此有：，因為為非漸近方向，所以另外，因22,()()0000X YX YII此當即二次曲線為中心曲線時，；當。即二次曲線為非中心曲

34、線時，。 這就是說：中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向仍然是非漸近方向，而在非中心二次曲線的情形是漸近方向。111222:()0 :X YXXXXYX YYYX YXXYaaaYYX Y: 由以上可知，二次曲線的非漸近方向和它的共軛方向的關系：，可知兩方向是對稱的。故對中心曲線來說，非漸近方向的共軛方向為非漸近方向，而的共軛方向為。22( , )22230:F x yxxyyxyX Y 求的共例3：軛于非漸近方向的直徑。20636P作業(yè)：共軛直徑共軛直徑22221xyab求例1：或曲的直。橢圓雙線徑3 中心曲線一對相互共軛方向的直徑叫一對共定義 ：軛直徑。22ypx例2：求物的直。拋線徑5.5

35、 5.5 二次曲線的主直徑和主方向二次曲線的主直徑和主方向2課時二次曲線的主方向和主直徑；1.二次曲線的主方向和主直徑； 2.二次曲線切線的特征根。 1.理解二次曲線的特征根； 2.掌握二次曲線的主方教學時數：教學重點：教學難點向； 3.熟悉二次曲線：教學目標：的主直徑。復習復習: 1 二次曲線的一族平行弦的中點軌跡定理是一條直線。1. 二次曲線的平行弦中點軌跡叫做這個二次曲線的直徑，它所對應的平行弦，叫做共軛于這條直徑的共軛弦；而直徑也叫做共軛于平行弦方定義向的直徑。2 中心二次曲線的直徑通過曲線的中心，無心二次曲線的直徑平行于曲線的漸近方向，線心二次曲線的直徑只有一條，就是曲線定理 ：中心

36、直線。12221112:):():XX YYa Xa Ya Xa YX Y=-: 我把二次曲的與非近方向共的直方向叫做非近方向的共方向。定：們線漸軛徑漸軛義2 23 中心曲線一對相互共軛方向的直徑叫一對共定義 ：軛直徑。一、定義一、定義二、主直徑與主方向的求法二、主直徑與主方向的求法22111222132333 ( , )2220F x ya xa xy a ya xa y a 設二次曲線121222111211121222:(1( , )( , ) 0:):():0:():()XFXXXXYXXx yYF x yYYaa YaaX YXXYYX Yaa Yaa Y.若為中心曲線，則與的非漸近

37、方向共軛的直徑為，設直徑方向為，則由主方向的定義，成為主方向的條件是它垂直于它的共軛方向，在直角坐標系下，由垂直的充要條成為中心二次曲線的主方向的條件是：件得代人上式得：。 二次曲線的垂直于其共軛弦的直徑叫二次曲線的主直徑，主直徑的方向與垂直于主直徑的方向都叫二次曲線的主方向。顯然，主直徑是二次曲線的對稱軸，故也叫二次曲線的軸，軸與曲線的交點叫曲線的義：頂點。定111212221112122221112121222:(1)=()0()00(2)0(3)XXXXXaa YX Yaa YYaa YXaaYaaX YIIaaY 故成為中心二次曲線主方向的條件是改寫成，它是關于 、 的齊次線性方程組，

38、而、不全為0，所以，即因此對中心二次曲線，求出 代人方程得主方向。11121122122211121222111211221222111212222:():():XYXX YaaaaXYaaaaaaaaYaaaa. 若二次曲線為非中心二次曲線，則它的任何直徑的方向總是它的唯一的漸近方向，而垂直于它的方向顯然為，所以非中心二次曲線的主方向為漸近主方向，非漸近主方向。主方向主方向主直徑主直徑2212111220005 1:5 15 2XXYYIIIaaX Y 若把推廣到非中心二次曲線，即式中的可取零，當時方程的兩根是，把它代人式所得的主方向，正是非中心二次曲線的漸近主方向與非漸近主方向。因此，一個

39、方向成為二次曲線的主方向的條件是成立，這里的 是方程的根。2120( , )01 IIF x y 方程叫做二次曲的特征方程，它的根叫做二次曲的特征根。二次曲的特征方程求出特征根，代人5，得到相的主方向，若主方向非近方向，就能得到共于它的主直。線線從線應為漸則軛徑三、特征根三、特征根00 由二次曲特征根 確定的主方向，二次曲的非近主方向；定理3:二次曲的近主方向。線當時為線漸當時為線漸二次曲線的特征根不能定理2:全為零。221211222124()40IIaaa 因為特征方程的判別式，故二次曲線的特征證：根都是實數。122112211221211122230000IIaaa aaaaa 若二次曲

40、的特征根全零, 由5得,證:即與，而與二次曲的定矛盾，故它的根不能全零。 線為則從這線義為二次曲線的特征根都定理1:是實數。定理定理4 4222211122211121222( , )2():)(XYa Xa XY a Ya X a Y Xa X a Y YXY證22()0( , ) 0:0( , ) 0:XXXYX YYX YYX Y。 又 、不全為零， 故當時，是二次曲線的非漸近主方向；當時，是二次曲線的漸近主方向。中心二次曲線至少有兩條主直徑， 非中心的只有一條定理4:主直徑。21211 24.2III，證：由特征根方程解得特征根：2221211221211231211224()40,0

41、(0)5 1IIaaaaaaaa,則,這時的中心曲線為圓,它的特征根為一對二重根:把它代人,則得:X Y到兩個恒等式,它被任何方向所滿足,故任何實方向都是圓的非漸近主方向,從而通過圓心的任何直線不僅都是直徑,而且都是圓的主直徑。20Ip二次曲中心曲，若特征方程的 判式：1. 當線為線時別1222221211221212112111122121112111122121221122212:=4()405 1:,:X YXYXYIIaaaaaaaaaaaaaaa 若特征方程的判別式，則特征根為兩個不等的非零實根 ，將它們代人得相應兩非漸近主方向為：() ()()（）（）（）這兩主方向相互垂直，從而它

42、們又互相共軛，故非圓的中心二次曲線有且只有一對相互垂直又共軛的主直徑。2111222111222.0,0.Iaaaa當二次曲線為非中心曲線時, 這時兩特征根為:故它只有一個非漸近主方向, 即相應的主方向, 從而非中心二次曲線只有一條主直徑。22( , )10F x yxxyy 求的主方向與例1：主直徑。212P1 234.、作、業(yè)：小結小結5.6 5.6 二次曲線方程的化簡與分類二次曲線方程的化簡與分類2課時二次曲線的化簡和分類；1.二次曲線的化簡； 2.二次曲線的分類。 1.理解二次曲線的坐標變換； 2.掌握二次曲線的化簡； 3.熟悉二次曲線的分類； 4.教學時數：教學重點：教學難點：教學目

43、熟悉二次曲線坐標變換的步驟和標：基本原則。復習復習. 二次曲線的垂直于其共軛弦的直徑叫二次曲線的主直徑，主直徑的方向與垂直于主直徑的方向都叫二次曲線的主方向顯然，主直徑是二次曲線的對稱軸，故也叫二次曲線的軸，軸與曲線的交點叫曲義：線的頂點。定00 由二次曲特征根 確定的主方向，二次曲的非近主方向；定理3：二次曲的近主方向。線當時為線漸當時為線漸 中心二次曲線至少有兩條主直徑，而非中心的只有一條定理4:主直徑。二次曲線的特征根都定理1:是實數。二次曲線的特征根不能定理2:全為零。一、平面直角坐標變換一、平面直角坐標變換1 1、坐標變換公式、坐標變換公式000000() ( ,)(1)(,)cos

44、sincos+ sin(2)sincos- sincosx yx yxxxxxxyyyyyyx yxxyxxyyxyyxy 若平面一的坐與新坐分， 、，移公式：，或(1 )其中新坐系原在坐系中的坐。公式：或內點舊標標別為則軸為為標點舊標標轉軸為(2 )式中的坐的旋角。為標軸轉坐標變換公式續(xù)坐標變換公式續(xù)OOxyxy 一般由坐系新坐系可分步完成：標變?yōu)闃藘膳f(1)OOx y 先移使坐原移到新坐原完成坐系；軸標點標點標(2)OOx yx y 然后由渡坐系構成新坐系。以上步合并后的一般坐公式：過標轉軸標兩標變換為000000cossin+(3)sincoscossin(cossin)(3).sinc

45、os(sincos)xxyxyxyyxxyxyyxyxy ，或OyxxyxOM2222:0ClA xB x1111:0ClAxB xy2 2、由給定的新坐標軸確定的坐標變換、由給定的新坐標軸確定的坐標變換 確定坐，除了移 和外， 可以有其它方法。 如定了新坐 系的在 坐 系中的方程，并 定了一的正向，就可確定又一種坐公式。標變換軸 轉軸還給標兩軸 舊 標規(guī)個軸標變換11112222121210,00 xOyl Ax B y Cl A x B y CAABBl 在坐系里定了相互垂直的直：，其中，若取直新坐系中設標給兩線線 為標22,|OOOxlyMx yx yxM x yyMl的而直,并平面上任

46、意的坐與新坐分是( , )與( , ) 。因是( , )到的距離，也就是到 的距離（如）橫軸線 為縱軸設點舊標標別為點軸點圖211222222221111sin ,sincos(4)(4)BABABABABxy 數應數號選這兩項數號，所以中的第一式右端 的系與第二式右端的系相等，所以的符取要使得的系同。坐標變換續(xù)坐標變換續(xù)222111222222112222222111221122222|,|(4)(4)(3)(4)cosA xB yCAxB yCABABxyA xB yCxABAxB yCyABAAB 絕對號個標變換為標標較來決號 故有同理。于是在去掉值符后，便得一坐公式使新坐系仍然是右手坐

47、系，可將式與公式比定中的符。因為，例例1 121.30220 xyxyxy 已知新例坐系的、的方程分與，求坐公式。標軸別為標變換225235222322235555(),yxyxyxyxyxyxyxyxM x yxyxy ，或，。 ， 的新坐，有，。根據上面的符取法得公式：解：設標為則號選則變換為 種坐的方法常用在求得一般中心二次曲的主直的情下，用主直作新坐，把二次曲的方程化準方程。這標變換來線徑況兩條徑為標軸線為標二、二次曲線方程的化簡和分類二、二次曲線方程的化簡和分類22111222132333( , )2220(5)GF x ya xa xya ya xa ya 我們想知道在二次曲線方程

48、 ：的移軸和轉軸中，方程系數的變化規(guī)律。2120022013023033221112221323331111121222221311 0120131002312022023202()()()2()2()02220,(,)(,axxyyayyaxxayyaa xa xya ya xa yaaaaaaaaa xa yaF x yaa xa yaF x ，化得：，里簡這0223311 0120022013 02303300(6)222(,)yaa xa x ya ya xa yaF x y 可得：02001100(,)()xxxF xx yyaxxyyy在移公式下新方程：軸為10020000(1)1

49、.2.2(,)2(,) 3.(,)F x yF xyF x y 移公式下二次曲的律： 二次系不；一次系與； 常定理1：。軸線變換規(guī)項數變項數變?yōu)閿淀椬優(yōu)?0100200(,)(,) 0(,) 0,x yF x yF x y 當為二次曲線(5)的中心時,有且所以當二次曲線有中心時，作移軸使新原點與二次曲線的中心重合，則在新坐標系下二次曲線的新方程中就不再包含一次項。定理定理1 122111222132333cossinsincos(5)(2)2220 x xyy xya xa xya ya xa ya 把公式代入，得在公式下的二次曲的新方程，里：轉軸轉軸線這2211111222221222111

50、222221112221313232313233333cos2sin cossin()sin cos(cossin)sin2sin coscos(7)cossinsincosaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 定理定理2 213132323132313231313232313237( )cossinsincoscossinsincos .aaaaaaaaaaaaaa 從中的,，中解出，得,251.2.23. 在轉軸 （ ） 下，方程 （ ） 的系數的變換規(guī)律為：二次項系數要改變。新方程的二次項系數僅與原方程的二次項系數及旋轉角有關，與一次項系數及常數項無關；一次項系數也改變。新方程的一次

51、項系數僅與原方程的一次項系數及旋轉角有關，與二次項系數及常數項無關；常數定理 ：項不變。定理定理2 2證明續(xù)證明續(xù)1323aax y 則可看到，在轉軸下，二次曲線方程的一次項系數、的變換規(guī)律與點的坐標 、的變換規(guī)律完全一致。當原方程有一次項時，通過轉軸不能完全消去一次項；當原方程無一次項時， 通過轉軸也不會產生一次項。12121222111222221112112212(5)00()sincos(cossin)0()sin22cos20cot2()/2(5)(5)aaaaaaaaaaaaxy 二次曲方程里若， 我常用使新方程中的。此只要取旋角 ，使即可。令，得：。因余切的值可以是任意，所以有足

52、，也就是可以適的消去中的。線們轉軸轉為實數總滿說總經過當轉軸項三、確定坐標變換步驟的根本原那么三、確定坐標變換步驟的根本原那么5 因而無論對于何種類型的二次曲線，先轉軸總是可行的。對任何一條二次曲線的方程，都可以先移軸、后轉軸進行坐標變換，也可以先轉軸、后移軸進行坐標變換，兩種方法都可以將方程化簡。如果決定先轉軸，則根據 （ ） 以確定坐標系的旋轉角。2I 如果決定先平移，就得先確定把舊坐標系的原點移到何處。對于中心二次曲線，我們一般把新坐標系的中心定為曲線的中心，而中心可以先求出。但對于無心二次曲線，為了得到曲線的標準方程，應該把新坐標系的中心定為曲線的頂點，而頂點卻不易先求出。于是，我們在

53、利用坐標變換對二次曲線的方程進行化簡時，一般都按照下面的原則進行：先根據 判斷曲線的類型。2200IIxy 若，曲線是中心型的，應先求出中心，再移軸，然后轉軸； 若，曲線是非中心型的，先轉軸，消去交叉項后把所得的方程配方，一般就可以確定新坐標系的原點，再移軸。 這里的原則可在一定程度上減少方程化簡的經驗證明：運算量。四、二次曲線方程的化簡四、二次曲線方程的化簡四、二次曲線方程的化簡四、二次曲線方程的化簡2244121.0 xxyyxy 例2 化方程并。簡畫圖2233.1010210 xxyyxy化方。例程并作簡圖2254224114.280 xxyyxy簡圖化并作例。222.205xxyyxy

54、簡線化二次方程例曲。通過例題說明如何具體化簡二次曲線的方程。定理定理3 3221122331122222213221322332200200003a xa yaa aa ya xa aa yaa，；，；，。 通過適當的坐標變換， 二次曲線的方程總可化成下面三個簡化理 ：方程之：定一22111222132333132322200()1:00:1a xa xya ya xa yaaa 二次曲可分中心,心與心曲三，第一種情。已知二次曲中心曲，取它的一既共又相互垂直的主直作坐建立直角坐系。 二次曲在坐系下的方程 ：因原就是曲的中心，所以方程中有一次證，即其次，二次曲的主直即坐的方向與，：它 1線為無線

55、線類現況線為線時對軛徑為標軸標設線這樣標為為這時點線沒項線兩條徑標軸為們2212112223321122121122000aa xa yaIa aaa a互相共， 因此必有。所以曲的方程又因它是中心曲，故又有。軛 線為為線 定理定理4：經過適當地選取坐標系，二次曲線的方：經過適當地選取坐標系，二次曲線的方程總可以寫成下面程總可以寫成下面9種方式：種方式：290=y(重合直)。兩線定理定理4 4222211=xyab（） ；橢圓222221=xyab ()；虛橢圓222231)=xyab(曲；雙線222204=xyab()；點橢圓222250=xyab(相交直)；兩線262=ypx(物)；拋線2

56、27=ya (平行直)；兩線228=ya(平行共直)；兩軛虛線2321 2P（1） （2） 、（1作：）業(yè)（3）5.75.7運用不變量化簡二次曲線的方程運用不變量化簡二次曲線的方程2課時應用不變量化簡二次曲線；1.二次曲線不變量的概念和結論； 2.化簡二次曲線。 1.理解二次曲線不變量的概念； 2.掌握應用不變量化簡二次曲線； 3.熟悉無心曲線和線心曲線等曲線的分類； 教學時數：教學 4.熟悉重點：教學難點：教學目二次曲線化簡標：的相關理論。復習復習10020000(1)1.2.2 ( ,)2( ,)3.( ,).F x yF x yF x y 在移下，二次曲方程系的律：二次系不； 一次定系與

57、理1；常：軸線數變換規(guī)項數變項數變?yōu)閿淀椬優(yōu)?21122331122222213221322332200200003 :a xa yaa aa ya xa aa yaa，；，；， 通過適當的坐標變換, 二次曲線方程總可化成下面三個簡化方程之一定：理49 ：通過適當地選取坐標系，二次曲線的方程總可以定理寫成下面 種形式：1、坐標變換公式一、不變量與半不變量一、不變量與半不變量111233111233( , )( , )( ,)(,)(,)(1)(1)F x yfTF x yF x yf aaaf aaafTf 設的系數組成一個非常值函數 ，若經過直角坐標變換 ，變?yōu)闀r，有，則這個函數 叫做二次曲

58、線在直角坐標變換 下的不變量。如果這個函數的值只是經過轉軸變換不變，則這個函數叫做二次曲線在直角坐標變換下的半定義1：不變量。221112221323330022111222132333( , )2220(1)cossin(1)( ,)sincos222F x ya xa xya ya xa yax xyxF xyy xyya xa x ya ya xa yaF 二次曲在任意定的直角坐系中的方程： 在直角坐：下，曲方程的左端，則多式設線給標為設標變換T線變?yōu)轫? ,)( , )x yF x y 也是二元二次多式， 它的每一系都可以用多式的系和坐的系表出。項個數項數標變換數11121112111

59、22112212212221222,aaaaaaaaIIaaaaI =I 先在移軸下證明，在移軸下，二次曲線的二次項系數不變證，故：而111212311112221222111213111322233122223113332333132333(1),.aaI IIKIaaIaaaaaaaaaIaaaKaaaaaaa 二次曲線在直角坐標變換下, 有三個不變量,與一個半不變量：:，定理1定理定理1 1證明續(xù)證明續(xù)220010000000000001100()22( , )( ,) 22220yxKxyKKyx yxx yF x yF x yxyy xx yx y 而通過移軸，變?yōu)?而這時恒，故(1)。1112131112131222231222233110120131202202313023033132333aaaaaaaaaaaaIa xa yaa xa yaa xa yaaaa。1112131112110120133122223