函數(shù)的單調(diào)性與極值（Word）

1、函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)單調(diào)性的考察，可用當(dāng)時(shí)，比較與的大小來進(jìn)行判定的.但判定與的大小并非是一件容易的事情.所以希望找到一種簡單的判定方法.我們知道，如果函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增加，其圖形是一條沿x軸正向上升的曲線，曲線上各點(diǎn)處的切線斜率為非負(fù)，即；若單調(diào)減少，其圖形是一條沿x軸正向下降的曲線，曲線上各點(diǎn)處的切線斜率為非正，即，如圖3-2.可見，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有著密切的聯(lián)系.那么反之成立嗎？Ayxoaby=f(x)yxoaby=f(x)圖3-2AB 定理1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).（1）如果在內(nèi)，那么在內(nèi)單調(diào)增加；（2）如果在內(nèi)，那么在內(nèi)單調(diào)減少.證明 （1）在內(nèi)任取兩點(diǎn)，且，根據(jù)拉格郎日中

2、值定理，存在一點(diǎn)（），使 （1）因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)有，則（1）式中的，而，因此由（1）式知，這就是說在內(nèi)單調(diào)增加. 同理可證明結(jié)論（2）成立.有些可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的個(gè)別點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零，但函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)仍是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）.如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在時(shí)，但它在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加.例1 判定函數(shù)的單調(diào)性.解 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)數(shù)為，所以在整個(gè)定義域內(nèi)都有，故函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)減少.有時(shí)，函數(shù)在其整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性，但在其各個(gè)部分區(qū)間上卻具有單調(diào)性，如圖3-3所示.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加，而在區(qū)間上單調(diào)減少，且從圖3-3上容易看到，2 / 12ybaox圖3-3可導(dǎo)函數(shù)在單調(diào)增加、減少的分界點(diǎn)處的導(dǎo)

3、數(shù)為零，即. 使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)（即方程的實(shí)根）， 叫做函數(shù)的駐點(diǎn).因此要確定可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要求出駐點(diǎn)，然后用這些駐點(diǎn)將其定義域分成若干個(gè)區(qū)間，再在每個(gè)區(qū)間上判定函數(shù)的單調(diào)性.例2 討論函數(shù)的單調(diào)性解 因?yàn)椋?，得駐點(diǎn).這兩點(diǎn)將的定義域分成三個(gè)部分：，下面用列表的形式來進(jìn)行討論，（表中“ ”表示單調(diào)增加，“ ”表示單調(diào)減少） （1+0-0+根據(jù)上面的討論可得：函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)增加，在區(qū)間（內(nèi)單調(diào)減少.另外，還需注意函數(shù)的不定義點(diǎn)，或是連續(xù)而不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn).例3 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.xyo圖3-4解 函數(shù)的定義域?yàn)椋?，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在，又函數(shù)沒有駐點(diǎn).但當(dāng)

4、時(shí)，有，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少.二、函數(shù)的極值定義3.1 設(shè)函數(shù)在有定義，且對此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)均有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值；如果對此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)均有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值. 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).yoabx圖3-5從圖3-5可知，關(guān)于函數(shù)的極值，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1） 函數(shù)的極大值和極小值是局部概念，即如果是的極值，只是對極值點(diǎn)的左右近旁一個(gè)小范圍來講的.（2）函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上可能會有幾個(gè)極大值和幾個(gè)極小值，且其中的極大值未必比極小值要大. 如圖3-5，極大值就比極小值還要小.（3）函數(shù)的極值只能在區(qū)間內(nèi)部取到.求極值

5、的關(guān)鍵是找出極值點(diǎn)，從圖3-5中看到，對可導(dǎo)函數(shù)來講，在取得極值處，曲線的切線是水平的，即在極值點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零.但反之不成立.如.定理2（極值存在的必要條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在，且在處取得極值，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即是函數(shù)的駐點(diǎn).注意，定理3.5僅是極值存在的必要條件，而非充分條件.如函數(shù)，在處有，但不是極值.該定理說明可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)，而駐點(diǎn)卻未必是極值點(diǎn).對于一個(gè)連續(xù)函數(shù)，它的極值點(diǎn)還可能是使導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).如，顯然，不存在. 但且是它的一個(gè)極小值點(diǎn)，在圖形上，稱為曲線的尖點(diǎn).因此，連續(xù)函數(shù)有可能取得極值的點(diǎn)是駐點(diǎn)與尖點(diǎn). 但問題是這些點(diǎn)滿足什么條件才能為極值點(diǎn)，觀察圖3-5

6、，得下面判定函數(shù)極值的一個(gè)充分條件.定理3 （極值存在第一充分條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)（可除外），當(dāng)由小增大經(jīng)過時(shí)，如果：（1）的符號由正變負(fù)，則在點(diǎn)處取得極大值；（2）的符號由負(fù)變正，則在點(diǎn)處取得極小值；（3）的符號不變，則在點(diǎn)處取不到極值.證明 （1）由條件，在點(diǎn)左近旁單調(diào)增加，在點(diǎn)右近旁單調(diào)減少，即當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，因此在點(diǎn)處取到極大值.同理可證明結(jié)論（2）、（3）.此外還可利用二階導(dǎo)數(shù)來判定極值.定理4（極值存在的第二充分條件）設(shè)函數(shù)在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，又，如果（1），則在處取得極大值；（2），則在處取得極小值.（證明從略）例4 求函數(shù)的極值.解 因?yàn)椋?令 ，得駐點(diǎn)

7、，所以函數(shù)有駐點(diǎn)，尖點(diǎn)列表考察的符號-20（0，2）2不存在+0不存在+極小值0極大值極小值0故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值0.例5 求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的及值解 因?yàn)椋?令 ，得駐點(diǎn) 而，所以為極大值； ，所以為極小值.例6 求函數(shù)=的極值.解 函數(shù)的定義域?yàn)?由，得駐點(diǎn). 列表：-10 0+0+極小值0故函數(shù)在處有極小值，而不是極值點(diǎn).三、函數(shù)的最值問題在實(shí)際生活中，常會遇到：在一定條件下，怎樣使“產(chǎn)量最高”、“用料最省”、“成本最低”、“耗時(shí)最少”等問題.這一類問題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為函數(shù)的最大值、最小值.因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定存在最大值和最小值. 由于函數(shù)的最值可在區(qū)間內(nèi)部取到

8、，也可在區(qū)間的端點(diǎn)上取到，如果是在區(qū)間內(nèi)部取到，那么這個(gè)最值一定是函數(shù)的極值，因此求在區(qū)間上的最值，可求出一切可能的極值點(diǎn)（駐點(diǎn)及尖點(diǎn)）和端點(diǎn)處的函數(shù)值，進(jìn)行比較，其中最大者就是函數(shù)的最大值，最小者就是函數(shù)的最小值.例7 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.解 因?yàn)榱畹民v點(diǎn) oxobaxyy=f（x）bayy=f（x）圖3-7因此 .經(jīng)比較，得函數(shù)的最大值為，最小值為.如果函數(shù)在一個(gè)開區(qū)間內(nèi)連續(xù)且有惟一的極值點(diǎn)，則當(dāng)為極大值時(shí)，就是在該區(qū)間上的最大值；當(dāng)為極小值時(shí)，就是在開區(qū)間上的最小值（見圖3-7）.例8 求函數(shù).解 由例6可知，是函數(shù)極小值點(diǎn)，且在整個(gè)定義域中極值點(diǎn)是惟一的，故函數(shù)的極小值就是

9、函數(shù)的最小值，為，不存在最大值.下面討論求最值的應(yīng)用題.在實(shí)際問題中，往往可以根據(jù)實(shí)際情況斷定函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)確有最值存在，而當(dāng)可導(dǎo)函數(shù)在這定義區(qū)間內(nèi)又只有惟一的駐點(diǎn)，則可斷定在點(diǎn)處取到了相應(yīng)的最值.例9 有一塊長為，寬為的長方形鐵片，將它的四角各剪去一個(gè) 大小相同的小正方形，四邊折起，做成一個(gè)無蓋的長方盒，問截去的小正方形的邊長為多少時(shí)，其容積最大. 解 如圖3-8，設(shè)小正方形的邊長為，則其容積為 ， （） 圖3-8得駐點(diǎn) ，（舍），所以是惟一的駐點(diǎn)，又該實(shí)際問題的最值一定存在，故當(dāng)小正方形的邊長為時(shí)，長方體的容積最大.例10 設(shè)鐵路邊上離工廠C最近的點(diǎn)A距工廠20，鐵路邊上B城距A點(diǎn)200，現(xiàn)要在鐵路線AB上選定一點(diǎn)D修筑一條公路，已知鐵路與公路每噸千米的貨運(yùn)費(fèi)之比為3：5，問D選在何處時(shí)，才能使產(chǎn)品從工廠C運(yùn)到B城的每噸貨物的總運(yùn)費(fèi)最??？（圖3-9）DCAB圖3-9解 設(shè)D點(diǎn)選在距離A處千米，又設(shè)鐵路與公路的每噸千米貨運(yùn)費(fèi)分別為（為常數(shù)）則產(chǎn)品從C處運(yùn)到B城的每噸總運(yùn)費(fèi)為 因?yàn)椋?，即，?將 ，與閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，由于，因此，當(dāng)D點(diǎn)選在距離A點(diǎn)處，這時(shí)每噸貨物的總運(yùn)費(fèi)最省.習(xí)題1、 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間