高二數(shù)學(xué)之人教版高中數(shù)學(xué)選修4-5反證法與放縮法ppt課件

1、反證法與放縮法高二數(shù)學(xué)PPT之人教版高中數(shù)學(xué)選修4-5課件：2.3反證法與放縮法1【自主預(yù)習(xí)自主預(yù)習(xí)】1.1.反證法反證法(1)(1)方法方法: :先假設(shè)先假設(shè)_,_,以此為出發(fā)點以此為出發(fā)點, ,結(jié)結(jié)合已知條件合已知條件, ,應(yīng)用應(yīng)用_等等, ,進行正進行正確的推理確的推理, ,得到和得到和_(_(或已證明的定理、性或已證明的定理、性要證的命題不成立要證的命題不成立公理、定義、定理、性質(zhì)公理、定義、定理、性質(zhì)命題的條件命題的條件2質(zhì)、明顯成立的事實等質(zhì)、明顯成立的事實等) )矛盾的結(jié)論矛盾的結(jié)論, ,以說明假設(shè)不正以說明假設(shè)不正確確, ,從而證明從而證明_, ,我們把它稱為反證法我們把它稱為

2、反證法. .(2)(2)適用范圍適用范圍: :對于那些直接證明比較困難的否定性命對于那些直接證明比較困難的否定性命題題, ,唯一性命題或含有唯一性命題或含有“至多至多”“”“至少至少”等字句的問等字句的問題題, ,常常用反證法證明常常用反證法證明. .原命題成立原命題成立32.2.放縮法放縮法(1)(1)方法方法: :證明不等式時證明不等式時, ,通過把不等式中的某些部分通過把不等式中的某些部分的值的值_或或_,_,簡化不等式簡化不等式, ,從而達到證明的目從而達到證明的目的的, ,我們把這種方法稱為放縮法我們把這種方法稱為放縮法. .(2)(2)關(guān)鍵關(guān)鍵: :放大放大( (縮小縮小) )要適

3、當要適當. .放大放大縮小縮小4【即時小測即時小測】1.1.應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中, ,可把下列哪些作可把下列哪些作為條件使用為條件使用( () )(1)(1)結(jié)論的反設(shè)結(jié)論的反設(shè).(2).(2)已知條件已知條件.(3).(3)定義、公理、定理定義、公理、定理等等.(4).(4)原結(jié)論原結(jié)論. .A.(1)(2)A.(1)(2)B.(2)(3)B.(2)(3)C.(1)(2)(3)C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(4)D.(1)(2)(4)5【解析解析】選選C.C.根據(jù)反證法的定義可知根據(jù)反證法的定義可知, ,用反證法證明過用反證法證明過程中程中,

4、,可應(yīng)用可應(yīng)用(1)(1)結(jié)論的反設(shè)結(jié)論的反設(shè).(2).(2)已知條件已知條件.(3).(3)定義、定義、公理、定理等推出矛盾公理、定理等推出矛盾. .62.2.在在ABCABC中中, ,若若AB=AC,PAB=AC,P是是ABCABC內(nèi)的一點內(nèi)的一點,APB ,APB APC,APC,求證求證:BAPCAP:BAPCAP用反證法證明時的假設(shè)為用反證法證明時的假設(shè)為_._.7【解析解析】反證法對結(jié)論的否定是全面否定反證法對結(jié)論的否定是全面否定, ,BAPCAPBAPCAP.BAPCAP.答案答案: :BAP=CAPBAP=CAP或或BAPCAP.BAPCAP.8【知識探究知識探究】 探究點探究

5、點反證法與放縮法反證法與放縮法1.1.用反證法證明時用反證法證明時, ,導(dǎo)出矛盾有哪幾種可能導(dǎo)出矛盾有哪幾種可能? ?提示提示: :與原命題的條件矛盾與原命題的條件矛盾; ;與假設(shè)矛盾與假設(shè)矛盾; ;與定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾與定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾; ;與客觀事實矛盾與客觀事實矛盾. .92.2.用反證法證明命題用反證法證明命題“若若p p則則q”q”時時, , q q假假,q,q即為真嗎即為真嗎? ?提示提示: :是的是的. .在證明數(shù)學(xué)問題時在證明數(shù)學(xué)問題時, ,要證明的結(jié)論要么正確要證明的結(jié)論要么正確, ,要么錯誤要么錯誤, ,二者中居其一二者中居其一, , q q是是q q的反

6、面的反面, ,若若 q q為假為假, ,則則q q必為真必為真. .10【歸納總結(jié)歸納總結(jié)】1.1.常見的涉及反證法的文字語言及其相對應(yīng)的否定假常見的涉及反證法的文字語言及其相對應(yīng)的否定假設(shè)設(shè)常見常見詞語詞語至少有至少有一個一個至多有至多有一個一個唯一唯一一個一個不不是是不可不可能能全全都是都是否定否定假設(shè)假設(shè)一個也一個也沒有沒有有兩個或有兩個或兩個以上兩個以上沒有或有沒有或有兩個或兩個或兩個以上兩個以上是是有或有或存在存在不不全全不都不都是是112.2.放縮法證明不等式的理論依據(jù)放縮法證明不等式的理論依據(jù)(1)(1)不等式的傳遞性不等式的傳遞性. .(2)(2)等量加不等量為不等量等量加不等

7、量為不等量. .(3)(3)同分子同分子( (分母分母) )異分母異分母( (分子分子) )的兩個分式大小的比較的兩個分式大小的比較. .123.3.放縮法證明不等式常用的技巧放縮法證明不等式常用的技巧(1)(1)增項或減項增項或減項. .(2)(2)在分式中增大或減小分子或分母在分式中增大或減小分子或分母. .(3)(3)應(yīng)用重要不等式放縮應(yīng)用重要不等式放縮, ,如如a a2 2+b+b2 22ab, 2ab, (4)(4)利用函數(shù)的單調(diào)性等利用函數(shù)的單調(diào)性等. .23a ba ba b cabab ()abc(a,b,c 0).223 ，13類型一類型一利用反證法證明否定性命題利用反證法證

8、明否定性命題【典例典例】設(shè)設(shè)0a2,0b2,0c2,0a2,0b2,0c1,(2-b)c1,(2-b)a1,(2-c)a1,(2-c)b1,b1,則則(2-a)(2-a)c c(2-b)(2-b)a a(2-c)(2-c)b1b1, ,因為因為0a2,0b2,0c2,0a2,0b2,0cb,ab,那么那么 ” ”時時, ,假設(shè)的內(nèi)容是假設(shè)的內(nèi)容是( () )33ab333333333333A. abB. abC. ababD. abab成立 成立或 成立且 成立19【解析解析】選選C.C.結(jié)論結(jié)論 的否定是的否定是 或或 成立成立. .33ab33ab33ab202.2.已知三個正數(shù)已知三個正

9、數(shù)a,b,ca,b,c成等比數(shù)列成等比數(shù)列, ,但不成等差數(shù)列但不成等差數(shù)列. .求證求證: : 不成等差數(shù)列不成等差數(shù)列. .【證明證明】假設(shè)假設(shè) 成等差數(shù)列成等差數(shù)列, ,則則 即即a+c+ =4b,a+c+ =4b,又三個正數(shù)又三個正數(shù)a,b,ca,b,c成等比數(shù)列成等比數(shù)列, ,所以所以b b2 2=ac,=ac,即即b= .b= .a, b, ca, b, cac2 b，2 acac21所以所以a+c+2 =4 ,a+c+2 =4 ,即即a+c-2 =0,a+c-2 =0,所以所以( )( )2 2=0,=0,所以所以 , ,即即a=c.a=c.從而從而a=b=c,a=b=c,這與已

10、知中這與已知中a,b,ca,b,c不成等差數(shù)列矛盾不成等差數(shù)列矛盾, ,所以原假設(shè)錯誤所以原假設(shè)錯誤, ,故故 不成等差數(shù)列不成等差數(shù)列. .acacaca ca= ca, b, c22類型二類型二利用反證法證明利用反證法證明“至少至少”“”“至多至多”型問題型問題【典例典例】已知已知f(x)=xf(x)=x2 2+px+q,+px+q,求證求證: :(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于中至少有一個不小于 . .1223【解題探究解題探究

11、】典例典例(2)(2)中待證結(jié)論的反設(shè)是什么中待證結(jié)論的反設(shè)是什么? ?提示提示: :反設(shè)是反設(shè)是|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于都小于 . .1224【證明證明】(1)(1)由于由于f(x)=xf(x)=x2 2+px+q,+px+q,所以所以f(1)+f(3)-2f(2)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)(2)假設(shè)假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于都小于 , ,則有

12、則有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,(|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,a+b2,而而a a2 2-ab+b-ab+b2 2= = 但取等號的條件為但取等號的條件為a=b=0,a=b=0,顯然不可能顯然不可能, ,所以所以a a2 2-ab+b-ab+b2 20.0.則則a a3 3+b+b3 3=(a+b)(a=(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)2(a)2(a2 2-ab+b-ab+b2 2),),2213(ab)b024 ，27而而a a3 3+b+b3 3=2,=2,故故a a2 2-ab+b-ab+b2 21.a1+aba2 2+b+b2 22a

13、b.2ab.從而從而ab1.ab1.所以所以a a2 2+b+b2 21+ab2.1+ab2.所以所以(a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+b+b2 2+2ab2+2ab4.+2ab2+2ab2,a+b2,得得(a+b)(a+b)2 24,4,出現(xiàn)矛盾出現(xiàn)矛盾, ,故假設(shè)不成立故假設(shè)不成立, ,原結(jié)論成立原結(jié)論成立, ,即即a+b2.a+b2.282.2.將典例中的條件改為將典例中的條件改為“設(shè)二次函數(shù)設(shè)二次函數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2+px+1”,+px+1”,求證求證:|f(1)|,|f(-1)|:|f(1)|,|f(-1)|中至少有一個不小于中至少有一個不小于2.2.【證明證明

14、】假設(shè)假設(shè)|f(1)|,|f(-1)|f(1)|,|f(-1)|都小于都小于2,2,則有則有|f(1)|+|f(-1)|4,(|f(1)|+|f(-1)|0,a+b+c0,這與這與a+b+c0a+b+c0矛盾矛盾. .故故a,b,ca,b,c中至少有一個大于零中至少有一個大于零. .222(x2y) (y2z) (z2x)23634類型三類型三利用放縮法證明不等式利用放縮法證明不等式【典例典例】求證求證: : (nN(nN+ +且且n2).n2).【解題探究解題探究】典例中如何將典例中如何將 中的分母適中的分母適當放大或縮小轉(zhuǎn)化為求和的形式當放大或縮小轉(zhuǎn)化為求和的形式? ?提示提示: : (n

15、N (nN+ +且且n2).n2).2231111 1 22n 12nn221112n2111 n n 1nn n 135【證明證明】因為因為k(k+1)kk(k+1)k2 2k(k-1),k(k-1),所以所以 即即 (kN(kN+ +且且k2).k2).分別令分別令k=2,3,k=2,3,n,n得得2111 ,k k 1kk k 1211111 kk 1 kk 1 k221 111 1 111 1 1, ,2 322 3 432 336 將這些不等式相加得將這些不等式相加得211111 ,nn 1nn 1 n37所以所以 即即(nN(nN+ +且且n2)n2)成立成立. .22211111

16、1111 1,2 n 123nn 222311111122 n 123nn38【方法技巧方法技巧】放縮法證明不等式的技巧放縮法證明不等式的技巧放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小, ,尋找一個尋找一個中間量中間量, ,如將如將A A放大成放大成C,C,即即AC,AC,后證后證CB.CB.常用的放縮技常用的放縮技巧有巧有: :39(1)(1)舍掉舍掉( (加進加進) )一些項一些項. .(2)(2)在分式中放大在分式中放大( (縮小縮小) )分子分子( (分母分母).).(3)(3)應(yīng)用基本不等式進行放縮應(yīng)用基本不等式進行放縮. .40【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】已知已知

17、S= S= (n(n是大于是大于2 2的自然數(shù)的自然數(shù)),),則有則有( () )A.S1A.S1B.2S3B.2S3C.1S2C.1S2D.3S4D.3S1.S= 1.n23n 1111111112 111 2 31 2 3n222212 k 111111,得S1 2 3k1 2 2221 1 2 n 112.22 21111 21 2 3n 42【補償訓(xùn)練補償訓(xùn)練】已知已知a an n=4=4n n-2-2n n,T,Tn n= = 求證求證:T:T1 1+T+T2 2+T+T3 3+ +T+Tn n n12n2aaa，3.243【證明證明】因為因為a a1 1+a+a2 2+ +a+an n=4=41 1+4+42 2+4+43 3+ +4+4n n- -(2(21 1+2+22 2+ +2+2n n)= (4)= (4n n-1)+2(1-2-1)+2(1-2n n),),所以所以T Tn n= = nn4 1 42 1 241 41 23（） （）nnnn 1n 1nnn 1n 122244442412 1 22 2233333 （） （） nnnn 1n 1n 2nnn3 2323243 222 2 23 21 2 (2 21) 21（）（）nn 1311.2 21 21（）44從而從而T T1 1+T+T2 2+T+T3 3+ +T+Tn n= =