人教版八年級下冊四邊形解題技巧

1、四邊形解題技巧一、平行四邊形應(yīng)用舉例平行四邊形具有對邊平行且相等、對角相等、對角線互相平分等性質(zhì)，它們在計算、證明中都有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)舉例說明.1 .求角的度數(shù)口例1 如圖， ABCD中.AD=2AB,點(diǎn) E、A、B、F在一條直線上，且 EA=AB = BF,求/ DOC的度數(shù). 口口例2 如圖，若 ABCD與 EBCF關(guān)于BC所在直線對稱，/ ABE =90° ,貝叱F=.2 .求線段的長例 3 如圖，在四邊形 ABCD 中，AB= 6, BC = 8, / A =120°, / B = 60°, / BCD =/ 150° ,求 AD 的長.例4 如

2、圖，在 DABCD中，AD = 5, AB=3, AE平分/ BAD交BC邊于點(diǎn)E,則線段 BE、EC的長度分別為（）A . 2 和 3 B . 3 和 2 C . 4 和 1 D. 1 和 43 .求周長口口例 5 如圖，在 ABCD 中，AE LBC 于 E, AF LCD 于 F , / EAF = 45 °,且 AE+AF = 2j2 ,求 ABCD 的周長.4 .求第三邊的取值范圍口例6 如圖，在 ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)0,如果AC=12, BD=10, AB = m,那么m的取值范圍是（）A. 10Vm<12 B. 2<m<22 C. l&

3、lt;m<ll D. 5<m<65 .綜合計算題例7 如圖，ABCD的周長為10、畝 6瓢,BC的長為5J3 , AE，BC于E, AF XDC,垂足為 DC延長線上的點(diǎn) F,AE=3.求：（1）/D的度數(shù)；（2）AF的長.6 .探索題例8 如圖，四邊形 ABCD是平行四邊形，/ BCD的平分線CF交邊AB于點(diǎn)F, / ADC的平分線 DG交邊AB于點(diǎn)G,且DG與CF交于點(diǎn)E.請你在已知條件的基礎(chǔ)上再添加一個條件，使得EFG為等腰直角三角形，并說明理由.二、添作中位線，妙證幾何題三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.這是三角形的一條很重要的性質(zhì)，它包

4、含了位置與數(shù)量兩種關(guān)系.在題中，若有線段的中點(diǎn)，可過中點(diǎn)作第三邊的平行線或取另一邊中點(diǎn)構(gòu)造中位線，運(yùn)用 中位線定理，實(shí)現(xiàn)線段或角的轉(zhuǎn)移，從而迅速找到解題突破口，往往會使得某些看似無法解決的幾何題化難為易，迎 刃而解.例9 如圖，在 ABC中，AB <AC，點(diǎn)D在AC上，且有 CD =AB , E、F分別是 AD和BC的中點(diǎn)，連結(jié) EF并延長與BA的延長線相交于點(diǎn) G,求證：AE=AG.例10 如圖，在四邊形 ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn) O,且AC=BD, E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF分別交 AC、 BD 于 M、N .求證：/ OMN = / ONM .例11 如圖， ABC中

5、，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，BE的延長線交 AC于點(diǎn)F ,求證： AF - AC3例12 如圖， ABC的中線AD、BE相交于點(diǎn) G,求證：S abg s四邊形cegd .三、巧算與矩形有關(guān)的面積題解答這類問題可考慮用未知數(shù)表示某些線段，構(gòu)造方程來求解.例13 如圖，矩形 ABCD的面積為S, E是AB的四等分點(diǎn)，F(xiàn)是BC的三等分點(diǎn)，G是CD的中點(diǎn)，則4 EFG的面 積為.例14 如圖，矩形 ABCD中，E是BC上的點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的點(diǎn)，且s abe s adf 1s矩形abcd ,則S竺等于（）3s CEF四、折疊問題近幾年一些省市的中考題中出現(xiàn)了很多有關(guān)矩形紙片折疊的問題.由于這

6、類問題的實(shí)踐性強(qiáng)，需要同學(xué)們通過動手操作去發(fā)現(xiàn)解決問題的方法.其規(guī)律為利用折疊前后線段、角的對應(yīng)相等關(guān)系，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理來求 解.以下面例題加以說明.例15 矩形紙片ABCD中.AD=4 cm, AB =10 cm,按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn) B與點(diǎn)D重合，折痕為 EF ,則DE =cm.例16 將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖所示的圖形，已知/ CED'=60 °,則/ AED的大小是（）A. 60° B, 50° C, 75° D, 55°例17 如圖，矩形 ABCD中，AB=3, BC=4,如果將該矩形沿對角線BD折

7、疊，那么圖中陰影部分的面積是多少？五、路在何方我們知道如果直線 m/ n, A、B為直線n上的兩點(diǎn)，C P為直線m上的兩點(diǎn)（如圖），容易根據(jù)平行線之間的距離處處相等及同底等高的兩個三角形面積相等的知識，得到兩對面積相等的三角形，即4ABGSABP面積相等； CPA和ACPB面積相等，還有一對面積相等的三角形，你知道嗎？我們進(jìn)一步看：如果 A、B、C為三個定點(diǎn)，點(diǎn) P在m上移動，那么無論點(diǎn) P移動到任何位置，總有 ABP與 ABC 的面積相等，理由：因?yàn)槠叫芯€間的距離相等，所以無論點(diǎn) P在m上怎么移動，總有 ABP與ABC勺同底等高，因此，它們 的面積總相等.例18 如左圖，五邊形 ABCDE是

8、張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如右圖所示形狀，但承包土地與開始荒地的分界小路（圖中折線CDE）還保留著，為了便于通行，張大爺想過E點(diǎn)修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，請你用有關(guān)數(shù)學(xué)知識，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計出修路方案（不 計分界小路與直路的占地面積）寫出設(shè)計方案，并在圖中畫出相應(yīng)的圖形;說明方案設(shè)計理由.六、聚焦閱讀理解題也考查同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識來解決閱讀綜合理解題主要考查同學(xué)們對“新事物” “新知識”的接受和理解能力,“新事物” “新知識”的能力.解決這類綜合問題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用所學(xué)知識來理解題目，從而做到正確解題。例19 閱讀以

9、下短文，然后解決下列問題:如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形這邊所對的頂點(diǎn)在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的友好矩形”，如圖所示，矩形ABEF即為 ABC的 友好矩形”.顯然，當(dāng)AABC是鈍角三角形時，其友好矩形”只有一個.(1)依照以上敘述，說明什么是一個三角形的友好平行四邊形”；如圖，若ABC為直角三角形，且/C=90。，在圖中畫出 ABC的所有 友好矩形”，并比較這些矩形面積的大小;如圖，若ABC是銳角三角形，且BC>AC>AB,在圖中畫出 ABC的所有 友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并加以說明.七、“Face to圖Fac

10、e”中點(diǎn)四邊形圖順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.這個中點(diǎn)四邊形有許多重要性質(zhì),在中考試題中也屢見不鮮，中點(diǎn)四邊形的四個結(jié)論如下:1 .任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形已知：如圖，四邊形 ABCD中，E、F、G、分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).求證：四邊形 EFGH是平行四邊形.2.對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形已知：如圖，四邊形 ABCD中，E、F、G、分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),AC = BD.求證：四邊形 EFGH是菱形.3 .對角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形已知：如圖，四邊形 ABCD中，E、F、G、分別是AB、BC、CD、求證：四邊形 EFG

11、H是矩形.4 .對角線相等且垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形DA的中點(diǎn)，AC± BD.因?yàn)樗倪呅蔚膬蓷l對角線垂直，所以這個四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形，又因?yàn)檫@個四邊形的.兩條對角線相等, 所以這個四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形.既是矩形又是菱形的圖形就是正方形.BD相交于0點(diǎn)，且/ BOC=60° ,順次連結(jié)等腰塊都是等腰直角三性與趣味性，深受人題，值得關(guān)注.（1）,整幅七巧板是由正方形ABCD分割組成.如圖（2）,是由七巧板拼成的一個梯形，A.B.C.中點(diǎn)四邊形的這四個結(jié)論應(yīng)結(jié)合以下特例靈活掌握：菱形的中點(diǎn)四邊形為矩形，矩形的中點(diǎn)四邊形為菱形，正方形的中點(diǎn)四邊形為正方形.例20

12、順次連結(jié)等腰梯形四邊中點(diǎn)得到一個四邊形，再順次連結(jié)所得四邊形四邊中點(diǎn)得到的圖形是（）A.等腰梯形B.直角梯形C .菱形 D .矩形例 21 如圖，在等腰梯形 ABCD 中，AD II BC, AD =3, BC=5, AC、 梯形各邊中點(diǎn)所得四邊形的周長是（）A. 24C. 16八、“智力魔方”一一一七巧板七巧板是由正方形按如圖所示的方法制作成的（沿實(shí)線剪開），其中有五 角形，一塊正方形，一塊平行四邊形，七巧板是一種數(shù)學(xué)玩具，有很強(qiáng)的益智 們的喜愛.在近幾年的中考試題中，就出現(xiàn)了一些與七巧板有關(guān)的拼圖和計算例22七巧板是我們祖先創(chuàng)造的一種智力玩具，它來源于勾股法.如圖成七小塊（其中：五塊等腰直

13、角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形）若正方形ABCD的邊長為12 cm,則梯形MNGH的周長是 cm.（結(jié)果保留根號）例23用邊長為1的正方形紙板制成一副七巧板（如圖），將它拼成 小天鵝”圖案（如圖（2）,其中陰影部分的面積為（）九、四邊形“聯(lián)姻”直角坐標(biāo)系中考中常把四邊形與平面直角坐標(biāo)系結(jié)合起來考查，這類題目有利于同學(xué)們把“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來思考，提高同學(xué)們綜合運(yùn)用知識的能力.傷J 24 一張矩形紙片 OABC平放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)， 0為原點(diǎn)，點(diǎn) A在x軸的正半軸上，點(diǎn) C在y軸的正半 軸上，OA=5, OC=4.如圖，將紙片沿 CE對折，點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處，求點(diǎn)D的坐標(biāo).例25如

14、圖，四邊形 ABCD是平行四邊形，點(diǎn) A、B、D的坐標(biāo)分別是（O, O）、（5, O）和（2, 3）.求：頂點(diǎn)C 的坐標(biāo)；（2）對角線AC、BD的交點(diǎn)E的坐標(biāo).例26 已知菱形 ABCD的邊長為5, / BAD是銳角，把它放在平面直角坐標(biāo)系之中，并且使 AD邊在y軸上，點(diǎn)A在點(diǎn)D的下方，這時點(diǎn) C的坐標(biāo)為（4, 10）.（1）求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）畫出符合題意的圖形.例27 一個正方形的兩個頂點(diǎn)O和A的坐標(biāo)分別是（O, 0）和（4, O）,請寫出另外兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo).十、“天塹”變“通途”梯形是不同于平行四邊形的一類特殊四邊形，解決梯形問題的基本思路是通過添加輔助線，對梯形進(jìn)行割補(bǔ)、拼 接，使

15、“天塹”變“通途”，從而轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形問題，使看似不可能的問題得到解決，一般而言，梯形 中常用的輔助線主要有以下幾種.1 平移一腰過梯形的一個頂點(diǎn)作一腰的平行線，將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形，從而利用平行四邊形的性質(zhì)，將分散的條件集中到三角形中去，使問題順利得解.例 28 如圖，梯形 ABCD 中 AD/BC, AD =2 cm, BC=7 cm, AB=4 cm,求 CD 的取值范圍.規(guī)律總結(jié)：通過作腰的平行線，構(gòu)造平行四邊形、三角形，從而把分散的條件集中到一個三角形中去，從而為解題創(chuàng)造必要條件，這種方法很重要，需切實(shí)掌握2 延長兩腰交于一點(diǎn)將梯形的兩腰延長，使之交于一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化為大、小兩個三角形，從而利用特殊三角形的有關(guān)性質(zhì)解決梯形問題例29 如圖，梯形 ABCD中，AD / BC , / B=/C,試說明梯形 ABCD是等腰梯形.規(guī)律總結(jié)：延長兩腰交于一點(diǎn)，可把梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題解決3 平移一條對角線從梯形一底的一個頂點(diǎn)向梯形外作對角線的平行線，與另一底的延長線相交，構(gòu)成