信號時域頻域及其轉(zhuǎn)換

1、實用文檔信號分析方法概述：通用的基礎(chǔ)理論是信號分析的兩種方法：1是將信號描述成時間的函數(shù)2是將信號描述成頻率的函數(shù)。也有用時域和頻率聯(lián)合起來表示信號的方法。時域、頻域兩種分析方法提供了不同的角度，它們提供的信息都是一樣， 只是在不同的時候分析起來哪個方便就用哪個。 思考：原則上時域中只有一個信號波（時域的頻率實際上是開關(guān)器件轉(zhuǎn)動速度或時鐘 循環(huán)次數(shù)，時域中只有周期的概念），而對應(yīng)頻域（純數(shù)學(xué)概念）則有多個頻率分量。人們很容易認識到自己生活在時域與空間域 之中（加起來構(gòu)成了三維空間）所以比較好理解 時域的波形（其參數(shù)有：符號周期、時鐘頻率、幅值、相位 ）、空間域的 多徑信號也比較好理解。但數(shù)學(xué)告

2、訴我們，自己生活在N維空間之中，頻域就是其中一維。 時域的信號在 頻域中會被對應(yīng)到多個頻率中，頻域的每個信號有自己的頻率、幅值、相位、周期（它們?nèi)?值不同，可以表示不同的符號，所以頻域中每個信號的頻率范圍就構(gòu)成了一個傳輸信道。時域中波形變換速度越快（上升時間越短），對應(yīng)頻域的頻率點越豐富。所以：OFDW, IFFT把頻域轉(zhuǎn)時域的原因是：IFFT的輸入是多個頻率抽樣點（即 各子信道的符號），而IFFT之后只有一個波形，其中即 OFD熠號，只有一個周期。時域時域是真實世界，是惟一實際存在的域。 因為我們的經(jīng)歷都是在時域中發(fā)展和 驗證的，已經(jīng)習(xí)慣于事件按時間的先后順序地發(fā)生。而評估數(shù)字產(chǎn)品的性能時，

3、通常在時域中進行分析，因為產(chǎn)品的 性能最終就是在時域中測量的。時鐘波形的兩個重要參數(shù)是時鐘周期和上升時間。時鐘周期就是時鐘循環(huán)重復(fù)一次的時間間隔，通產(chǎn)用ns度量。時鐘頻率Fclock ,即1秒鐘內(nèi)時鐘循環(huán)的次數(shù)，是時鐘周期 Tclock的倒數(shù)。Fclock=1/Tclock上升時間與信號從低電平跳變到高電平所經(jīng)歷的時間有關(guān)，通常有兩種定義。一種是10-90上升時間，指信號從終值的10%IK變到90斷經(jīng)歷的時間。這通常是一種默認的表達方式，可以從波形的時域圖上直接讀出。第二種定義方式是 20-80上升時間，這是指從終值的20%B變到80%所經(jīng)歷的時間。時域波形的下降時間也有一個相應(yīng)的值。根據(jù)邏輯

4、系列可知，下降時間通常要比上升時間短一些，這是由典型 CMOS1出驅(qū)動器的設(shè)計造成的。在典型的輸出驅(qū)動器中，p管和n管在電源軌道 Vcc和Vss間是串聯(lián)的，輸出連在這個兩個管子的中間。在任一時間，只有一個晶體管導(dǎo)通，至于是哪一個管子導(dǎo)通取決于輸出的高或低狀態(tài)。假設(shè)周期矩形脈沖信號 f的脈沖寬度為t ,脈沖幅度為E,重復(fù)周期為T,文案大全頻域頻域最重要的性質(zhì)是： 它不是真實的，而是一個數(shù)學(xué)構(gòu)造。 時域是惟一客觀存 在的域，而頻域是一個遵循特定規(guī)則的數(shù)學(xué)范疇。正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規(guī)則，即正弦波是對頻域的描述，因為時域中的任何波形都可用正弦波合成。這是正弦波的一個非常重要

5、的性質(zhì)。然而，它并不是正弦波的獨有特性，還有許多其他的波形也有這樣的性質(zhì)。正弦波有四個性質(zhì)使它可以有效地描述其他任一波形：(1)時域中的任何波形都可以由正弦波的組合完全且惟一地描述。(2)任何兩個頻率不同的正弦波都是正交的。如果將兩個正弦波相乘并在整個時間軸上求積分，則積分值為零。這說明可以將不同的頻率分量相互分離開。(3)正弦波有精確的數(shù)學(xué)定義。(4)正弦波及其微分值處處存在，沒有上下邊界。使用正弦波作為頻域中的函數(shù)形式有它特別的地方。若使用正弦波，則與互連線的電氣效應(yīng)相關(guān)的一些問題將變得更容易理解和解決。如果變換到頻域并使用正弦波描述，有時會比僅僅在時域中能更快地得到答案。而在實際中，首先

6、建立包含電阻，電感和電容的電路，并輸入任意波形。一般情況下， 就會得到一個類似正弦波的波形。而且，用幾個正弦波的組合就能很容易地描述這些波形， 如下圖2.2所示:圖2.2理想RLC電路相互作用的時域行為 頻域的圖如下？時域與頻域的互相轉(zhuǎn)換時域分析與頻域分析是對模擬信號的兩個觀察面。時域分析是以時間軸為坐標(biāo)表示動態(tài)信號的關(guān)系；頻域分析是把信號變?yōu)橐灶l率軸為坐標(biāo)表示出來。一般來說，時域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡練，剖析問題更為深刻和方便。時域與頻域的對應(yīng)關(guān)系是：時域里一條正弦波曲線的簡諧信號，在頻域中對應(yīng)一條譜線，即正弦信號的頻率是單一的，其頻譜僅僅是頻域中相應(yīng)f0頻點上的一個尖峰信號

7、。按照傅里葉變換理論：任何時域信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的疊加。1、正弦波 時域信號是單一頻率信號；2、正弦波以外的任何波型的時域信號都不是單一頻率信號；3、任何波型都可以通過不同頻率正弦波疊加得到； 解釋1:初學(xué)者一個經(jīng)常的困惑是： 無法理解信號為何會有多個頻率，加上許多書中的描述不夠嚴謹，比如：語音信號的頻率是在4k以下，是34千赫正弦波。正確的解釋是：一個信號有兩種表示方法，時域和頻域。在時域，信號只有周期，正是因為有了傅立葉變換，人們才能理解到信號頻域的概念。（先有傅立葉變換的結(jié)果才讓你認識到聲音信號里包含了某種頻域的正弦波，它僅僅是聲音信號里的一個分量.用你的眼睛你可能永

8、遠看不出這些幅度變動里包含了你所熟悉的34KHZ的正弦波?。┳ⅲ捍蠹覒?yīng)牢記：頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實的，而是一個數(shù)學(xué)構(gòu)造。頻域 實際上是時域信號進行傅立葉變換的數(shù)學(xué)結(jié)果。通過數(shù)學(xué)方法，可以更方便的觀察到信號內(nèi)含的信息、可以分解合成信號。無線通信中傳輸資源包括了時間、頻域、空間等。時間比較好理解，就是：時間周期1發(fā)送符號1,時間周期2發(fā)送符號2. o, 時域的波形可以用三角函數(shù)多項式表示，函數(shù)參數(shù)有：時間、幅度、相位。在載波傳輸中， 載波信號由振蕩器產(chǎn)生，它的時鐘頻率是固定的，倒數(shù)就是 時間周期。頻域比較難理解，按傅立葉分析理論，任何時域信號都對應(yīng)了頻域的若干頻率 分量（稱為諧波）的疊加，

9、頻域的頻率與時域的時鐘頻率不同?？梢哉J為：時域不存在頻率，只存在時間周期。信號處理與通信中所指的頻率一般都是指頻域的頻率分量。而每個頻率分量都可從數(shù)學(xué)意義上對應(yīng)時域的一個波形（稱為諧波，基波是一種特殊的諧波，它的頻率與時域波形的時鐘頻率相同）。因為載波一般都是正弦波，所以定義信號在1秒內(nèi)完成一個完整正弦波的次數(shù)就是信號的頻率（以 Hz為單位），即1Hz。時間周期T=1/f。載波的功能參見調(diào)制解調(diào) 部分內(nèi)容。這里可以先不理解何為載波，關(guān)鍵是時域與頻域的對應(yīng)關(guān)系。設(shè)時域波形(圖中的合成波)的時間周期=T (如2秒)，其時鐘頻率則為f0=1/2 Hz 。那么基波的頻率、周期與合成波一樣。每個諧波之間

10、頻率間隔=基波頻率。而諧波1的頻率f1=1/2+1/2=1Hz ,周期T1=1。諧波 2 的頻率 f2=1 + 1/2=3/2 Hz ,周期 T2=2/3。諧波 8 的頻率 f8=1/2+(1/2)*8=4.5Hz,周期 T8=0.2222在頻域中，每個頻率分量都有自己的幅度與相位。按諧波的頻率、幅度、相位信息可以得到諧波所對應(yīng)時域的波形。將各諧波的時域波形疊加起來，即得到時域中 合成波。解釋2：時域信號的數(shù)據(jù)傳輸速率，常用 bps ,如100Kbps,指1s內(nèi)傳輸了 100K bits的 二進制數(shù)據(jù)。即：時域的傳輸效率。引入頻域后，帶來一個新的數(shù)據(jù)：頻譜效率，作為頻域的傳輸效率。如80bps

11、/Hz指1Hz頻率上能傳輸80bps數(shù)據(jù)。按信息論，帶寬越大，數(shù)據(jù)速率越高。解釋3:為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替呀，分解信號的方法是無窮的， 但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原 來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生 變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。注：此處仍要牢記：頻域是 數(shù)學(xué)構(gòu)造，只要有助于我們分析信號，對應(yīng)的 數(shù)學(xué)方法 就是有用的。傅立葉變換原

12、理傅立葉變換分類傅立葉級數(shù)(Fourier Series)傅立葉變換(Fourier Transform )離散時域傅立葉變換(Discrete Time Fourier離散傅立葉變換(Discrete Fourier根據(jù)原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別:周期性連續(xù)信號非周期性連續(xù)信號非周期性離散信號Transform )周期性離散信號Transform) -DFT 卜圖是四種原信號圖例:Fottner Series£ 草靛r 由配 dFt sTUUfafiafittTime Fwmev 口即卜他叫由界近 J nt由國之D；reie Foiner 丁儂聞股】: 口界

13、air加火shm回窕瑞二jtfj hxiicType of TjaiuormE?uiiLiple這四種傅立葉變換都是針對正無窮大和負無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，針對長度有限的傅立葉變換呢？沒有。我們知道這對于計算機處理來說是不可能的,那么有沒有因為正余弦波被定義成從負無窮小到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成的方法。是非周期性離解信號，我們就可以用到離散時域傅立葉變換還有，也可以把信號用復(fù)制的方法進行延伸，這樣信號就變成

14、了周期性離解信號，這時我們就可以用 離散傅立葉變換方法 進行變換。這里我們要學(xué)的是離散我們的最終目的信號，對于連續(xù)信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數(shù)值信號,是運用計算機來處理信號的。離散傅立葉變換（DFT但是對于非周期性的信號，我們需要用 無窮多不同頻率的正弦曲線 來表示,這對于計算機來說是不可能實現(xiàn)的。所以對于離散信號的變換只有才能被適用，對于計算機來說只有離散的和有限長度的數(shù)據(jù)才能被處理，對于其它的變換類 型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們 使用周期性的信號目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來解決問題,至于考慮

15、周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。每種傅立葉變換都分成實數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對于實數(shù)方法是最好理解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對復(fù)雜許多了， 需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識，不過，如果理解了實數(shù)離散傅立葉變換（real DFT）,再去理解復(fù)數(shù)傅立葉就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉放 到一邊去，先來理解實數(shù)傅立葉變換，在后面我們會先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來理解復(fù)數(shù)傅立葉變換。還有，這里我們所要說的變換（transform）雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合一一映射準則的，對于離散數(shù)字信號處理（有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、

16、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數(shù)變換的定義, 變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數(shù)據(jù)傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號， 都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(信號的頻譜)，可以利用一些工具對這些頻域信號進行

17、處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。傅立葉級數(shù)的五個公式(周期性函數(shù))傅立葉(19世紀的法國人)認為：任何周期函數(shù)f 總是可以變成下面的傅 立葉級數(shù)n* I(傅立葉公式1)它等價于下面的公式- Ac. +£ A -E.f +一- 1(傅立葉公式2)兩個公式的關(guān)系是：*.公式中a0,an、bn都是常數(shù)。ACosVkt+BkSinWkt即時域信號的第 k個頻率分量對應(yīng) 的正弦波(即諧波)表示。 an,bn也稱為傅立葉系數(shù)。時域的信號用f(t)表示，下面介紹這個信號如何轉(zhuǎn)換到頻域的表示方法。因為三角函數(shù)間有正交關(guān)系，如下1,兩個不同三角函數(shù)的乘積在-pi,+

18、pi上的定積分為0。即正交。r.1 - cos(»ix)cLr = 0 n 1,2,J f需1 sin(?i)djr =。 h = 1,2 *cos(wx) C0S(*jr)d工=0 m nJ 7*sin(wiz) sin5x>d= 0 m 聲程J -Fsin(mT) co$(nx)dj* 0 m,n =J -<2,兩個相同函數(shù)的乘積在卜pi,+pi上的定積分為2Pi或pi.J = 2 久 sin2a tt n 1,2,j ccs'jr >d j- = k >i = 1,2 * *解釋：上圖中的x對應(yīng)傅立葉公式中的時間參數(shù)to pi可對應(yīng)時間周期 To

19、首先：我們考慮如何對于 時域信號f分解出其中的各個子信號（子諧波）：ACosWt+BkSinWkt。然后可以得到各個諧波在 頻域的表示方法：頻率VV幅度Cn相位。這三項就是傅立葉變換的結(jié)果：頻域信號表示按上述的三角函數(shù)關(guān)系，要得到ak,就把f 乘以coswkt,并在整個周期內(nèi)取積分。得到（下圖中的an就無ak.） | /（Ocostdr】”2, 3,.J-TA 同樣有力.a /（£”皿3/由 程= 0.1. 2,3匕r r根據(jù)為CosWt+BkSinWkt這個波形的表示方法可以推導(dǎo)出：1, '就是這個正弦波的最大幅值（最大振幅）（也即幅值頻譜圖的y軸）。十4口 一 l f .

20、一 h）2, 、7''就是這個正弦波的相位。經(jīng)過簡單的三角函數(shù)運算，可以得到傅立葉級數(shù)f（t）的另一個表達方式:1（*）=號-十號E卡 L（傅立葉公式3）= taa*1一和相位它可以更方便的計算出振幅tan-1 ( 3/% )（分別對應(yīng)幅度譜與相位譜）傅立葉級數(shù)f（t）的另一種表示方式是復(fù)旨數(shù)形式,它也是最簡捷的表達方式。1 事*一-（傅立葉公式4）C wo.一處.=Ma： +1ST 6外Cn是復(fù)數(shù)，定義為 =£；/（加/從上面的f（t）推導(dǎo)出復(fù)指數(shù)形式 的過程略，基本思想是利用了 歐拉公式eAjx = cos（x） + jsin（x）e物e一沁CC S 5解釋：頻域

21、分量轉(zhuǎn)成的時域信號都是復(fù)信號（含實部與虛部），雖然實際信號都是實的。 實際上信號的傳輸都用實信號，而接收信號的處理中則使用復(fù)信號。三角函數(shù)運算法則是:從上面的復(fù)指數(shù)傅立葉級數(shù)公式 幅和相位。中，可以直接得到各子頻率分量對應(yīng)正弦波（諧波）的振復(fù)指數(shù)傅立葉級數(shù)公式（傅立葉公式4）可以推導(dǎo)出三角函數(shù)形式一 Ca (T(BiJ48Q +© “S.t +0.)十號!1, IB=-'h- E。5531 +8.) -AJL0 1傅立葉公式5另外，在傅立葉公式4中看起來出現(xiàn)了 “負頻率”，但實際上它們是不存在，只是數(shù)學(xué)的一種表示方法。所以在 傅立葉公式5中就消除了 “負頻率”這里給出了五種

22、傅立葉級數(shù)f(t)的表示方式，它們都是等價的，并可互相推導(dǎo)出來。傅立葉積分(非周期性函數(shù))非周期性函數(shù)使用傅立葉積分來得出頻譜。因為這個函數(shù)總可以在時間間隔之外按其本身形狀來重復(fù)，這里可使用傅立葉級數(shù)來計算頻譜。而當(dāng)時間間隔不斷增大，在極限情況下就變?yōu)楦盗⑷~積分?？紤]一個周期函數(shù)f，用傅立葉級數(shù)表示。r/s*"«土&一-r/J其頻譜圖如下，ffl ±- 10 闈制西效妁振幅由其相鄰各諧波頻率之間間隔為“2JI+ t 5=-/(w)一 J * 之:。*£*，3所以這個f 可以寫為 ，將4W代入原f(t)公式而得。當(dāng)T->無窮大時,j/a一。“

23、而Wnrtii->0 ,所以 頻譜會由 離散頻率點 變?yōu)檫B續(xù)頻譜。則Cn作為諧波 Wk的幅值也會變?yōu)檫B續(xù)函數(shù)F(w) ，-， . ,一則我們得到非周期函數(shù)f的傅立葉積分表示方法fF ( W f (£曰一加團非周期函數(shù)f(t)的時域、頻域圖舉例如下:時阿平賦6場舉平面S 2-13蠟鳧球沖及箕啦皆把F(w)的計算公式稱為傅立葉積分公式。F(w)稱為f(t)的傅立葉變換。f(t)公式 即傅立葉反變換公式。F(w)與f(t)的計算公式看起來很像，甚至可以互相調(diào)換f(t)與F(w).由F(w)公式得出時域信號f(t)的頻率分量。頻率、頻譜從本質(zhì)上說是某種數(shù)學(xué)抽象。振幅譜和相位譜的關(guān)系上面

24、的頻譜圖實際上是振幅譜，看不出相位與頻率間的關(guān)系。F(w)是頻率的復(fù)函數(shù)。F(w)也可分解為振幅譜和相位譜。fo)= /如相位角能出)則代表相位揩.,它隨頻率變化。它們有奇怪的對稱性。振幅譜是頻率的偶對稱函數(shù)。相位譜是頻率的奇對稱函數(shù)。 可以推導(dǎo)出：卜"；/。加速33北3即相位就是tAH- L ( 3 )(0"行刺而見 b)根咽漕(c)順位謂田£75 一種信號的螳帽興耨相位請解釋：時域中的相位，與頻域中的相位完全不同。頻域中相位是指各諧波的相位，它隨頻率而時間變化。 所以：1,頻域中完全看不出時間，只有諧波的各頻率、幅值、相位。這些諧波在 非穩(wěn)定信號中可能并不會在

25、所有時間中存在，這是另一個信號處理領(lǐng)域的問題。2,時域信號中看不出頻率，只有各諧波疊加后的信號。時域信號的周期=各諧波信號中的最大周期，即基波的周期。頻率也相當(dāng)于基波的頻率。相位則是各諧波疊加后形成（相位在時域與頻域沒有固定的、可按公式計算出的關(guān)系）。 時域信號的一個周期中的 符號 包括了以下信號的疊加（且可通過正交分解出來）：一個基波在一個周期內(nèi)的符號， 一次諧波在2個周期內(nèi)的符 號，二次諧波在3個周期內(nèi)的符號，三次諧波在 4個周期內(nèi)的符號。在快速傅立葉變換中，因為時域抽樣點必須是 2的K次方，所以偶次諧波的幅值總 為0,即不攜帶信息或空符號 功率譜從電路分析可知，如力（t ） = A1cR

26、.sin。/An2+Bn2）/2瓦。歐電阻內(nèi)所損耗功率的測量。平均損耗功率。2代表i歐電阻上的電壓，則在此電阻內(nèi)損耗的平均功率為（所以振幅頻譜的平方就是不同頻率上（n=0,1,2.）1各個頻率上的功率相加，就得到周期性電壓加到電阻上的 任意電壓f 加到1歐電阻上的瞬時功率就是| f傅立葉變換推導(dǎo)出：時移原理與頻移原理，對偶性質(zhì)傅立葉變換有兩個重要的原理:1,時間移位原理將時域時間原點從t=0處移到t=t0處，則相當(dāng)于頻域F（w）的相移2,頻譜搬移原理如果F（w）的角頻率移動了 W0瓜度/秒，則f要乘上f J。"一尸（今一如）推導(dǎo)公式是:U)e + *8.口>.)必在調(diào)制技術(shù)中，

27、信號f 要調(diào)制到載波上產(chǎn)生的頻率移動，即通過上述關(guān)系確立?；鶐盘枺◣в行畔ⅲゝ（t）對載波信號CosWOt的調(diào)幅結(jié)果（即已調(diào)制信號），可表示為 J（t）coso0tf0=W0/2pi ,為時域載波信號的頻率 已調(diào)制信號的傅立葉變換結(jié)果為:3 Cc> o )即：調(diào)制之后，f（t）的頻譜被移動了,曲沏iq 有以等顆孝為中心的煦滿.那久山豈包絲則有以較彼蜒辭 九為萬心的領(lǐng)譚廠的二圖2 TA H畫山了 一個例子.-2rB（。）（伍號筑滯， . £f u2-24發(fā)事件前的示田比如：先將一段音樂的離散時間信號做傅里葉變換（FFT）,再將得到的頻譜向高處搬移，最后做傅里葉反變換（IFFT）

28、,恢復(fù)到時域，聽到的聲音會比原來的聲調(diào)高。時間-頻率間的對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系1:時間變化速率（即時域信號的變化速率）與 頻譜 呈正比關(guān)系 時域信號波形中，振幅的變化構(gòu)成整個信號的包絡(luò)。F面是一個調(diào)幅信號在一個周期內(nèi)波形的例子，振幅的變化代表了傳送的信息。f（ t J = A（l + co5露 1）3§包。2A是最大振幅上式經(jīng)簡單的三角運算后，得J c。等e. £Acoso, t+A+-8.” + COS（3 +G.）W其頻譜如下:師131Tl4 /廣卬* 3圖2-4巳珂載波的量幅一廉率明當(dāng)原信息信號變化更快時 （wm曾大），使得振幅調(diào)制后的信號也變化更快邊帶頻率（W0-Wm,W

29、0+Wm更遠的離開載波。所以：較快速的變化相當(dāng)于較高頻率的變動。即：時間變化速率增加，頻率也增高了 （這點在 上升時間與帶寬 關(guān)系中也可見）對應(yīng)關(guān)系2,時間周期T 與 頻譜呈反比關(guān)系卜面用矩形脈沖序列來深入討論時間-頻率之間的關(guān)系。S i-a周期味用的常取現(xiàn)分折它的頻譜可以表示成再寫成比=gj.z/2給出一個歸一化的無量綱變數(shù) 人-C產(chǎn)工4SJ11X函數(shù)sinx/x 在x=0處有最大值，此處 sinx->x, (sinx/x)->1,而當(dāng)x->無窮大時，它->0函數(shù)sinx/x的形狀如下因為n是離散的，所以Wn也取離散值（W1=2pi/T的各諧波），所以 歸 一化參數(shù)x

30、也是離散點，但 Cn的包絡(luò)無疑與上圖一致。雖然周期函數(shù)包括有基本頻率的所有整數(shù)倍的頻率分量，但在較高頻率上，振幅的包絡(luò)減小。并且基本周期T越?。疵棵氲拿}沖數(shù)增多），頻率譜線越移越開。時間函數(shù)比較快速的變化則相當(dāng)于比較高的頻率分量：周期T減少，則頻譜變大（因為Af=2pi/T 變大）由于集中在低頻區(qū)的譜線有較高的幅度，所以這個周期波所具有能量的大部分都分布在較低的頻率分量上。當(dāng)函數(shù)變化增快（T減?。r，在較高頻率范圍內(nèi)所包含的能量所占的比重將增大。對應(yīng)關(guān)系3:脈沖寬度與頻譜：呈反比關(guān)系從上圖可見，隨著脈沖寬度的減少，信號的頻率分量分布的更寬思考：因為那么因為sinxx的圖形不變，當(dāng) sinxx

31、=0時的x不會變,則此時 減少，表示W(wǎng)n變大。同時在曲=?#/上處的第一個零交點在頻率軸上移遠。因此，在 脈沖寬度或持續(xù)時間 與脈沖的頻率展布 之間，有反比關(guān)系存在。用脈沖寬度定義帶寬（即很窄的脈沖），則大部分信號能量將落在下式的范圍內(nèi)這個點也當(dāng)作信號的帶寬。解釋：上面三點其實與上升時間越小，對應(yīng)帶寬越大的關(guān)系是一致的頻譜、幅度譜、相位譜、功率譜 與 周期性函數(shù)的頻譜頻譜就是時域信號經(jīng)過傅立葉變換后的復(fù)信號；因為Cn是復(fù)數(shù)。幅度譜就是復(fù)頻譜取幅度后得到的幅度與頻率之間的關(guān)系曲線； 相位譜就是復(fù)頻譜取出相位后得到的相位與頻率之間的關(guān)系曲線； 功率譜就是功率與頻率之間的關(guān)系曲線。周期性函數(shù) 按上面

32、傅立葉級數(shù)的推導(dǎo)方法來得到頻譜（以頻率Wn為x軸、幅值Cn為y軸）困2-12常用件外沖及其猊諧按傅立葉公式1中定義，可知每個頻率點間的間隔是2Pi/T,那么第0個頻率點即基波，它的頻率 =2Pi/T。T是時域信號的周期,所以基波頻率=時域信號的時鐘頻率，基波表示時域信號的直流分量。從頻譜圖也能看出，相鄰各諧波頻率之間間隔.? Ji/卬七3。一 一3.=-為，,它就是基波角頻率。（角頻率與頻率之間就是多了個2pi的關(guān)系，那么 基波頻率就是時域信號的頻率）W0傅立葉級級數(shù)中用常數(shù) a0表示。周期=2pi/W0.一次諧波分量 W1周期是基波分量周期的1/2 ,頻率是基波頻率的 2倍。二次諧波分量 W

33、2周期是基波分量周期的1/3 ,頻率是基波頻率的 3倍。所以：頻域各諧波頻率一定是時域信號時鐘頻率的倍數(shù) 基波的定義是：將非正弦周期信號按傅里葉級數(shù)展開，頻率與原信號頻率相同的量。在復(fù)雜的周期性振蕩中，包含基波和諧波。和該振蕩最長周期相等的正弦 波分量稱為基波。相應(yīng)于這個最長周期的頻率稱為基本頻率。頻率等于基本頻率的整倍數(shù)的正弦波分量稱為諧波。周期為T的信號中有大量正弦波，其頻率分別為1/T Hz、2/T Hz、n/THz,稱頻率為1/THz的正弦波為“基波”， 頻率為等n/THz （nwl）的正弦波為n次“諧 波”。解釋：基波諧波 來自于 原時域信號的頻譜中各頻率點的頻率、相位在時域中體現(xiàn)為

34、各正弦波，它們疊加在一起形成了原時域信號。在簡諧振動中，在單位時間內(nèi)物體完成全振動的次數(shù)叫頻率，用f表示。頻率也表示單位時間波動傳播的波長數(shù)。頻率的2兀倍叫角頻率，即 3 =2兀f。在國際單位制中，角頻率的單位也是弧度/秒。頻率是描述物體振動快慢的物理量，所以角頻率也是描述物體振動快慢的物理量。頻率、角頻率和周期的關(guān)系為3 = 2 71f = 2兀/t。在簡諧振動中，角頻率與振動物體間的速度v的關(guān)系為v=3 asin( w t +() o圓周運動中的角速度CO與簡諧振動中的角頻率3 ,雖然單位相同且都有3 = 2兀/T的相同形式，但它們并不是同一個物理量。角頻率對時間的積分等于相位的改變量。周

35、期函數(shù)、非周期函數(shù)的頻譜總結(jié)，與對稱頻譜的意義動態(tài)信號從時間域變換到頻率域主要通過傅立葉級數(shù)和傅立葉變換實現(xiàn)。周期信號靠傅立葉級數(shù)，非周期信號靠傅立葉變換。 兩個域都有自己的測量工具：時間是示波器，頻域是頻譜分析儀。而在一個域進行測量，通過換算可求得另一個域的結(jié)果。傅立葉級數(shù)公式中，Cn表示了各次諧波的振幅隨頻率變化的情況，一般所指的頻譜是幅度譜，指頻率和振幅的關(guān)系， 表示每個頻率分量及其所占的比重大小， 如振幅大小或 功率大小。周期函數(shù)的頻譜是離散的。 它的頻率是一個不連續(xù)的離散值。因為頻譜函數(shù)Cn的 公式由傅立葉級數(shù)公式(實際上是一個三角函數(shù)級數(shù))推導(dǎo)出，其中的n=0,1,2，n是整數(shù)，那

36、么Wn=W1,W2,W3.W也是離散值。非周期函數(shù)的頻譜是連續(xù)的。由于頻譜函數(shù)F(W)的公式由傅立葉積分推導(dǎo)出，根據(jù)積分的定義，所以：其中的W是連續(xù)變化的。這說明非周期函數(shù)的頻率成分比周期函數(shù)的頻率成分豐富。傅立葉級數(shù)、傅立 葉積分可以取出兩種函數(shù)的不同頻率成分及其幅值。因為*=2必/，故和&- a)t=s e T而-所以*C：=4. + ib,= "DMWr r ” z=fMe ,拴-鼻虱上J Tn上圖是 共軻復(fù)數(shù) 的出發(fā)點，它說明了頻譜圖中出現(xiàn)的負頻率 只是數(shù)學(xué)上的方便寫法。(注：必須記住頻域只有數(shù)學(xué)意義，在現(xiàn)實中是不存在的)頻譜圖中會得到一個關(guān)于 y軸對應(yīng)的頻譜圖。現(xiàn)實

37、中負頻域是不存在的。 這是因為 在由傅立葉級數(shù)到指數(shù)形式的轉(zhuǎn)化過程中，歐拉公式對傅立葉級數(shù)系數(shù)重新分析，即Cn對an和bn進行了共軻對稱調(diào)整，使得各頻率分量的幅度折半按y軸分配，使之出現(xiàn)了對稱的頻譜和負頻域形式。離散傅立葉變換與抽樣：時域的抽樣點數(shù)與頻域點數(shù)的關(guān)系所謂信息，是指信號隨時間的變化。奈奎斯特定理已經(jīng)證明。 為了從抽樣信號中無失真的再現(xiàn)原信號，當(dāng)原信號(為頻帶有限的模擬信號)帶寬為BHz時，最小抽樣速率，應(yīng)該為每秒2B個樣值。即抽樣時間間隔=1/2B 秒。這些樣值包含了原信號的全部信息。具體證明過程如下：以下的信號以頻帶有限的信號。設(shè)其帶寬為BH正即理想情況下，頻域中，超過f=B就絕

38、對沒有任何頻率分量(實際波形中，超過 BHz后，頻率分量幅度迅速下降，也可視為信號帶寬=B)。1,原信號轉(zhuǎn)換成抽樣點時，即抽樣速率為多少對周期信號f(t)抽樣時，只要抽樣速率 f0>=2B,則抽樣不會損害其信息含量。1/2B為抽樣間隔。設(shè)周期脈沖信號為 S(t),脈沖幅度為1,寬度為周期T=1/f0則抽樣后信號為fs(t尸f(t)S(t)。f,S(t)都可以展開成傅立葉級數(shù) (公式1),根據(jù)傅立葉頻譜搬移原理，可以得到fs(t)的傅立葉變換為每一項的中心位于抽樣頻率的倍數(shù)點上。所以：對f(t)抽樣的效果是使其頻譜搬移 到抽樣頻率的所有諧波上。頻譜沿原先的頻率線對稱的分布。而對于非周期函數(shù)

39、f(t)抽樣，也有類似效果。頻譜如下：用3-5相祥出的攝相漕當(dāng)抽樣速率下降時，fo及所有諧波都會互相靠攏，則上圖中各頻譜分量會 重疊在一起，比如中心位于 f0的分量F(W+W0)會同中心位于原點的未偏移項F(W)相混,這樣就不能從Fs(W)中分出F(W),也就不可能從fs(t)中恢復(fù)f(t)。這種因抽樣間隔太寬而引起頻譜重疊并導(dǎo)致失真的現(xiàn)象稱為混淆。而開始相混的極限頻率，可從上圖中看出f0-B=B ,即f0=2B。這就是奈奎斯特抽樣速率。解釋：上面說明了，抽樣的過程即 周期脈沖信號（抽樣信號）與原信號（信息信號）相乘， 產(chǎn)生的結(jié)果信號：在頻域上，會保留原信號的所有信息（即其頻域分量會全部保留）

40、但頻譜搬移到抽樣頻率的所有諧波上。即：以 抽樣信號的頻譜各頻率點為中心，每個頻率點的上下邊帶都會保留全部 的原信號頻譜信息。因為上下邊帶的存在，所以從數(shù)學(xué)上看，要避免頻譜分量重疊的辦法只有讓抽樣信號的頻譜間隔為 2B,即N=2B ,它也是抽樣信號的基波頻率 （見 基波的定義 部分）， 即時域信號的速率.如果抽樣速率較小，則抽樣信號的帶寬變小， 諧波的頻率分量會更緊密的靠在一 起。則很容易發(fā)生，原信號抽樣后，頻譜分量容易重疊在一起。如抽樣速率較大，則抽樣信號諧波的頻率分量間隔會增大，如上圖中的間隔。原信號抽樣后，不易發(fā)生重疊。抽樣速率不需要越大越好。因為那樣帶寬太大。并且只需要一個頻率分量的上下

41、邊帶 就可 完全恢復(fù)原信號，比如上圖中fc、2fc左右邊帶就是無用的， 在反傅立葉變換時只 需要0點左右的頻譜分量作為輸入數(shù)據(jù)即可。2,從抽樣點可以得到周期信號的證明過程如下：注：抽樣點可以是 非周期性 的取得，比如每隔幾秒開始抽樣也可以。已證明：每秒任何 2B個獨立樣值就可完全表示一個頻帶有限的信號?；颍和耆?guī) 定一個T秒長間隔上的信號，只需要任何2BT個單獨的（獨立的）信息樣值。證明過程如下：設(shè)T秒時間上頻帶有限信號為 f（t）,（即非周期信號），它可以展開成以 T為周 期的傅立葉級數(shù)，由于頻帶有限，則傅立葉級數(shù)中的項數(shù)是有限的，即諧波是有限的，也即頻譜中頻率點是有限的。由于，因為B是f（

42、t）的最高頻率分量，則 Wn=2piB （當(dāng)n最大時）,此時 2piB=2pi*n/T ,得出 n=BT所以：n的最大值是BT?；–0是直流項，僅改變f 的平均電平，不提供任何信息（因為信息表示信號隨 時間的變化）。由于頻譜的對稱性，所以傅立葉系數(shù)共有2BT個，即頻譜上的頻率分量共有 2BT個。解釋：1,抽樣點的個數(shù)*2 =頻域中頻率點的個數(shù)（含正頻率與負頻率）2,當(dāng)T=1s時，只需要2B個頻譜分量即可恢復(fù)原信號，即：抽樣后信號，從頻域變換到時 域后的信息與抽樣前信號一樣。3,抽樣信號的解調(diào)即：如何從2BT個樣值中恢復(fù)原信號 f。通過傅立葉變換可以證明，在 各個抽樣點（時間點分別為：1/2B

43、 , 2/2B.n/2B ） 給定信號f（t）時，對它們分別 FFT之后可以得到相應(yīng)的傅立葉系數(shù)Cn或F（w）。如下：f(* f 鞏8)£-",3=親蠢、*-*-2 力而對Cn或F(w)進行傅立葉反變換，可以得到所有可能時間上的f解釋：反變換之前是頻域，沒有時間參數(shù)。反變換之后則是時域的連續(xù)信號。這里的方法是：從頻域的離散頻譜反變換后生成時域的連續(xù)信號。而頻域信號來自于時域的抽樣值。所以，連續(xù)信號f(t)先抽樣，再FFT,然后再IFFT可以得到原時域信號 f(t)。上述過程已經(jīng)證明：用 時間相隔1/2B的各個抽樣點上的f 信號 就足以確定所有 時間的f(t)。上述過程已經(jīng)證

44、明，讓信號樣值通過一個帶寬為B hz的理想低通濾波器，可以再現(xiàn)原信號f。這就是解調(diào)。即：N個采樣點，經(jīng)過 FFT之后，頻譜上得到 N個頻率點的幅值，反變換到時域得到 連續(xù)函數(shù)f(t)。采樣速率越高或采樣點數(shù)越多，相當(dāng)于從頻域反變換到時域時得到的諧波越多，疊加后得到的f(t)更像原信號。比如：原信號帶寬500Hz，時域的采樣頻率則應(yīng)為 1024Hz (則1秒內(nèi)得至IJ的采樣點為 1024個)，那么根據(jù)采樣點變換到頻域后最大帶寬應(yīng)該為1024 (解釋：因為發(fā)生了頻譜搬移。)1秒時間的采樣，得到 1024個采樣點，F(xiàn)FT變換到頻域后得到1024個頻率點，橫坐 標(biāo)的頻率的最大彳1是采樣頻率1024Hz

45、,從小到大分別是：0Hz, 1Hz, 2Hz.1024Hz 。而2秒時間的采樣，得到 2048個采樣點，F(xiàn)FT變換到頻域后得到 2048個采樣點，橫 坐標(biāo)的頻率的最大值仍是采樣頻率1024Hz,從小到大分別是：0Hz, 0.5Hz, 1Hz, 1.5Hz,2Hz1024Hz。頻率點之間的間隔是 0.5hz。因為，最大帶寬 W與采樣時間無關(guān)，總是恒定值，當(dāng)頻譜上頻率點n的次數(shù)增加時，頻率點之間間隔只能縮短。所以：在采樣率確定的情況下：采樣時間越長，頻域的頻率點越多，即頻率分辨率(即： 兩個頻率點之間的間隔)越高。恢復(fù)到時域后諧波更多。結(jié)論：頻域頻率分辨率要精確到 xHz,則需要采樣長度為1/x秒

46、的信號，再做FFT變 換到頻域。實際應(yīng)用中，對實時處理的要求較高， 可采用：采樣比較短時間的信號，然后在后面補充一定量的0作為采樣點，使其長度達到需要的點數(shù)。這也可以提高頻率分辨率。如果想用時分復(fù)用的方式來同時傳送多路信號，在每路信號的抽樣間隔中，可以用來傳送其它信號的抽樣點。傅立葉變換與正交性在第一個傅立葉級數(shù)公式中，通過時域f(t)信號求頻譜Cn (先求an,bn )的過程中利用了三角函數(shù)的正交性。cos（nx）,sin（nx） 就像一個智能過濾裝置，只允許和自己完全同頻率的函數(shù)通過（可以得到這個頻率的頻域信號），將其余的頻率完全正交化為0。這是傅立葉變換的原理與正交化的重要意義所在。傅立

47、葉變換的思想總結(jié)與優(yōu)點傅立葉認為：任何周期信號都可用成諧波關(guān)系的正弦函數(shù)級數(shù)來表示。而非周期信號是不全成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)積分。 傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。 傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。 疊加是指原始信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位在時域的累加。解釋：時域上原信號波形，看起來頻率是固定的，但實際上信號波形只表達了二 維空間，而在 三維空間 中，還有一個軸是頻率軸，所以在

48、頻率軸上每個點都有一個對應(yīng)的時域諧波信號）。 解釋：一般可以這樣看：時域沒有頻率，只有周期與時鐘頻率。頻域沒有周期， 只有頻率。傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號分別進行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。 傅立葉的優(yōu)點是：* 傅里葉變換屬于諧波分析。* 傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；* 正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的彳數(shù)方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不

49、同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲??；* 卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運算為簡單的乘積運 算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；* 線性性質(zhì)：兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自變換之和* 頻移T質(zhì)（見下）* 微分關(guān)系：原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的傅立葉變換間的關(guān)系。* 離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT）.解釋：傅立葉給出的定理大致是，任意一個周期函數(shù)都可以表示為 sin 與cos的無窮級數(shù)。前者（周期函數(shù)）是時域的表示方法。后者（ sin與cos的無窮級數(shù)）是頻域的表示方法。時域，有周期T（時間），就有頻率f = 1/T的概念. 數(shù)學(xué)上任何相乘=1的東西都是互相垂直，也叫正交 所以時域坐標(biāo)想象成立方體的一個面，那么頻域坐標(biāo)系 一定是其相鄰垂直的另一個面 .換個說法,任何一個時域里的周期函數(shù) f（t）,可以拆分 得到一系列sin跟cos的疊加時域與頻域的對應(yīng)關(guān)系，可以舉例：南郭先生吹竽的故事。齊宣王喜歡聽合奏，南郭先生也可混在里面；齊宣王死了之后，就是齊泯王了，齊泯王要 聽獨奏，南郭先生就跑了（濾波了）。傅里葉變換的目的就是將