勾股定理經(jīng)典例題(含答案)

1、專業(yè).專注學(xué)習(xí)參考經(jīng)典例題透析類型一：勾股定理的直接用法1、在RtAABC中，/C=90(1)已知a=6,c=10，求b,(2)已知a=40,b=9,求c；(3)已知c=25,b=15,求a.思路點(diǎn)撥：寫解的過程中定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中,注意勾股定理的變形使用解析:在4ABC中，ZC=90,a=6,c=10,b=八一蘇-8(2)在4ABC中，ZC=90,a=40,在4ABC中，ZC=90,c=25,b=9,c=J一Jb=15,a=度式】:如圖ZB=ZACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,貝UAB的長是多少？答案】ACD=90AD=13,CD=12.AC2=AD2CD2=132-

2、122二25.AC=5又zABC=90且BC=3由勾股定理可得AB2二AC2BC2=52-32二16AB=4.AB的長是4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖，已知：在中A=600.40=70AB=3Q.求：BC的長.思路點(diǎn)撥:由條件N*三,BD二二月5二15/即。=302想到構(gòu)造含角的直角三角形，為此作上。于DA長.,再由勾股定理計(jì)算出AD、DC的長，進(jìn)而求出BC的B則有解析：作于d,則因4二601./期O=90口_60口=300（益A的兩個(gè)銳角互余）BD=-AB=A5.2（在及中，如果一個(gè)銳角等于30口，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）.根據(jù)勾股定理，在氏口中,AD-JABi-BD2=7

3、30s-153=5后.根據(jù)勾股定理，在血工CD中，CD=必=府-15G3=65.求證：M3+叱-5C=Sr）-FW=65+15=80舉-反三變式1】如圖，已知：/C=90AM=CM?于pB解析：連結(jié)BM,根據(jù)勾股定理，在及山出師中，BP=RM-.而在及44Asp中，則根據(jù)勾股定理有=AM1-AP2.又工場二CM（已知），三二廠二:.-.在“二二J中，根據(jù)勾股定理有BM2-CM1=BC2?BPBC+AP2度式2】已知：如圖，ZB=ZD=90,A=60,AB=4,CD=2。求：四邊形ABCD的面積。分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC,或延長AB、DC交于F,或延長AD、BC交于點(diǎn)

4、E,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單解析：延長AD、BC交于E。4=Z60,=90,E=30.BE2=AE2-AB2=8 2-42=48 ,. DE2= CE2-CD2=4 2-22=12 ,.AE=2AB=8,CE=2CD=4,be=V48=4忘。.DE=屈=2出。11類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用（一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題圖所示，在一次夏令營活動(dòng)中，小明從營地 A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60。方向走了,3、如.S四邊形abcd=Saabe-Sacde=上ABBE-上CDDE=、3(1)5?？?5m到達(dá)b點(diǎn)，然后再沿北偏西30。方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。

5、求A、C兩點(diǎn)之間的距離。（2）確定目的地C在營地A的什么方向。解析：（1）過B點(diǎn)作BE/ADJDAB=ZABE=60.30+ZCBA+ZABE=180zCBA=90即4ABC為直角三角形由已知可得：BC=500m,AB=51口后坨由勾股定理可得：AC=BC+AR(2)在RtAABC中,.BC=500m,AC=1000mzCAB=30JDAB=60專業(yè).專注JDAC=30即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30的方向舉一反三問這輛卡車能否通過該工度式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠廠的廠門？答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小

6、于CH.如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處，且CDLAB, 與地面交于 H.解：OC = 1米（大門寬度一半），OD=0.8米 （卡車寬度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CD=JXJ。 0 , 米，CH=0 .6 + 2 .3 = 2 . 9 （米）2 .5 （米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門（二）用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊A、B、C、D,且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分.請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電

7、線最省電線就是線路長最短思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是,通過利用勾股定理計(jì)算線路長,然后進(jìn)行比較解析：設(shè)正方形的邊長為1,則圖（1）、圖（2）中的總線路長分別為AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3圖（3）中，在RtAABC中AC-爐=近同理圖（3）中的路線長為2/22.828圖（4）中，延長EF交BC于H,貝uFHBC,BH=CH30。,明=-由/FBH=及勾股定理得：也，mi衛(wèi)ea=ed=fb=fc=36在.EF=1-2FH=1-3，此圖中總線路的長為4EA+EF=1+后悶2.73N32.8282.732圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線舉一反三學(xué)習(xí)參考專業(yè).專注B C是

8、上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn) A出發(fā)，沿著圓度式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm,高AB為4cm,柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,試求出爬行的最短路程.解：BA如圖，在RtAABC中，BC=底面周長的一半=10cm,根據(jù)勾股定理得(提問：勾股定理)AC=J羔、比/=2于10.77(cm)(勾股定理).答：最短路程約為10.77cm.類型四：利用勾股定理作長為赤的線段5、作長為的線段。思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于企,直角邊為而和1的直角三角形斜邊長就是下,類似地可作右。作法：如圖所示學(xué)習(xí)參考 .(1)作直角邊為1(單位長)的等腰直角ACB,使AB為斜邊；(2)以AB為一

9、條直角邊，作另一直角邊為1的直角壁。斜邊為專業(yè).專注（3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形幽區(qū),這樣斜邊工B、媽、網(wǎng)、腿的長度就是叵、右、4、右。舉一反三變式】在數(shù)軸上表示J10的點(diǎn)。解析：可以把師看作是直角三角形的斜邊，而？三10,為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)，而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使OA=3,作ACXOA且截取AC=1,以O(shè)C為半徑，以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為而。類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1 .原命題：貓有四只腳.（正確）2 .原命題：對(duì)頂角相等（正確）3

10、.原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等.（正確）4 .原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等.（正確）思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。解析：1.逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2 .逆命題：相等的角是對(duì)頂角（不正確）3 .逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.？（正確）4 .逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.（正確）總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。7、如果AABC的三邊分別為a、b、c,且滿足a2+b，c2+50=6a+8b+10c,判斷AABC的形狀。思路點(diǎn)撥：要判斷MBC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目

11、中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有.學(xué)習(xí)參考.專業(yè).專注從該條件入手，解決問題。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得:a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,.(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0o.(a-3)2R,(b-4)2R,(c-5)2r。a=3,b=4,c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得AABC是直角三角形?？偨Y(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中也常要用到舉一反三變式1】四邊形ABCD中，ZB=90,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四邊

12、形ABCD的面積。答案】：連結(jié)AC zB=90,AB=3,BC=4 .AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）.AC=5 .AC2+CD2=169,AD2=169 .AC2+CD2=AD2ZACD=90勾股定理逆定理)弋一弋4弋一工助-配4工仙巫=36一四處3s一小iiABC中心A4CD22-只要證明：a2+b2=c2即可度式2已知:ABC的三邊分別為m2n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù)，且mn),判斷AABC是否為直角三角形分析:本題是利用勾股定理的的逆定理證明:(川-尸:(2砌、川一2濯/+/+4跳所以ABC是直角三角形2度式3】如圖正方形ABCD,E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且

13、BF=4AB。請(qǐng)問FE與DE是否垂直？請(qǐng)說明。答案】答：DELEF。證明：設(shè)BF=a,貝UBE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。連接DF（如圖）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。df2=ef2+de2,FEDE。經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3:4,斜邊長是20,求此直角三角形的面積。思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。解析：設(shè)此

14、直角三角形兩直角邊分別是3x,4x,根據(jù)題意得：(3x)2+(4x)2=202化簡得x2=16;2，直角三角形的面積=/X3xX4x=6x2=96總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程(組)求臼解。木舉一反三度式1】等邊三角形的邊長為2,求它的面積。/答案】如圖，等邊4ABC,作ADBC于D/;學(xué)習(xí)參考專業(yè).專注則：BD=之BC(等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合).AB=AC=BC=2(等邊三角形各邊都相等)，BD=1在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2,即：AD2=AB2BD2=41=3.AD=2Saabc=之BCAD=注：等邊三角形面積公

15、式:若等邊三角形邊長為a,則其面積為- a。學(xué)習(xí)參考度式2】直角三角形周長為12cm,斜邊長為5cm,求直角三角形的面積。答案】設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是x,y,根據(jù)題意得：5=12(1)由(1)得：x+y=7,(x+y)2=49,x2+2xy+y2=49(3)(3)(2),得：xy=122J_，直角三角形的面積是xy=2X12=6(cm2)度式3】若直角三角形的三邊長分別是n+1,n+2,n+3,求n。思路點(diǎn)撥：首先要確定斜邊(最長的邊)長n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長為n+3,由勾股定理可得：(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2化簡得：n2=4.n=2

16、,但當(dāng)n=2時(shí)，n+1=10,，n=2總結(jié)升華：注意直角三角形中兩直角邊”的平方和等于斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。度式4】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是()A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用c2=a2+b2的變形：b2=c2a2=(ca)(c+a)來判斷。例如：對(duì)于選擇D,.82w(40+39)X(4039),.以8,39,40為邊長不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項(xiàng)。答案】：A度式5】四邊形ABCD中，ZB=90,AB=3,

17、BC=4,CD=12,AD=13,求四邊形ABCD的面積。A解：連結(jié)AC.出=90,AB=3,BC=4.AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）.AC=5.AC2+CD2=169,AD2=169.AC2+CD2=AD2.zACD=90勾股定理逆定理）.S四邊形abcd=Saabc+Saacd=2ABBC+之ACCD=36類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且/QPN=30,點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng),那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？說明理由，如

18、果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h思路點(diǎn)撥：(1)要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A,實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m,小于100m 則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計(jì)算其長度。(2)要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校解析：作ABMN,垂足為B。在RtAABP中，.ZABP=90,jAPB=30,AP=160,2.AB=之AP=80。(在直角三角形中，30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半),一點(diǎn)A到直線MN的距離小于100m,這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公

19、路MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開始受到影響，那么AC=100(m),由勾股定理得：BC2=1002-802=3600,BC=60O同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD=100(m),BD=60(m),.CD=120(m)。拖拉機(jī)行駛的速度為：18km/h=5m/st=120m+5m/s=24s。答：拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒?？偨Y(jié)升華：勾股定理是求線段的長度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過作輔助垂線的方法，構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三度式1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走捷

20、徑”，在花園內(nèi)走出了一條路”他們僅僅少走了解析：他們?cè)瓉碜叩穆窞?3+4 =7(m),卻踩傷了花草。設(shè)走捷徑”的路長為xm,則豈故少走的路長為75=2(m)又因?yàn)?步為1m,所以他們僅僅少走了4步路?？Π浮?度式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格,它的每一個(gè)小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形(1)直接寫出單位正三角形的高與面積(2)(3)求出圖中線段 AC的長(可作輔助線)。A答案】(1)單位正三角形的高為2 ,面積是-圖中的平行四邊形ABCD含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？2決.3、如圖所示24X=。市(2)如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個(gè)單位正三角形，因此其面積(3)過A作AKLBC于點(diǎn)K(如圖所示)，則在RtACK中,類型三：數(shù)學(xué)思想方法(一)轉(zhuǎn)化的思想方法我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪?或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE，DF,若BE=12CF=5.求線段EF的長。SA。通過此題，我們可以了解：當(dāng)已知的線段和所求思路點(diǎn)撥：現(xiàn)已知BE、CF,要求EF,但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD.解：連