微積分部分無窮級數(shù)

1、第六部分無窮級數(shù)填空題1數(shù)項級數(shù)1'、的和為n(2n -1)(2n 1)2 數(shù)項級數(shù)的和為n 衛(wèi)(2n)!cosl注：求數(shù)項級數(shù)的和常用的有兩種方法，一種是用和的定義， 求部分和極限；另一種是將數(shù)項級數(shù)看成是一個函數(shù)項級數(shù)在某點取值時的情況，求函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)在此點的值13 設(shè) an0, p 1,且 lim (np(en -1)an) = 1，若級數(shù)n_QO7 an收斂，則n=1p的取值范圍是(2, =) 1分析：因為在n-時，(en -1)與一是等價無窮小量, n1所以由lim(np2 -1總)=1n :.可知，當(dāng)n時,1an與呂是等價無窮小量npoOoO a.由因為級數(shù)v an收

2、斂，故.蘆收斂，nTnW n因此p 2.QO4幕級數(shù)v an(x -1)2n在處x = 2條件收斂，則其收斂域為 0,2.n =0分析：根據(jù)收斂半徑的定義， x =2是收斂區(qū)間的端點，所以收斂半徑為1.由因為在oOQOX = 0時，級數(shù)V an(x -1)2nan條件收斂，因此應(yīng)填0,2.n £n曲QO5 幕級數(shù)'、n 4n2n(-3)nx2n的收斂半徑為分析：因為幕級數(shù)缺奇次方項，不能直接用收斂半徑的計算公式.因為limln +1x2(n2n_+(-3)n nm(2n 十十(-3嚴(yán)nx2n所以，根據(jù)比值判斂法，當(dāng)x 一 3 時，原級數(shù)絕對收斂，當(dāng)x -.3時，原級數(shù)發(fā)散.由

3、收斂半徑的定義，應(yīng)填 -.3.DO f 11'-6幕級數(shù)送 1+ ： Xn的收斂域為-1,1).nlnn 2 丿1分析：根據(jù)收斂半徑的計算公式，幕級數(shù)xn收斂半徑為1，收斂域為-1,1)；心 n In n1幕級數(shù)7 xn收斂域為(-2,2).因此原級數(shù)在-1,1)收斂，在(-2,一1)1,2) 定發(fā)散心2n有根據(jù)阿貝爾定理，原級數(shù)在(-二，-22,七)也一定發(fā)散.故應(yīng)填-1,1).07.已知 f(x) - 7 anXn,x(- 二，二)，且對任意 x , F (x)二 f (x)，則 F (x)在原點的冪n =0e 1 二nT討1)n分析：迓1已知 exxn (x (-：)，所以nM&

4、amp;函數(shù)f(x)二xex在x =1處的幕級數(shù)展開式為a級數(shù)展開式為F(0)Uxn,x(：)n £ n分析：0根據(jù)冪級數(shù)的逐項積分性質(zhì)，及f (x) -送anx , x% (_°o,址)，得nTxx f 旳、°°aF(x)F(0)0 f(t)dt E antn pt瓦：,0® g丿心n + 1故應(yīng)填 F (0)亠二(-"'，：)n =1 n:1 1xex = e(x-1)ex° ex° = e (x -1)二(x-1)n (x-1)n IL n=on!n=on!(n-1)!討1)n根據(jù)函數(shù)的幕級數(shù)展開形式

5、的惟一性，這就是所求9 .已知f(xx 1,0,1 , S(x)是f (x)的周期為1的三角級數(shù)的和函數(shù)，則1 33S(0), S()的值分別為2 22c1x, 0Ex 蘭；，10.設(shè) f (x) =$122(1x), 2<x<1,oCO0S(x)an cosn 二x, x 三(：),2 心153其中 an=2of(x)cos n 二 xdx( n =0,1,2,)，則 S()選擇題a11.設(shè)常數(shù):0，正項級數(shù)7 an收斂，則級數(shù)（ 1）n_2nn 4n4. n 很（A）發(fā)散（B）條件收斂（C）絕對收斂.（D）斂散性與:的值有關(guān).答C0a2nJ收斂又因為n 4n2n d分析:因為a

6、2k乞、ak，且正項級數(shù)v an收斂，所以k z!k z!門呂(-1)n2n 4所以原級數(shù)絕對收斂112設(shè) an 二 cos n二 ln(1 ) (n =1,2,3,)，則級數(shù) Jn分析:因為an1=cosn二 ln(1 )=(T)nJn1ln(1 )，所以級數(shù)v noO'' an是滿足萊布n =1QOQOQO0(A)7 an與v a：都收斂.(B)7 an與72an都發(fā)散n 4n =1n dn dQOoOQOa(C)' an收斂，v a2發(fā)散.(D)' an發(fā)散，a2收斂n =1n =1n dn =1答C2 2 1 1尼茲條件的交錯級數(shù)，因此、an收斂因為an

7、 =ln (1)在n時與一是等價無n #. nn窮小量，且調(diào)和級數(shù)丄發(fā)散，所以a2發(fā)散.nnng113.設(shè)0 : an ：(n =1,2,3,)，則下列級數(shù)中肯定收斂的是noO(A)an (B)n 4QO、(-1)nan (C)n 4二 a、出.(D)nI n nQO £工 an In n n=2分析：因為0:an:a； In nIn n吒2-nIn n:1.又因為 Iimn JR = 0，且 2 ="Y nnA nJ n收斂，所以oOzn =2a； In收斂另外，取an12n,可以說明不能選(A)及(C);取(2n -1)2,a2n14n因為adv a2nn經(jīng)” 14n一

8、/;呻1-時)發(fā)散，所以QO7 ( -1)nan 發(fā)散n 414.下列命題中正確的是(A)右 Un ： Vn (n = 1,2,3,)，odUnn dQO八Vnn d(B) 若 Un ： Vn (n =1,2,3,)，且 V Vn 收斂，則 V Un 收斂.n Tn mu 0000(C) 若Iim n =1，且' vn收斂，則' un收斂.n =1n#QOoOCO(D)若 Wn : Un : Vn(= 1,2,3，)，且 Wn 與Vn 收斂，則 Un 收斂.n二n經(jīng)n呂分析：因為 Wn : Un Vn ,所以 0 ： Un - Wn ： V. - Wn.又因為Wn 與Vn 收斂

9、,nVn T0所以v (Vn -Wn)收斂，因而n =1QOoo7 (Un - Wn)收斂.故7 Un收斂.n 3n zi因為只有當(dāng)級數(shù)收斂時，才能比較其和的大小， 所以不能選(A);選項(B),(C)將正項級1數(shù)的結(jié)論用到了一般級數(shù)上，顯然不對例如取級數(shù)7 _丄與V心 n12ng n可以說明（B）不對，取15.(A)(B)(C)(D)時,( 1)n級數(shù)7 (一丿與Vn 4 廿 flng就可以說明（C）不對.F列命題中正確的是QO2右' Unn 4QO與V；n 4都收斂，則QO、(Un Vn)；收斂.n 4若乞UnVn收斂,若正項級數(shù)右Un分析:Vnod、 2Unn =4cdX Un發(fā)

10、散，則n 4與J v2都收斂.n =4.1UnnQOoo（n = 1,；,3/ ），且 I： Un 發(fā)散，則二 vn 發(fā)散.因為（Un Vn）；二 U；QO7 (UnVn)；收斂取 Un T1取級數(shù)Un =-與VnnoO16.若級數(shù)v unn =10(A)(Unn dQ0(C)、(n dUnn =1；UnVn1n, Vnn'V" < 2（U； * V；），所以當(dāng)oOx u2n =1可以排除選項（B）；取Un一 n丄可以說明（D）不對.noO,X' Vnn =1 Vn)發(fā)散.Vn）發(fā)散.都發(fā)散，則(B)(D)aO二 UnVn發(fā)散.n dQO(u； - V；)發(fā)散.

11、n =1分析：取U1,Vn n=1可以排除選項（A）,（B）及（D）.因為級數(shù)noO與7 V；都收斂nT1；n排除選項（C）；0' Unn =1cdVn都發(fā)n TQ0散，所以級數(shù)n1Un，乞Vn都發(fā)散，因而Z ( Un | + Vn )發(fā)散故選(C).ngQO17設(shè)正項級數(shù)a un收斂，則U M(A)極限lim n 1小于1.y u(B)極限lim Un 1小于等于1.(C)若極限lim 叢 存在，其值小于1.(D)若極限limd存在，其值小于等于1.nr-' Unn匸Un分析：根據(jù)比值判斂法，若極限ulim一亠 存在，則當(dāng)其值大于1時，級數(shù)a un發(fā)散.n -1因此選項(D)

12、正確.取un2排除選項(C).因為正項級數(shù)、Un收斂并不能保證極限lim也丄存在，所以選項 Un(A)，(B)不對18.F列命題中正確的是(A)若冪級數(shù)7 anxn的收斂半徑為 R - 0 ,n =0(B)若極限liman 1qQ不存在，則幕級數(shù)、(C)若冪級數(shù)(D)若冪級數(shù)分析:an 1則lim5 aanxn沒有收斂半徑qQ、anxn的收斂域為-1,1,則幕級數(shù)cQ、nanx n的收斂域為-1,1.n =00tnanX的收斂域為-1,1,則幕級數(shù):axn的收斂域為-1,1.極限liman 11二匸只是收斂半徑為 R的一個充分條件，因此選項(A)不對. :nX幕級數(shù)anxn沒有收斂半徑存在而且

13、惟一，所以選項(B)不對.取級數(shù)a x可以排除選j'n項(C).選項(D)可以由幕級數(shù)的逐項積分性質(zhì)得到19.若幕級數(shù)Q0Q0'、 an(x -1)n在x二-1處條件收斂，則級數(shù)an n 國n0(A)條件收斂.(B)絕對收斂(C) 發(fā)散(D) 斂散性不能確定.分析：根據(jù)收斂半徑的定義， x二-1是收斂區(qū)間的一個端點，所以原級數(shù)的收斂半徑為2 .因此幕級數(shù)cOQOv an(x -1)n在x=2處絕對收斂，即級數(shù)an絕對收斂.n衛(wèi)n蘭20設(shè)函數(shù)f(x) =x2,x 0,1,a0 處_S(x)an cosn二x, x (一,：),2 n 二其中an1=2 f (x) cosn 二xd

14、x, n = 0,1,2;,則S( -1)的值為(A) -1. (B)11 (C) 一 (D)1.22a血分析：一0 Vancosn二X是對函數(shù)f (x) =x2, x 0,1作偶延拓得到的三角級數(shù)展開式，且延拓后得到的函數(shù)連續(xù)，根據(jù)狄里克萊收斂定理,S(_1) = f(l) = 1.解答題21.求級數(shù)O0nn(n +1)丿解：因為lnn 3lnk3 In 31 一 2n2knzkd捫T1/，所以22.oO已知級數(shù)V (-1)2n=1Un解:qQ因為 v U2nd =5n 4cO'、Unn 423.判斷級數(shù)解:noOzn =11+n(n + 1)丿1 1k(k+1)1In 32n2 ,

15、In 31 -2n=limn_：i：:二 lim、呻 k4 _ 2kIn 3仁亠2I n3 2I n3oooO=2，二U2nj =5，求級數(shù)二un的和.n z4n 芻所以v 2U2n=10.又因為v (-"'Unn理n珀cOoOoO(2u2n(“nUn)2u2n1)n =1n =1n =1山的斂散性.n-1Un=2，=102=8.因為丄In I一 n . nInlim nj .''n +11 所以= In*n +111 |與一在n t 旳 時是等價無窮小.又因為級數(shù)in* nJnv 1收斂，所以，根nm n、n據(jù)比階判斂法知級數(shù)v 1 Inn =i : Jn口

16、收斂.n另解：因為In|= In 1 +! k n1 1l< ,n所以1.n ln已知一 1收斂，所以由比較判斂法知級數(shù)in 收斂. n . n匚 J a n n!24 判斷級數(shù)v a(a - 0)的斂散性.解：記Unn I a n!=n ，則 Un 0，且 nan1(n 1)!n Hn 匚 Un n：(n 1)limann!n：1a n! (1 )n所以根據(jù)比值判斂法，當(dāng) a : e時級數(shù)收斂，當(dāng)a e時級數(shù)發(fā)散當(dāng)a二e時，因為lim =1，所以此時比值判斂法失效，但由于n：UnUn 1Une(1 -)nn11，(因為數(shù)列(1 )n單調(diào)遞增趨于e)n所以 lim Un =0 ,n)：:

17、因而當(dāng)級數(shù)發(fā)散o25 討論級數(shù)解：因為所以根據(jù)比值判斂法，當(dāng)當(dāng)a =1時，由于a ： 1 時,a nap n 1 r絕對收斂.當(dāng)a =1時，級數(shù)為 '二nanp=所以級數(shù)V計發(fā)散.，由p級數(shù)的斂散性，當(dāng)0 ： p乞1時級數(shù)發(fā)散，當(dāng)級數(shù)收斂.當(dāng)a - 一1時，級數(shù)為一 1)',由萊布尼茲判斂法與絕對值判斂法, n4門卩當(dāng)0 ： p < 1時級數(shù)條件收斂，當(dāng) p .1時級數(shù)絕對收斂26.已知函數(shù)y = y(x)滿足等式v = x 、，且y(0)=1，試討論級數(shù)的收斂性.解：因為y=x y，所以 y " =1 y .由 y(0) = 1，得 y (0) = 1, y

18、"(0) = 2 .根據(jù)泰勒公式，得11111y()二 y(0) y (0) y (0)()2 o(飛)nn1 1 1 =12 O(T，n n n所以1二時與2等價，且級數(shù)n'2收斂，因此級數(shù)n =1 n00 - 1 1絕對收斂r rv V = X注：本題也可先解定解問題y y ,得到y(tǒng)(x) = 2ex - x -1后再用泰勒公式討論.y(0) = 127.求下列幕級數(shù)的收斂域解:(1)2*、(-1)n xn , n *:- nO'(-nx)n ,n =1 £-xn nm n!記 an =(-1)丄* n,因為nman 1an所以收斂半徑為R = 1，收斂

19、區(qū)間為21 1(22).1、(-1)n 條件收；當(dāng) nJnx = 一 1時，級數(shù)2O、(-1)nn 41邛一1)八-1發(fā)散.n -1n故級數(shù)V (_1)n2nnx1 1的收斂域為(-冷.n n記 (-1) nan 1xnR =0,所以幕級數(shù)由 nim a= lim( n+1)""19 k n丿(-nx)n僅在x二0處收斂.n -1,由 limnan 1an得收斂半徑為1=lim0,得收斂半徑為R=,故級數(shù)n ；： n 1 1n呂n!xn的收斂域為(-二，亠.).28.求幕級數(shù)v丄X3n2nJ的收斂域.解：此時不能套用收斂半徑的計算公式，而要對該級數(shù)用比值判斂法求其收斂半徑因

20、為lim k孑31 x2k11 x2kj3k2 x lim k ；： 3x2所以，當(dāng)1,3即|x| ： . 3時，級數(shù)- 1送|3n n唱32nVX絕對收斂;X21級數(shù)廠發(fā)散.根據(jù)收斂半徑的定義知級數(shù)C3Oz1nF2n的收斂半徑為R='3. 1 又，當(dāng) x = J3 時，1 (3)2n43n-1,級數(shù)發(fā)散；當(dāng)x = _品時，一般項為-土,.331級數(shù)也發(fā)散.故級數(shù)-nnx2n-的收斂域為3 ,3) n 4 3注：還可以將級數(shù)變形為 丄丄xX n3n2nn八2 1，再令U = X，研究幕級數(shù)n un的收斂半徑旳1和收斂域，最后得到. 一x2n 1的收斂域.n3nCO 22129.求幕級數(shù)

21、、T0 n(2x -3)的收斂域.n =1解：因為 a 102n(2x -3)2心n 42二20%-3 嚴(yán)，且所以，當(dāng)202(x -Un 十(X)limn* Un(x)102n 2(2x-3)2n1 -2n=lim5 102n(2x3)2n A202(x 3)2 ,23、2 d31匚3)£1,即X<=0.05時，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)X222020.05 時,級數(shù)發(fā)散.故幕級數(shù)、102n(2x-®"'的收斂區(qū)間為(1.45,1.55). n m3又當(dāng)X? =0.05時，原級數(shù)的一般項分別是Un =-10和un =10,所以發(fā)散因此qQ級數(shù) x 102n(2

22、x -3)2nJ 的收斂域為(1.45,1.55).n =1qQ30.設(shè)a0,aa2,為一等差數(shù)列，且 a0 =0，求級數(shù)''anXn的收斂域.n 二0解：記a°,a1，a2,的公差為d，則所以an=a0 nd ,limnan 1an = 0，所以因此收斂半徑為R = 1，又當(dāng)x -二1時，級數(shù)成為qQqQn -0n -0：（_1）nan發(fā)散，于是級數(shù)；anXn的收斂域為（-1,1）.31.將函數(shù)in上0展開為x二0處的幕級數(shù).1 X解:因為 ln(1 x) 口 -：:：（-1嚴(yán)所以In 1 "x In (1 x5) I n(1 x) 1 - x32.將函數(shù)

23、f (x)解:因為oO八(-1)n =1/5、nnV (-X )on 5n 一八匚n=i nO0 ynd n2x=arcta n21-xf（X）二 2,(1)"x)nnJ在x = 0點展開為幕級數(shù).1 x2QOn 2n2 (-1) xf (0 0,n -0所以33.f(x)°f (t)dt=2、(-1)n .0t2ndtn =0將函數(shù)f （ x）X - 1廠在X?！秉c展成幕級數(shù),n=0 2n 1X2n 1 ( X : 1).并求 f (n) (1).解:展成7 bn(X -1)"即可.將f（x）視為（X1）,因此只需將14 x因為4 x3-(x-1)3x-r1rr

24、1 x * xn x所以14 X11 1 .13133x1Jx1)2“ +(x1)n “13323n32于是f(x)J(x-1)4 - x 3 |Lx1.(x-1)23.(x-1)332(x-1)n13n|x_1|<3.oO由于f (x)的幕級數(shù)7 an(x-1)n的系數(shù)ann=0(n)(1)n!所以f(n)(1) =( n!)ann!QO并求數(shù)項級數(shù)34求幕級數(shù) v (-1)n 1 n(n 1)xn在收斂區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù) S(x),n -1解：利用幕級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項積分和逐項微分，得x： ：/ x0S(x)dx 八 0(-1)n1 n(n 1)xndx (|x|：1)

25、n A -QOn 1 n 1=(-1) nxn AJ(_1)n1QOn 1 n 2» (-1) (x )xn d2x。(1 x)22 x=x 1 x將上式兩端對上限x求導(dǎo)，得S(x)2x(1 x)31令x2得1 n(n 1)2n827QO' (-1)nn £cO求幕級數(shù)7 nxn的和函數(shù)S(x).nqQSi(x)二 a nxn",n=1則Si(x)的定義域為(-1,1)，且S(x)二xSi(x).任給X，(-1,1)，由逐項積分公式得,nJdt 八 xn 4X:X0S1(t)dt 八 0 ntn A因此,S| (x)=1(1 -x)2所以,S(x) = x

26、S-i(x)XE,X D.旳 Xnd1(1) 求幕級數(shù)的和函數(shù).n 二 n:XnSjx)=nW n則S (x)的定義域為-1,1)，且S(x)二xS (x).任給x -1,1)，由逐項求導(dǎo)公式得,oOn -1Xn £oOS1(x) ： .1n¥因此,S1(x)二 S,x) -5(0)二x 10dt二-In(1 -x), x (-1,1).所以,S(x)二 xS(x) =-xln(1-x), x由 S(x) C1,1)得，S(1) = lim S(x)二 lim xln(1 x) = In 2. i斗十i斗十(2)求數(shù)項級數(shù)匕芷的和.n2 n+1旳(1)n考慮幕級數(shù)x2n 1

27、，則其收斂域為-1,1.若記其和函數(shù)為 S(x)，則心2 n +1S(1)+n2n +1由于XS(x) = S(x) _S(0) = St)dtn：2n dt=(1) t又因為J=(-1)nn£ 2n 135.求級數(shù)解：由于<n z0S(x) C-1,1，所以:- n X 、 Xen=0 n!對上式兩邊求導(dǎo)，得所以此式兩邊再求導(dǎo)，得在上式中令X =1 ,有36.設(shè)f(x)時周期為x 10 廿 dtRctanx,X(-")。S(1) = lim S(x)二 lim arctanx 二一4CO rX - n n dex ,n=o n!xexn ,n=0 n!Xxe： n

28、2o xn -1ex ,心n!=2e.2的周期函數(shù),且f(X)=斗X， O'x'1，寫出彳儀)的傅里葉級數(shù)Q 1VXV21與其和函數(shù)，并求級數(shù)1一的和n(2n1)2解：根據(jù)傅里葉系數(shù)的計算公式，得an20 f (x) cos n -：xdx1oXCOS n：xdx(一1)_1 (n 二 1,2,3,)，2 1 1ao=0 f (x)dx =oxdx t，2bn = o f(x)sinn二xdx1=xsinn 二 xdx(-1)n1(n =1,2,3,),所以f (x)的傅里葉級數(shù)為oOn 4丄tcosnrx + (-1)nSinn n兀L n江其和函數(shù)的周期為2，且S(x)=x,1Q <x : 1,20,x=1,S(0)丄UAL14 i -Z4心(2n 1)2二 2，且 s(o)= o，所以n=o(2 n 1)2837.設(shè)級數(shù)為an收斂，且lim bnnJpCoO=1，證明級數(shù)v anbn絕對收斂n =1證： 因為lim bn =1，所以數(shù)列0有界，即存在M 0，使得對任意的n，有n :1是anbn