223向量數(shù)乘運算及其幾何意義

1、【教學(xué)目標(biāo)】1、知識與技能掌握實數(shù)與向量的積的定義，理解實數(shù)與向量的積的幾何意義；掌握實數(shù)與向量的積得運算律；理解兩個向量共線的充要條件，能夠運用兩向量共線條件判定兩向量是否平行。2、過程與方法通過本節(jié)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合和分類討論思想，同時滲透類比和化歸思想方法。3、情感、態(tài)度與價值觀通過對向量共線的充要條件的分析理解，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣?！窘虒W(xué)重點】實數(shù)與向量積的定義、運算律，向量共線的充要條件。【教學(xué)難點】向量共線定理的理解。【教學(xué)方法】講練結(jié)合法。【教學(xué)過程】創(chuàng)設(shè)情境 導(dǎo)入新課【導(dǎo)語】在物理學(xué)科中我們學(xué)習(xí)過如下的公式：等，這些公式都是實數(shù)與向量的乘積的具體體現(xiàn)，并且從這些公式可

2、以看出，實數(shù)可以與向量相乘，并且一個實數(shù)乘以一個向量的結(jié)果還是一個向量。因此，在數(shù)學(xué)中我們就從這些公式出發(fā)，抽象出一般的實數(shù)與向量的乘積的定義以及它們的一些運算律和性質(zhì)。在小學(xué)我們由幾個相同的有理數(shù)相加導(dǎo)出了數(shù)的乘法的運算法則，現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)過了向量的加法運算，那么由幾個相同的向量相加，我們又能否得出類似的實數(shù)與向量的乘法運算呢？已知向量，求向量和，并思考和向量與向量的關(guān)系?！究偨Y(jié)】（1）由于向量是由三個向量相加得到的，因此為了簡單起見，我們將記作：，因此是一個向量，又因為的方向與向量的方向相同，模長為向量的模長的倍，所以的方向與向量的方向相同，模長為向量的模長的倍。即：向量與向量同向且。 （

3、2）類似地，由于是由三個向量相加得到的，因此為了簡單起見，我們將記作：，因此，也是一個向量，又因為的方向與向量的方向相反，模長為向量的模長的倍，所以的方向與向量的方向相反，模長為向量的模長的倍。即：向量與向量反向且。由上面的作圖可知：向量與向量互為相反向量，因此，又由于可記作：，所以又可記作，從而：，這樣，。所以，的方向與向量的方向相反，模長為向量的模長的倍。即：向量與向量反向且?！緦?dǎo)語】從另一個角度也可以這樣理解上述結(jié)論：既然是一個記號，因此，也可以看成是實數(shù)與向量相乘得到；同理，也可以看成是實數(shù)與向量相乘得到。同時，上面這兩種記法實際上是由多個相同的向量相加而且為了簡化結(jié)果而引入。但是為了

4、得到更一般的結(jié)論，我們規(guī)定任意實數(shù)與任意向量之間也可以相乘，但此時不代表多個相同的向量相加，而是一種實數(shù)與向量的乘法運算了。下面我們就來學(xué)習(xí)實數(shù)與向量的積的相關(guān)知識。合作交流 解讀探究1、實數(shù)與向量的積（也叫數(shù)乘向量）的定義：一般地，設(shè)是任意一個實數(shù)，是任意一個向量，則實數(shù)與向量的乘積仍然是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（1）；（2）當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，。【說明】（1）實數(shù)與向量可以作乘積運算，其結(jié)果是一個向量；但不能作加減運算，即： 是無意義的；（2）；（3）；（4）的幾何意義： 當(dāng)時，我們可以認(rèn)為是將向量同向伸長（）或縮短（）到原來的倍得到的

5、； 當(dāng)時，我們可以認(rèn)為是將向量反向伸長（）或縮短（）到原來的倍得到的； 綜上：我們可以認(rèn)為是將向量同向（）或反向（）伸長（）或縮短（）到原來的倍得到的。（5）向量的線性運算：向量的加法、減法和實數(shù)與向量的乘積的綜合運算，通常叫做向量的線性運算（或線性組合，也叫初等運算）。 對于任意向量以及任意實數(shù)，恒有：。 這里只有定義向量的加法、減法和數(shù)乘運算，沒有定義向量與向量的除法運算，如式子是沒有定義的，在解題過程中不能隨便創(chuàng)造符號與運算?！纠?】點是線段上的一點，且，設(shè)向量，試用向量表示向量和。【變式1】1、課本 練習(xí)1、2【總結(jié)】已知直線上三點，用向量表示向量時，實系數(shù)的求法： （1）根據(jù)向量與向

6、量的方向決定的正負(fù)：同向為正，反向為負(fù)； （2）求：； （3）由（1）（2）求出的值。 2、如圖所示，是的邊上的中點，則向量。2、實數(shù)與向量的積得運算律：設(shè)是任意兩個實數(shù)；是任意兩個向量，則： （1）結(jié)合律：； （2）第一分配律：； （3）第二分配律：；【說明】由以上運算律可知，實數(shù)與向量的積的運算法則與實數(shù)中的多項式運算法則一樣，可以按多項式的運算法則進(jìn)行運算；同時也提公因式、去括號、添括號、分解因式等?！纠?】課本 例5【例3】（1）的結(jié)果是（ ） （2）設(shè)向量，則。【變式2】1、課本 練習(xí)3、5 2、化簡。3、若，其中是已知向量，求。3、共線向量定理：定理1：向量與非零向量共線當(dāng)且僅當(dāng)有

7、且只有一個（有唯一一個）實數(shù)，使得。即：若，則（且唯一）【證明】“”若，由實數(shù)與向量的積的定義可知：；“”若，則先證存在性再證唯一性。存在性：（1）當(dāng)時，則，此時。 故存在一個實數(shù)使得成立；（2）當(dāng)時，有以下兩種情況：當(dāng)且同向時，令，此時，且與同向，又與同向，；當(dāng)且反向向時，令，此時，且與反向，又與反向，。 綜上所述：若，則存在唯一的一個實數(shù)使得成立。 唯一性：（反證法） 假設(shè)還存在一個實數(shù)使得：，且，則：， 這與矛盾，是唯一一個使得等式成立的實數(shù)。 綜上所述：當(dāng)時，存在唯一一個實數(shù)使得。【說明】（1）定理中的限制條件“”不能去掉。若，則：當(dāng)時，有無數(shù)多個，此時不滿足唯一性；當(dāng)時，不存在，此時

8、不滿足存在性；綜上所述：。 （2）若，則式子“”中的求法：根據(jù)的方向確定的正負(fù)：同向為正，反向為負(fù)；求：；根據(jù)確定的值。 （3）若不共線，且，則必有。（4）與非零向量共線的單位向量是。（5）該定理可應(yīng)用于證明或判斷向量共線和幾點共線（轉(zhuǎn)化為有公共點的向量共線）。定理2：兩個向量與共線當(dāng)且僅當(dāng)存在兩個不全為0的實數(shù)使得。即：。【證明】略。【說明】若不共線，且，則。【例4】如圖：已知，試判斷向量與是否共線?！咀兪?】課本 練習(xí)4定理3：若點在點所在直線外，則不同的三點共線（不全為） 【證明】現(xiàn)只證明倒數(shù)第二個等價結(jié)論。“” 若不同的點共線，則，即：，令，則：?！啊?若，則：， ，又有公共點，點共線?！纠?】課本 例6【例6】已知非零向量不共線。（1）若，求證：三點共線。 （2）欲使和共線，試確定實數(shù)的值?！咀兪?】已知非零向量和不共線，若求證：三點共線?！纠?】如圖所示，已知在中，點為的中點，點在上，且。求證：三點共線?！咀兪?】如圖，在中，在上取點，使得在上取點，使得,在的延長線上取點，使得，在的延長線上取一點，使得時有成立，試確定的值。【例8】在四邊形中，求證：四邊形為梯形?！纠?】課本 例