2017年考研數(shù)學(xué)三真題及答案解析

1、一、選擇題 18小題每小題4分，共32分1若函數(shù)在處連續(xù)，則（A）（B）（C）（D）【詳解】，要使函數(shù)在處連續(xù)，必須滿足所以應(yīng)該選（A）2二元函數(shù)的極值點(diǎn)是（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】，解方程組，得四個(gè)駐點(diǎn)對(duì)每個(gè)駐點(diǎn)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)只有在點(diǎn)處滿足，且，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以應(yīng)該選（D）3設(shè)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則（A） （B） （C） （D）【詳解】設(shè)，則，也就是是單調(diào)增加函數(shù)也就得到，所以應(yīng)該選（C）4 若級(jí)數(shù)收斂，則（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】iv時(shí)顯然當(dāng)且僅當(dāng)，也就是時(shí)，級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)是關(guān)于的二階無窮小，級(jí)數(shù)收斂，從而選擇（C）5設(shè)為單位列向量，為階單位矩陣

2、，則（A）不可逆 （B）不可逆（C）不可逆 （D）不可逆【詳解】矩陣的特征值為和個(gè)，從而的特征值分別為；顯然只有存在零特征值，所以不可逆，應(yīng)該選（A）6已知矩陣，則 （A）相似，相似 （B）相似，不相似（C）不相似，相似 （D）不相似，不相似【詳解】矩陣的特征值都是是否可對(duì)解化，只需要關(guān)心的情況對(duì)于矩陣，秩等于1 ，也就是矩陣屬于特征值存在兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，也就是可以對(duì)角化，也就是對(duì)于矩陣，秩等于2 ，也就是矩陣屬于特征值只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，也就是不可以對(duì)角化，當(dāng)然不相似故選擇（B）7設(shè)，是三個(gè)隨機(jī)事件，且相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立的充分必要條件是（ ）（A）相互獨(dú)立 （B

3、）互不相容（C） 相互獨(dú)立 （D）互不相容【詳解】顯然，與相互獨(dú)立的充分必要條件是，所以選擇（C ）8設(shè)為來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，若，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）（A）服從分布 （B）服從分布 （C）服從分布 （D）服從分布解：（1）顯然且相互獨(dú)立，所以服從分布，也就是（A）結(jié)論是正確的；（2），所以（C）結(jié)論也是正確的；（3）注意，所以（D）結(jié)論也是正確的；（4）對(duì)于選項(xiàng)（B）：，所以（B）結(jié)論是錯(cuò)誤的，應(yīng)該選擇（B）二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9解：由對(duì)稱性知10差分方程的通解為【詳解】齊次差分方程的通解為；設(shè)的特解為，代入方程，得；所以差

4、分方程的通解為11設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的平均成本，其中產(chǎn)量為，則邊際成本為.【詳解】答案為平均成本，則總成本為，從而邊際成本為12設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且已知，則【詳解】，所以，由，得，所以13設(shè)矩陣，為線性無關(guān)的三維列向量，則向量組的秩為【詳解】對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換，知矩陣A的秩為2，由于為線性無關(guān)，所以向量組的秩為214設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，若，則【詳解】顯然由概率分布的性質(zhì)，知，解得，三、解答題15（本題滿分10分）求極限【詳解】令，則，16（本題滿分10分）計(jì)算積分，其中是第一象限中以曲線與軸為邊界的無界區(qū)域【詳解】17（本題滿分10分）求【詳解】由定積分的定義18（本題滿分10分）已知

5、方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，確定常數(shù)的取值范圍【詳解】設(shè)，則令，則，所以在上單調(diào)減少，由于，所以當(dāng)時(shí)，也就是在上單調(diào)減少，當(dāng)時(shí)，進(jìn)一步得到當(dāng)時(shí)，也就是在上單調(diào)減少，也就是得到19（本題滿分10分）設(shè)，為冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)（1）證明的收斂半徑不小于（2）證明，并求出和函數(shù)的表達(dá)式【詳解】（1）由條件也就得到，也就得到也就得到，所以收斂半徑（2）所以對(duì)于冪級(jí)數(shù)， 由和函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以也就是有解微分方程，得，由于，得所以20（本題滿分11分）設(shè)三階矩陣有三個(gè)不同的特征值，且（1）證明：；（2）若，求方程組的通解【詳解】（1）證明：因?yàn)榫仃囉腥齻€(gè)不同的特征值，所以是非零矩陣，也就是假若時(shí)，則是矩陣的二重特征

6、值，與條件不符合，所以有，又因?yàn)?，也就是線性相關(guān)，也就只有（2）因?yàn)?，所以的基礎(chǔ)解系中只有一個(gè)線性無關(guān)的解向量由于，所以基礎(chǔ)解系為；又由，得非齊次方程組的特解可取為；方程組的通解為，其中為任意常數(shù)21（本題滿分11分）設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，求的值及一個(gè)正交矩陣【詳解】二次型矩陣因?yàn)槎涡偷臉?biāo)準(zhǔn)形為也就說明矩陣有零特征值，所以，故令得矩陣的特征值為通過分別解方程組得矩陣的屬于特征值的特征向量，屬于特征值特征值的特征向量，的特征向量，所以為所求正交矩陣22（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且的概率分布為，的概率密度為（1）求概率；（2）求的概率密度【詳解】（1）所以（2）的分布函數(shù)為故的概率密度為23（本題滿分11分）某工程師為了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對(duì)一物體的質(zhì)量做了次測(cè)量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)次測(cè)量結(jié)果相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布該工程師記錄的是次測(cè)量的絕對(duì)誤差，利用估計(jì)參數(shù)（1）求的概率密度；（2）利用一階矩求的矩估