一元積分學(xué)的幾何應(yīng)用與重積分計算

1、一、考試內(nèi)容（一）一元積分學(xué)的幾何應(yīng)用1、平面圖形的面積2、旋轉(zhuǎn)體體積注：利用平面圖形的面積與旋轉(zhuǎn)體體積公式時，有時可借助參數(shù)方程或極坐標(biāo)表示3、曲線的弧長（數(shù)三不要求）4、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積（數(shù)三不要求）（二）重積分計算法則1、記憶以下二重積分奇偶對稱性性質(zhì)：（1）當(dāng)積分域?qū)ΨQ于軸時，令是關(guān)于軸某一側(cè)的部分，則有上述性質(zhì)可類似地應(yīng)用于關(guān)于軸的對稱性與函數(shù)關(guān)于的奇偶性（3）當(dāng)積分域關(guān)于原點對稱時，若，則有（4）若將互換，積分域不變，（關(guān)于對稱）則（輪換性）2、記憶以下三重積分奇偶對稱性性質(zhì)：（數(shù)一）（1）當(dāng)積分域?qū)ΨQ于面時，令是關(guān)于面某一側(cè)的部分，則有上述性質(zhì)可類似地應(yīng)用于關(guān)于其它坐標(biāo)面的對稱性與

2、函數(shù)的奇偶性（2）若將互換，積分域不變， 則（輪換性）3、記憶重積分算法對，對，對，特別地，對，為在面的投影則，此為先二后一法（數(shù)一）對繞軸（）的旋轉(zhuǎn)體區(qū)域，為在處的橫截面區(qū)域，則，此為先一后二法（數(shù)一）特別地，截面面積為已知的立體體積對由球面與錐面所圍成的區(qū)域，可利用球坐標(biāo)法計算：（數(shù)一）二、典型例題（一）一元積分學(xué)的幾何應(yīng)用例1、如圖，連續(xù)函數(shù)在上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則有（C）（A） (B)（C）（D）提示：，故選（C）.例2、求由曲線及在上半平面圍成圖形的面積及周長.解：，或.例3、設(shè)D是由曲線，直線及軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形，分別是D

3、繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，若，則提示：，例4、求曲線和直線所圍成圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)一周的.解：.例5、位于第一象限的圖像與軸、軸所圍區(qū)域的面積為提示：面積例6、曲線的弧長提示：例7、過上一點做切線，問為何值時所作切線與拋物線所圍區(qū)域的面積最?。拷猓阂椎脙汕€交點，易知時例8、設(shè)D是位于曲線下方、軸上方的無界區(qū)域，（1）求區(qū)域D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積;（2）當(dāng)為何值時，最小?提示：(1)(2)（二）二重積分計算例1、換序.例2、設(shè)連續(xù)，則.例3、.例4、設(shè)區(qū)域由曲線圍成，則提示：對稱奇偶性與二重積分的幾何意義例5計算，其中解：令，由二重積分奇偶對稱性性質(zhì)知，.例6、設(shè)是的第象限的部分

4、，記，則（B）（A）（B）（C）（D）提示：由輪換性知由不等式性質(zhì)知例7、設(shè)，則.（輪換性）例8、設(shè)連續(xù)，其中為圖中陰影部分，則.提示：注意相對于直（極）標(biāo)為常數(shù)，則例9、求.解 如圖, 原式.例10、可導(dǎo)，為其反函數(shù)，證明：提示：令，則左右（三）三重積分計算(僅數(shù)一打印)例1、，其中由錐面與平面（）圍成的區(qū)域.【解1】原式.【解2】原式.【解3】原式.例2、，其中是由球面所圍成的閉區(qū)域.【解1】因區(qū)域具有輪換性，則故原式.【解2】原式.【解3】原式.例3、計算，由平面以及曲面圍成，其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)面.解： 原式.例4、計算，其中解：例5、求上的連續(xù)函數(shù)，使提示：令，則三、課后

5、練習(xí)（一）一元積分學(xué)的幾何應(yīng)用1（A）、曲線與軸所圍成圖形的面積可表為（C）（A）（B）（C）（D）2（A）、設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則曲線夾在之間的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為（B）3（A）、如圖，函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則定積分等于（C）（A）曲邊梯形面積（B）梯形面積（C）曲邊三角形面積（D）三角形面積4（A）、由曲線和直線及在第一象限中所圍圖形的面積為5（A）、假設(shè)曲線，軸和軸所圍成區(qū)域被曲線分為面積相等的兩部分，則6（A）、過原點作的切線，其與及軸所圍區(qū)域為，則的面積為，繞旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為7（A）、已知曲線與曲線在點處有公切線，求常數(shù)及切點；兩曲線與軸所圍平面區(qū)域的面積

6、；該區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積8（A）、求曲線所圍圖形的面積，并求該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積（）9（A）、設(shè)，及軸所圍成的平面區(qū)域為，則繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為10（A）、設(shè)有曲線，過原點作其切線，求由此曲線，切線及軸圍成的平面圖形繞軸一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積11（A）、求圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面面積，并求其繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積（，）12（A）、設(shè)位于曲線下方，軸上方的無界區(qū)域為,則繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得空間區(qū)域的體積是13（A）、設(shè)L極坐標(biāo)方程為，則L所圍的區(qū)域面積為14（A）、設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為，則該曲線上相應(yīng)于從0邊到的

7、一段弧與極軸所圍成的圖形面積為15（A）、與軸、軸圍成圖形的面積為16（B）、設(shè)，則其所示曲線與直線及軸，軸圍成的區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)體體積17（A）、求擺線一拱的弧長18（A）、設(shè)曲線由確定，則該曲線對應(yīng)于的弧長為19（B）、求心形線的全長，其中 （）20（A）、已知曲線的斜率為，則該曲線在中的弧長為21（A）、求曲線的一條切線，使該曲線與切線及直線所圍成圖形面積最?。ǎ?2（A）、設(shè)曲線與交于點，過坐標(biāo)原點和點的直線與曲線圍成一平面區(qū)域，問為何值時，該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最大？最大體積是多少？（）23（A）、設(shè)與拋物線所圍面積為，它們與所圍面積為試確定，使達到最小，并求出

8、最小值;求該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積24（B）、設(shè)，S表示夾在x軸與曲線y = F(x)之間的面積. 對任何t 0，表示矩形-txt，0 yF(t)的面積. 求(I) S(t) = S -的表達式；，t (0 , +).(II) S(t)的最小值是最小值25（B）、設(shè)及 ，若表示位于直線左下方部分的面積，則26（B）、曲線與直線,及圍成一曲邊梯形該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其體積為，側(cè)面積為，在處的底面積為,求；計算（ 2 1）27（B）、已知曲線L的方程（I）討論L的凹凸性；（凸的）（II）過點引L的切線，求切線的方程；（）（III）求此切線與L（對應(yīng)于的部分

9、）及x軸所圍成的平面圖形的面積（）（二）二重積分計算1（A）、設(shè)連續(xù)，則可換序為.2（A）、設(shè)連續(xù)，則可換序為.3（B）、設(shè) 由所圍，如圖所示，將（0）化為極坐標(biāo)系下的二次積分. 4（A）、設(shè)函數(shù)連續(xù), 區(qū)域, 則等于（D）（A）（B）.（C）（D）5（A）、設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分=（B）（A）（B）（C）（D）6（A）、設(shè)，其中，則按從大到小的排列次序為.7（A）、設(shè)是面上以為頂點的區(qū)域，是在第一象限的部分，則（A）（A）（B） （C）（D）8（A）、如圖，正方形被其對角線劃分為四個區(qū)域，設(shè)，則 (A)(A)(B)(C)(D)9（A）、(1)；（2）、求.10（A）、計算.11（B）、計算（

10、極坐標(biāo)）12（A）、設(shè)由及所圍，若，則.13（A）、設(shè)是由直線所圍成的平面區(qū)域，則14（A）、設(shè)D是由曲線所圍成，則15（A）、設(shè)區(qū)域，則=.16（B）、設(shè), .17（B）、設(shè)極標(biāo)域，則.18（A）、設(shè)由與及圍成，則.19（A）、設(shè)， 則.（對稱奇偶性）20（A）、設(shè)，則.（輪換性與對稱奇偶性）21（B）、設(shè)由與極軸圍成，則.（對稱奇偶性）22（B）、設(shè)是由和所圍，求.提示：，注意對稱奇偶性與分塊性.23（B）、設(shè)連續(xù)，求，由與所圍.提示：，注意對稱奇偶性與分塊性.24（B）、設(shè)連續(xù)，則（對稱奇偶性）25（A）、.（輪換性與對稱奇偶性）26（B）、.（分塊性）27（A）、設(shè)，則（分塊性）28（B）、設(shè)，計算.（分塊性）29（B）、設(shè)連續(xù)，求證：（換序與換元）30（B）、設(shè)連續(xù)，求證：（極標(biāo)）31（B）、設(shè)連續(xù),并設(shè)則（輪換性）32（A）、若.則（三）三重積分計算(僅數(shù)一打印)1（A）、錐面與平面圍成，連續(xù)，則（B）（A）（B）（C）（D）2（A）、設(shè)，則有(C)（A）(B)(C)(D)3（A）、若為平