廣州市2020屆普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）（理數(shù)）

1、2020年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）數(shù) 學(xué)（理科）本試卷共6頁，23小題， 滿分150分考試用時(shí)120分鐘，注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，用2B鉛筆在答題卡的相應(yīng)位置填涂考生號(hào)，并將試卷類型(A)填涂在答題卡的相應(yīng)位置上2作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案答案不能答在試卷上3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答無效

2、 4考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)是符合題目要求的1設(shè)集合，則ABCD2若復(fù)數(shù)z滿足方程，則ABCD3若直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是ABCD4己知，則p是q的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件5設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意都有成立，則的最小值為ABCD6己知直三棱柱的體積為V，若P，Q分別在AA1，CC1上，且，則四棱錐的體積為ABCD7為了讓居民了解垃圾分類，養(yǎng)成垃圾分類的習(xí)慣，讓綠色環(huán)保理念深入人心某市將垃圾分為四類：可回收物，餐廚垃圾，有害垃圾

3、和其他垃圾某班按此四類由10位同學(xué)組成了四個(gè)宣傳小組，其中可回收物與餐廚垃圾宣傳小組各有2位同學(xué)，有害垃圾與其他垃圾宣傳小組各有3位同學(xué)，現(xiàn)從這10位同學(xué)中選派5人到某小區(qū)進(jìn)行宣傳活動(dòng)，則每個(gè)宣傳小組至少選派1人的概率為ABCD8己知直線與x軸的交點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則AB的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為A8 B6 C5 D49等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，己知，若，則n 的最小值為A8B9C10D1110己知點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)P處的切線方程與直平行，則ABC或D或11己知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2點(diǎn)P是雙曲線C上位于第一象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)

4、F2作的平分線的垂線，垂足為A，若，則雙曲線C的離心率為ABCD212己知函數(shù)若在區(qū)間上有m個(gè)零點(diǎn)，則A4042B4041C4040 D4039二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13如圖，如果一個(gè)空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖為全等的等 邊三角形，俯視圖為一個(gè)半徑為1的圓及其圓心，則這個(gè) 幾何體的體積為_，表面積為_14在的展開式中，x3的系數(shù)是15，則實(shí)數(shù)a=_15己知單位向量e1與e2的夾角為，若向量與的夾角為，則實(shí)數(shù)k的值為_16記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，己知，且，則的最小值為_三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟第1721題為必考題， 每個(gè)試題考生都必須做答

5、第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求做答（一）必考題：共60分17(12分)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c己知，且滿足(1)求角C的大??；(2)求的最大值18(12分) 隨著馬拉松運(yùn)動(dòng)在全國(guó)各地逐漸興起，參與馬拉松訓(xùn)練與比賽的人數(shù)逐年增加為此，某市對(duì)參加馬拉松運(yùn)動(dòng)的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查，其中一項(xiàng)調(diào)查是調(diào)查人員從參與馬拉松運(yùn)動(dòng)的人中隨機(jī)抽取100人，對(duì)其每月參與馬拉松運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下統(tǒng)計(jì)表：平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)xx55<x<20x20人數(shù)156025(1)以這100人平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替該市參與馬拉松運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練的人平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)位于

6、該區(qū)間的概率，從該市所有參與馬拉松運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練的人中隨機(jī)抽取4個(gè)人，求恰好有2個(gè)人是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的概率； (2)依據(jù)統(tǒng)計(jì)表，用分層抽樣的方法從這100個(gè)人中抽取12個(gè)，再?gòu)某槿〉?2個(gè)人中隨機(jī)抽取3個(gè)，Y表示抽取的是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的人數(shù)，求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望E(Y)19(12分) 如圖1，在邊長(zhǎng)為2的等邊中，D，E分別為邊AC，AB的中點(diǎn)將沿DE折起，使得，得到如圖2的四棱錐，連結(jié)BD，CE，且BD與CE交于點(diǎn)H(1)求證：；(2)求二面角的余弦值20（12分）已知M過點(diǎn)，且與N：內(nèi)切，設(shè)M的圓心M的軌跡為曲線C(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)直線

7、l不經(jīng)過點(diǎn)且與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，若直線PB與直線QB的斜率之積為，判斷直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由21(12分)己知函數(shù)，(1)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；(2)用表示m，n中的最大值，為的導(dǎo)數(shù)，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù)，且)(1)求曲線C1和C2的普通方程；(2)若A，B分別為曲線C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，求的

8、最小值23選修45:不等式選講（10分）己知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若不等式對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，數(shù)學(xué)（理科）參考答案評(píng)分說明:1本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分參考制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則2對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)選擇題不給中間分一、選擇題題號(hào)123456789101112答

9、案ADDBCBCACBCB二、填空題 13， 14 15 16說明：第13題中第1個(gè)空2分，第二個(gè)空3分三、解答題17解：（1）根據(jù)正弦定理， 得 因?yàn)?，所以【或?由余弦定理，得【或】，因?yàn)?，所?（2）由已知與（1）知，由正弦定理， 得， 所以 （其中，）因?yàn)?，所?所以時(shí)，取得最大值所以的最大值為 18解：（1）設(shè)從該市參與馬拉松運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練的人中隨機(jī)抽取一個(gè)人，抽到的人剛好是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于天”記為事件為，則設(shè)抽到的人是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于天”的人數(shù)為，則 所以恰好抽到個(gè)人是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于天”的概率為 （2）用分層抽樣的方法從個(gè)馬拉松訓(xùn)練者中抽取個(gè)，

10、則其中“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于天”有個(gè) 現(xiàn)從這12人中抽取個(gè)，則“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于天”的數(shù)量服從超幾何分布，的所有可能的取值為， 則， 所以的分布列如下：所以 19（1）證明1：在圖中，因?yàn)闉榈冗吶切?，且為邊的中點(diǎn)，所以在中，所以因?yàn)榉謩e為邊的中點(diǎn)，所以在圖中，有，所以因?yàn)?，所以為直角三角形因?yàn)?，所以在中，由余弦定理得，所?在中，因?yàn)?，所?同理可證 因?yàn)?平面，平面，所以平面 證明2：在圖中，因?yàn)闉榈冗吶切?，且為邊的中點(diǎn)，所以 在中，所以 因?yàn)榉謩e為邊的中點(diǎn)，所以在圖2中，有，所以 在中，在和中，因?yàn)?所以 所以所以 同理可證 因?yàn)?平面，平面，所以平面 （2）解法1

11、：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，, 設(shè)平面的法向量為，則取 設(shè)平面的法向量為，則取 所以 由圖可知，二面角的平面角是鈍角，故二面角的余弦值為 解法2：在四棱錐中，分別取，的中點(diǎn)，連接， 因?yàn)闉榈冗吶切?，所以?因?yàn)?，且平面，所以平面因?yàn)槠矫妫砸驗(yàn)辄c(diǎn)，分別為邊，的中點(diǎn)，所以 所以 所以為所求二面角的平面角 在等邊三角形中，因?yàn)椋?在中， 在中，所以 所以 在中，由余弦定理得 所以二面角的余弦值為 20（1）解：設(shè)的半徑為，因?yàn)檫^點(diǎn)，且與相切， 所以即 因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓 設(shè)橢圓的方程為， 則，且，所以， 所

12、以曲線的方程為 （2）解法1：依題意，直線的斜率均存在且不為0， 設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為 由得， 解之得， 因此點(diǎn)的坐標(biāo)為 因?yàn)橹本€的斜率為，所以可得點(diǎn)的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，直線的斜率為 所以直線的方程為， 整理得即 此時(shí)直線過定點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，直線的方程為，顯然過定點(diǎn)綜上所述，直線過定點(diǎn) 解法2：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為： 設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，依題意， 因?yàn)?，所以因?yàn)?，且，解?此時(shí)直線的方程為 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為： 由 得 需要滿足，即 設(shè)點(diǎn)， 則有， 因?yàn)椋?所以 因?yàn)椋?所以 即， 即 所以或 當(dāng)時(shí)，滿足，直線的方程為，恒過定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，滿足，直線的方程為，恒過定點(diǎn)，不合題

13、意 顯然直線也過定點(diǎn)， 綜上所述，直線過定點(diǎn) 21（1）解：因?yàn)椋?所以 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為 （2）解：由（1）可知，當(dāng)時(shí)， 所以要使在區(qū)間上恒成立， 只需在區(qū)間上恒成立即可 因?yàn)?以下給出四種求解思路：思路1：因?yàn)椋栽趨^(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立 令，則 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 所以所以 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為 思路2：因?yàn)?，則 若，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，由，解得此時(shí)實(shí)數(shù)不合題意 若，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，由，解得此時(shí)實(shí)數(shù)不合題意 若，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以

14、函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，由，解得 此時(shí)實(shí)數(shù)滿足綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為 思路3：因?yàn)?，則 因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ?則，即 因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增， 因?yàn)?，【或時(shí)，】 所以存在，使得 當(dāng)時(shí)，當(dāng)是， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 所以 要使在上恒成立， 只要，解得 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為 思路4：因?yàn)?，所以在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立 令，則，所以在上單調(diào)遞增 而是經(jīng)過原點(diǎn)的直線，設(shè)過原點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)， 則切線方程為，因?yàn)檫^原點(diǎn)，所以 因?yàn)?，所以即切點(diǎn)為所以經(jīng)過原點(diǎn)且與相切的直線方程為 所以滿足的條件是，解得 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為 （3）證明1：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，有即 則， 同理， 所以 所以 證明2：要證，即證，即證 先證明，事實(shí)上，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增所以，所以 所以所以 22解：（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，得所以曲線的方程為 因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則由，得，代入得， 消去參數(shù)，得 因?yàn)?，所以所以曲線的方程為 （2）因?yàn)辄c(diǎn)，分別為曲線，上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與曲線相切，由消去得 所以，解得因?yàn)?，所?因?yàn)橹本€