位值原理和分解質因數(shù)教師

1、二、數(shù)的進制我們常用的進制為十進制，特點是“逢十進一”。在實際生活中，除了十進制計數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進位制。比如二進制，八進制，十六進制等。二進制：在計算機中，所采用的計數(shù)法是二進制，即“逢二進一”。因此，二進制中只用兩個數(shù)字0和1。二進制的計數(shù)單位分別是1、21、22、23、，二進制數(shù)也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進制中表示為：(100110)2=125+024+023+122+121+020。二進制的運算法則：“滿二進一”、“借一當二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：對于任意自然數(shù)n,我們有n0=1。n進制：n進制的運算法則是“逢n進

2、一，借一當n”，n進制的四則混合運算和十進制一樣，先乘除，后加減；同級運算，先左后右；有括號時先計算括號內的。進制間的轉換：如右圖所示。例題精講模塊一、位置原理【例 1】 某三位數(shù)和它的反序數(shù)的差被99除，商等于_與_的差；【解析】 本題屬于基礎型題型。我們不妨設abc。(-）99=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)99=(99a-99c)99=a-c；【例 2】 (美國小學數(shù)學奧林匹克)把一個兩位數(shù)的十位與個位上的數(shù)字加以交換，得到一個新的兩位數(shù)如果原來的兩位數(shù)和交換后的新的兩位數(shù)的差是45，試求這樣的兩位數(shù)中最大的是多少？【解析】 設原來的兩位數(shù)為，交換后的新的兩位數(shù)為，根

3、據(jù)題意，原兩位數(shù)最大時，十位數(shù)字至多為9，即，原來的兩位數(shù)中最大的是94【例 3】 (第五屆希望杯培訓試題)有3個不同的數(shù)字，用它們組成6個不同的三位數(shù)，如果這6個三位數(shù)的和是1554，那么這3個數(shù)字分別是多少？【解析】 設這六個不同的三位數(shù)為，因為，它們的和是：，所以，由于這三個數(shù)字互不相同且均不為0，所以這三個數(shù)中較小的兩個數(shù)至少為1，2，而，所以最大的數(shù)最大為4；又，所以最大的數(shù)大于，所以最大的數(shù)為4，其他兩數(shù)分別是1，2【鞏固】 (迎春杯決賽)有三個數(shù)字能組成6個不同的三位數(shù)，這6個三位數(shù)的和是2886，求所有這樣的6個三位數(shù)中最小的三位數(shù)【解析】 設三個數(shù)字分別為a、b、c，那么6個

4、不同的三位數(shù)的和為：所以，最小的三位數(shù)的百位數(shù)應為1，十位數(shù)應盡可能地小，由于十位數(shù)與個位數(shù)之和一定，故個位數(shù)應盡可能地大，最大為9，此時十位數(shù)為，所以所有這樣的6個三位數(shù)中最小的三位數(shù)為【例 4】 在兩位自然數(shù)的十位與個位中間插入09中的一個數(shù)碼，這個兩位數(shù)就變成了三位數(shù)，有些兩位數(shù)中間插入某個數(shù)碼后變成的三位數(shù)，恰好是原來兩位數(shù)的9倍。求出所有這樣的三位數(shù)?！窘馕觥?因為原兩位數(shù)與得到的三位數(shù)之和是原兩位數(shù)的10倍，所以原兩位數(shù)的個位數(shù)只能是0或5。如果個位數(shù)是0，那么無論插入什么數(shù)，得到的三位數(shù)至少是原兩位數(shù)的10倍，所以個位數(shù)是5。設原兩位數(shù)是，則b=5，變成的三位數(shù)為ab5，由題意有

5、100a10b5（10a5）9，化簡得ab4。變成的三位數(shù)只能是405，315，225，135?！眷柟獭?一輛汽車進入高速公路時，入口處里程碑上是一個兩位數(shù)，汽車勻速行使，一小時后看到里程碑上的數(shù)是原來兩位數(shù)字交換后的數(shù)。又經一小時后看到里程碑上的數(shù)是入口處兩個數(shù)字中間多一個0的三位數(shù)，請問：再行多少小時，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個三位數(shù)首末兩個數(shù)字交換所得的三位數(shù)?！窘馕觥?設第一個2位數(shù)為10a+b；第二個為10b+a ；第三個為100a+b ；由題意：(100a+b)-（10b+a）=( 10b+a)-（10a+b) ；化簡可以推得b=6a，0a,b9，得a=1，b=6；即每小時走61

6、-16=45 ；（601-106)45=11；再行11小時，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個三位數(shù)首末兩個數(shù)字交換所得的三位數(shù)?！眷柟獭?將四位數(shù)的數(shù)字順序重新排列后，可以得到一些新的四位數(shù)現(xiàn)有一個四位數(shù)碼互不相同，且沒有0的四位數(shù)，它比新數(shù)中最大的小3834，比新數(shù)中最小的大4338求這個四位數(shù)【解析】 設組成這個四位數(shù)的四個數(shù)碼為， ()，則有，可得，則，且M的四位數(shù)字分別為1、9，由于的個位數(shù)字為7，所以，中有一個為7，但，所以不能為7，故，【例 5】 已知.【解析】 原式：1111a111b11cd1370，所以a1，則111b11c推知b2；進而推知c3，d=4

7、所以=1234?！眷柟獭?(2008年清華附中考題)已知一個四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等于2008，則所有這樣的四位數(shù)之和為多少【解析】 設這樣的四位數(shù)為，則，即，則或2若，則，得，；若，則，由于，所以，所以，故為9，則為偶數(shù)，且，故，由為偶數(shù)知，；所以，這樣的四位數(shù)有2003和1985兩個，其和為：【例 6】 有一個兩位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的前面，則可得到一個三位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的后面，則可得到一個三位數(shù)，如果在它前后各加寫一個數(shù)碼3，則可得到一個四位數(shù)將這兩個三位數(shù)和一個四位數(shù)相加等于求原來的兩位數(shù)【解析】 設原來的兩位數(shù)是，則得到的兩個三位數(shù)分別為和，四位數(shù)為，由題知，即，

8、故【鞏固】 如果把數(shù)碼5加寫在某自然數(shù)的右端，則該數(shù)增加，這里A表示一個看不清的數(shù)碼，求這個數(shù)和A?！窘馕觥?設這個數(shù)為x，則10x+5-x=，化簡得9x=，等號右邊是9的倍數(shù)，試驗可得A=1，x=1234?！眷柟獭?某八位數(shù)形如，它與3的乘積形如，則七位數(shù)應是多少？【解析】 設，則，根據(jù)題意，有，得，所以模塊二、數(shù)的進制【例 7】 _；_；若，則_【解析】 對于這種進位制計算，一般先將其轉化成我們熟悉的十進制，再將結果轉化成相應的進制：；可轉化成十進制來計算：；如果對進制的知識較熟悉，可直接在二進制下對進行除法計算，只是每次借位都是2，可得；本題涉及到3個不同的進位制，應統(tǒng)一到一個進制下統(tǒng)一

9、到十進制比較適宜：；十進制中，兩個數(shù)的和是整十整百整千的話，我們稱為“互補數(shù)”，湊出“互補數(shù)”的這種方法叫“湊整法”，在進制中也有“湊整法”，要湊的就是整原式；若，則，經試驗可得【鞏固】 ；在八進制中，_；在九進制中，_【解析】 本題是進制的直接轉化：；原式；原式【例 8】 在幾進制中有？【解析】 利用尾數(shù)分析來解決這個問題：由于，由于式中為100，尾數(shù)為0，也就是說已經將12全部進到上一位所以說進位制為12的約數(shù)，也就是12，6，4，3，2中的一個但是式子中出現(xiàn)了4，所以要比4大，不可能是4，3，2進制另外，由于，因為，也就是說不到10就已經進位，才能是100，于是知道，那么不能是12所以，

10、只能是6【鞏固】 在幾進制中有？【解析】 注意，因為，所以一定是不到10就已經進位，才能得到16324，所以再注意尾數(shù)分析，而16324的末位為4，于是進到上一位所以說進位制為21的約數(shù)，又小于10，也就是可能為7或3因為出現(xiàn)了6，所以只能是7分解質因數(shù)本講中的知識點在小學課本內已經有所涉及，并且多以判斷題考察。質數(shù)合數(shù)的出現(xiàn)是對自然數(shù)的另一種分類方式，但是相對于奇數(shù)偶數(shù)的劃分要復雜許多。質數(shù)本身的無規(guī)律性也是一個研究質數(shù)結構的難點。在奧數(shù)數(shù)論知識體系中我們要幫助孩子樹立對質數(shù)和合數(shù)的基本認識，在這個基礎之上能夠會與之前的一些知識點結合運用。分解質因數(shù)法是一個數(shù)論重點方法，本講另一個授課重點在

11、于讓孩子對這個方法能夠熟練并且靈活運用。知識點撥1 質數(shù)與合數(shù)一個數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質數(shù)(也叫做素數(shù)).一個數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù).要特別記?。?和1不是質數(shù)，也不是合數(shù).常用的100以內的質數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計25個；除了2其余的質數(shù)都是奇數(shù)；除了2和5，其余的質數(shù)個位數(shù)字只能是1，3，7或9.考點： 值得注意的是很多題都會以質數(shù)2的特殊性為考點. 除了2和5，其余質數(shù)個位數(shù)字只能是1，3，7或9.這也是很多題解題

12、思路，需要大家注意.2 質因數(shù)與分解質因數(shù)質因數(shù)：如果一個質數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質數(shù)是這個數(shù)的質因數(shù).互質數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個自然數(shù)，叫做互質數(shù).分解質因數(shù)：把一個合數(shù)用質因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質因數(shù).例如：，2、3都叫做12的質因數(shù)，其中后一個式子叫做分解質因數(shù)的標準式，在求一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)和約數(shù)的和的時候都要用到這個標準式.分解質因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數(shù)字的特征.3 唯一分解定理任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質數(shù)的連乘積，即：其中為質數(shù)，為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱為n的質因子分解式.例如：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求

13、這三個數(shù).分析：210=2357，可知這三個數(shù)是5、6和7.4. 部分特殊數(shù)的分解；.5. 判斷一個數(shù)是否為質數(shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個小于p的質數(shù)q(均為整數(shù))，使得q能夠整除p，那么p就不是質數(shù)，所以我們只要拿所有小于p的質數(shù)去除p就可以了；但是這樣的計算量很大，對于不太大的p，我們可以先找一個大于且接近p的平方數(shù)，再列出所有不大于K的質數(shù)，用這些質數(shù)去除p，如沒有能夠除盡的那么p就為質數(shù).例如：149很接近，根據(jù)整除的性質149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質數(shù).例題精講模塊一、質數(shù)合數(shù)的基本概念的應用【例 1】 下面是主試委員會為第六屆“華杯賽”寫的一首詩：美少年華

14、朋會友，幼長相親同切磋；杯賽聯(lián)誼歡聲響，念一笑慰來者多；九天九霄志凌云，九七共慶手相握；聚起華夏中興力，同唱移山壯麗歌請你將詩中56個字第1行左邊第一字起逐行逐字編為156號，再將號碼中的質數(shù)由小到大找出來，將它們對應的字依次排成一行，組成一句話，請寫出這句話【解析】 按要求編號排序，并畫出質數(shù)號碼：美 少 年 華 朋 會 友，幼 長 相 親 同 切 磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 杯 賽 聯(lián) 誼 歡 聲 響，念 一 笑 慰 來 者 多；15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 九 天 九 霄 志 凌 云，九 七

15、共 慶 手 相 握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 聚 起 華 夏 中 興 力，同 唱 移 山 壯 麗 歌43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 將質數(shù)對應的漢字依次寫出就是：少年朋友親切聯(lián)歡；一九九七相聚中山【鞏固】 (2004年全國小學奧林匹克)自然數(shù)是一個兩位數(shù)，它是一個質數(shù)，而且的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是質數(shù)，這樣的自然數(shù)有多少個？【解析】 這樣的自然數(shù)有4個：23，37，53，73【例 2】 兩個質數(shù)之和為，求這兩個質數(shù)的乘積是多少.【解析】 因為和為奇數(shù)，所以這兩個數(shù)必為一奇一偶，所以其中

16、一個是，另一個是，乘積為.我們要善于抓住此類題的突破口?！眷柟獭?已知3個不同質數(shù)的和是最小的合數(shù)的完全平方，求這3個質數(shù)的乘積是多少？【解析】 最小的合數(shù)是4，其平方為16我們知道奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)，所以這3個質數(shù)中必然有2，那么其余2個的和是14，只能一個是3一個是11，因此這3個質數(shù)的乘積是【鞏固】 小晶最近遷居了，小晶驚奇地發(fā)現(xiàn)他們新居的門牌號碼是四位數(shù)同時，她感到這個號碼很容易記住，因為它的形式為，其中，而且和都是質數(shù)(和是兩個數(shù)字)具有這種形式的數(shù)共有多少個？【鞏固】 若兩位數(shù)、均為質數(shù)，則、均為奇數(shù)且不為5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，977

17、9，7997共8個數(shù)【鞏固】 (俄羅斯數(shù)學奧林匹克)萬尼亞想了一個三位質數(shù)，各位數(shù)字都不相同如果個位數(shù)字等于前兩個數(shù)字的和，那么這個數(shù)是幾？【解析】 因為是質數(shù)所以個位數(shù)不可能為偶數(shù)0，2，4，6，8也不可能是奇數(shù)5如果末位數(shù)字是3或9，那么數(shù)字和就將是3或9的兩倍，因而能被它們整除，這就不是質數(shù)了所以個位數(shù)只能是7這個三位質數(shù)可以是167，257，347，527或617中間的任一個【鞏固】 (全國小學數(shù)學奧林匹克)從19中選出8個數(shù)排成一個圓圈，使得相鄰的兩數(shù)之和都是質數(shù)排好后可以從任意兩個數(shù)字之間切開，按順時針方向讀這些八位數(shù)，其中可以讀到的最大的數(shù)是多少？【解析】 由于質數(shù)除了2以外都是

18、奇數(shù)，所以數(shù)字在順時針排列時應是奇偶相間排列切開后的數(shù)仍然具有“相鄰兩數(shù)之和是質數(shù)”，并且最高位與最低位之和也是質數(shù)，考慮到“最大”的限制條件，最高位選9，第二位選8，第三位最大可以選7，但7與8之和不是質數(shù)，再改選5，8與5之和是質數(shù)，符合要求第四位可選剩余的最大數(shù)字6，如此類推十位可選3，個位選2所以，可以讀到的最大數(shù)是98567432數(shù)字排列如下圖【鞏固】 (保良局亞洲區(qū)城市小學數(shù)學邀請賽)用L表示所有被3除余1的全體正整數(shù)如果L中的數(shù)(1不算)除1及它本身以外，不能被L的任何數(shù)整除，稱此數(shù)為“L質數(shù)”問：第8個“L質數(shù)”是什么？【解析】 “L數(shù)”為1，4，7，10，13，16，19，2

19、2，25，28，31，34，“L質數(shù)”應為上列數(shù)中去掉1，16，28，即為4，7，10，13，19，22，25，31，34，所以，第8個“L質數(shù)”是31【例 3】 9個連續(xù)的自然數(shù)，每個數(shù)都大于80，那么其中最多有多少個質數(shù)？請列舉和最小的一組【解析】 我們知道任意連續(xù)9個自然數(shù)中最多有4個質數(shù)，本題考察對100以外的質數(shù)的熟練情況，有101，103，107，109是4個質數(shù)?！眷柟獭?從小到大寫出5個質數(shù)，使后面數(shù)都比前面的數(shù)大12.這樣的數(shù)有幾組？【解析】 考慮到質數(shù)中除了2以外其余都是奇數(shù)，因此這5個質數(shù)中不可能有2；又質數(shù)中除了2和5，其余質數(shù)的個位數(shù)字只能是1、3、7、9.若這5個質

20、數(shù)中最小的數(shù)其個位數(shù)字為1，則比它大24的數(shù)個位即為5，不可能是質數(shù)；若最小的數(shù)其個位數(shù)字為3，則比它大12的數(shù)個位即為5，也不可能為質數(shù)；由此可知最小的數(shù)其個位數(shù)字也不可能是7和9，因此最小的數(shù)只能是5，這5個數(shù)依次是5，17，29，41，53.這樣的數(shù)只有一組.【例 4】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字組成質數(shù)，如果每個數(shù)字都要用到并且只能用一次，那么這9個數(shù)字最多能組成多少個質數(shù).【解析】 要使質數(shù)個數(shù)最多，我們盡量組成一位的質數(shù)，有2、3、5、7均為一位質數(shù)，這樣還剩下1、4、6、8、9這5個不是質數(shù)的數(shù)字未用有1、4、8、9可以組成質數(shù)41、89，而6可以與7組合成質

21、數(shù)67所以這9個數(shù)字最多可以組成6個質數(shù)?！纠?5】 7個連續(xù)質數(shù)從大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它們的和是偶數(shù)，那么d是多少？【解析】 因為7個質數(shù)的和是偶數(shù)，所以這7個質數(shù)不可能都是奇數(shù).我們知道是偶數(shù)的質數(shù)只有2，因此這7個質數(shù)中必有一個是2.又因為2是最小的質數(shù)，并且這7個連續(xù)質數(shù)是從大到小排列的，所以.【例 6】 將60拆成10個質數(shù)之和，要求最大的質數(shù)盡可能小，那么其中最大的質數(shù)是多少【解析】 最大的質數(shù)必大于5，否則10個質數(shù)之和將不大于50，又60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即8個7與2個2的和為60，故其中最大的質數(shù)是7模塊二、分解質因數(shù)【例 7】 兩

22、個連續(xù)奇數(shù)的乘積是，這兩個奇數(shù)之和是多少? 【解析】 分解質因數(shù)：()()，所以和為.本講不僅要求學生熟練掌握分解質因數(shù)，而且要注意一些技巧，例如本題中的?！纠?8】 在面前有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長、寬、高都是質數(shù)，那么這個長方體的體積是多少?【解析】 如下圖，設長、寬、高依次為a、b、c，有正面和上面的和為ac+ab=209ac+ab=a(c+b)=209，而209=1119當a=11時，c+b=19，當兩個質數(shù)的和為奇數(shù)，則其中必定有一個數(shù)為偶質數(shù)2，則c+b=2+17;當a=19時，c+b=11，則c+b=2+9，b為9不是質數(shù)，所以不滿足題意所以它們的

23、乘積為11217=374【鞏固】 一個長方體的長、寬、高是連續(xù)的3個自然數(shù)，它的體積是39270立方厘米，那么這個長方體的表面積是多少平方厘米?【解析】 39270=23571117，為三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，而343434最接近39270，39270的約數(shù)中接近或等于34的有35、34、33，有333435=39270所以33、34、35為滿足題意的長、寬、高則長方體的表面積為：2(長寬+寬高+高長)=2(3334+3435+3533)=6934(平方厘米)方法二：39270=23571117，為三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，考慮質因數(shù)17，如果17作為長、寬或高顯然不滿足當17與2結合即34作為長方

24、體一條邊的長度時有可能成立，再考慮質因數(shù)7，與34接近的數(shù)3236中，只有35含有7，于是7與5的乘積作為長方體的一條邊的長度而39270的質因數(shù)中只剩下了3和1l，所以這個長方體的大小為333435長方體的表面積為2(+)=2(1190+1155+1122)=23467=6934(平方厘米)【例 9】 甲數(shù)比乙數(shù)大，乙數(shù)比丙數(shù)大，三個數(shù)的乘積是，求這三個數(shù)？【解析】 將分解質因數(shù)，則其中必有一個數(shù)是或的倍數(shù)；經試算，恰好，所以這三個數(shù)即為，.一般象這種類型的題，都是從最大的那個質因數(shù)去分析.如果這道題里不符合要求，下一個該考慮，再下一個該考慮，依此類推 模塊三、質數(shù)合數(shù)綜合型題目【例 10】 是質數(shù)，都是質數(shù)求是多少？【解析】 由題意知是一個奇數(shù)，因為，所以是3的倍數(shù)，所以【鞏固】 已知是質數(shù)，也是質數(shù)，求是多少？【解析】 是質數(shù)，必定是合數(shù)，而且大于1又由于是