中南大學(xué)高等工程數(shù)學(xué)考試

1、考試日期：2010年 4 月 日 時(shí)間110分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1.若函數(shù),且有和, 則方程在上的解存在唯一，對(duì)任意為初值由迭代公式產(chǎn)生的序列一定收斂于方程在上的解，且有誤差估計(jì)式；2.建立最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的三要素是：確定決策變量、建立適當(dāng)?shù)募s束條件、建立目標(biāo)函數(shù)；3求解無約束非線性最優(yōu)化問題的最速下降法會(huì)產(chǎn)生“鋸齒現(xiàn)象”，其原因是：最速下降法前后兩個(gè)搜索方向總是垂直的；4已知函數(shù)過點(diǎn)，設(shè)函數(shù)是的三次樣條插值函數(shù)，則滿足的三個(gè)條件（1）在每個(gè)子區(qū)間（i=1，2，n）上是不高于三次的多項(xiàng)式；（2）S（x），S（x），S（x）在上連續(xù)；（3）滿足插值

2、條件S（xi）=yi（i=1，2，n）；5隨機(jī)變量為樣本，是樣本均值，則N（3，0.4）；6正交表中各字母代表的含義為L表示正交表，N表示試驗(yàn)次數(shù)，n、m表示因子水平數(shù)，p、q表示試驗(yàn)至多可以安排因素的個(gè)數(shù)；7線性方程組其系數(shù)矩陣滿足A=LU，且分解唯一時(shí)，可對(duì)進(jìn)行解，選主元素的Gauss消元法是為了避免采用絕對(duì)值很小的主元素導(dǎo)致誤差傳播大，按列選取主元素時(shí)第步消元的主元akk為8取步長，用Euler法解的公式為。二、（本題6分）某汽車廠三種汽車：微型轎車、中級(jí)轎車和高級(jí)轎車。每種轎車需要的資源和銷售的利潤如下表。為達(dá)到經(jīng)濟(jì)規(guī)模，每種汽車的月產(chǎn)量必須達(dá)到一定數(shù)量時(shí)才可進(jìn)行生產(chǎn)。工廠規(guī)定的經(jīng)濟(jì)規(guī)

3、模為微型車1500輛，中級(jí)車1200輛，高級(jí)車1000輛，請(qǐng)建立使該廠的利潤最大的生產(chǎn)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型。微型車中級(jí)車高級(jí)車資源可用量鋼材（噸）26000（噸）人工（小時(shí)）30405055000（小時(shí)）利潤234解：設(shè)微型車生產(chǎn)了x1輛，中級(jí)車生產(chǎn)了x2輛，高級(jí)車生產(chǎn)了x3輛，而鋼材、人工均有限制，所以應(yīng)滿足限制條件：1+2x236000 人工：30x1+40x2+50x355000生產(chǎn)數(shù)量：x11500 x21200 x31000從而問題的數(shù)學(xué)模型為：Max c1x1+c2x2+c3三、（本題10分）已知的數(shù)據(jù)如表：0 125-53 06用Newton插值法求的三次插值多項(xiàng)式，計(jì)算的近似值，給出誤

4、差估計(jì)式。解：xiF(xi)一階差商二階差商三階差商四階差商0-513820-3-11/25625/427/206因此，而四、（本題12分）為了研究小白鼠在接種不同菌型傷寒桿菌后的存活日數(shù)有沒有差異，現(xiàn)試驗(yàn)了在接種三種不同菌型傷寒桿菌（記為并假設(shè)，）后的存活日數(shù)，得到的數(shù)據(jù)已匯總成方差分析表如下：方差來源平方和自由度樣本方差F值組間SSA66233組內(nèi)SSE6312總和SST12914 (1) 試把上述方差分析表補(bǔ)充完整（請(qǐng)?jiān)诖鹁砩袭嫳硖钌夏愕拇鸢福?2) 小白鼠在接種不同菌型傷寒桿菌后的存活日數(shù)有無顯著差異？（取，）解：（1）見表中紅色部分（2） 設(shè)H0：1=2=3=i選取統(tǒng)計(jì)量，由于顯著性

5、水平未給出，設(shè)=0.05，查表得，因?yàn)镕=6.286>，所以拒絕H0，即小白鼠在接種不同型傷寒桿菌后存活日數(shù)有顯著差異。五、（本題12分）用表格形式單純形法求解6、 （本題10分）試確定求積公式 中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。解：將分別代入式中得，因此得七、（本題12分）（1）在多元線性回歸建模過程中，需要考慮自變量的選擇問題。常用的方法有向前回歸法、向后回歸法、逐步回歸法。試解釋什么是逐步回歸法？（2）如果要考察因素A、B、C及交互作用A×B、A×C、B×C，如何用正交表安排試驗(yàn)，交互作用見下表，試作表頭設(shè)計(jì)。表兩列間交互作用表列號(hào)(列號(hào)) 1 2 3

6、 4 5 6 7 (1) 3 2 5 4 7 6 (2) 1 6 7 4 5 (3) 7 6 5 4 (4) 1 2 3 (5) 3 2 (6) 1解：(1)逐步回歸法就是對(duì)全部因子按其對(duì)y影響程度大小（偏回歸平方的大?。?，從大到小地依次逐個(gè)地引入回歸方程，并隨時(shí)對(duì)回歸方程當(dāng)時(shí)所含的全部變量進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否仍然顯著，如不顯著就將其剔除，知道回歸方程中所含的所有變量對(duì)y的作用都顯著是，才考慮引入新的變量。再在剩下的未選因子中，選出對(duì)y作用最大者，檢驗(yàn)其顯著性，顯著著，引入方程，不顯著，則不引入。直到最后再?zèng)]有顯著因子可以引入，也沒有不顯著的變量需要剔除為止。（2） 如果因子A放在第1列，因子B

7、放第2列，則A×B放在第3列。如C放在第4列，再查交互作用表，A×C和B×C應(yīng)分別放在第5列和第6列。表頭設(shè)計(jì)如下：列號(hào)1234567因子ABA×BCA×CB×C八、（本題14分）設(shè)方程組為（1）對(duì)方程組進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，使得用Gauss-Seidel迭代法求解時(shí)收斂；（2）取，用Gauss-Seidel迭代法計(jì)算兩步迭代值，；（3）取，估計(jì)用Jacobi迭代求解與準(zhǔn)確解的誤差。解：（1）將原矩陣變換為如下：，經(jīng)變換后的矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，因此在用Gauss-Seidel迭代法求解時(shí)收斂。（2） 由GS迭代公式得：，又由于，因此經(jīng)兩步迭

8、代后得，（3） 由Jacobi迭代公式得：因此中南大學(xué)工程碩士“高等工程數(shù)學(xué)”考試試卷考試日期：2011年 月 日 時(shí)間110分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)（1） 對(duì)方程，寫出其Newton迭代公式，使得由迭代公式產(chǎn)生的序列可以2階收斂于方程的唯一正根；解：由牛頓迭代公式得因其存在2重跟，故需對(duì)其進(jìn)行修正得（2）在上，設(shè)與等價(jià)，則當(dāng)滿足(x)于a,b一階導(dǎo)數(shù)存在，當(dāng)xa,b時(shí)，有(x)a,b和|g(x)|L1，xa,b時(shí)，由（）產(chǎn)生的序列收斂于方程的根；（3）用Doolittle分解法求方程：則：=，= ，解=；解：，,因此,（4）已知 ，則：=6；=6；4

9、+6+5=15。（5）已知在區(qū)間上通過點(diǎn)，則其三次樣條插值函數(shù)是滿足在每個(gè)子區(qū)間上不高于三次的多項(xiàng)式，S(x），S（x），S（x）在上連續(xù)，滿足插值條件；（6）設(shè)有線性回歸模型，其中且相互獨(dú)立，寫出參數(shù)的最小二乘估計(jì)，。解：，因此得，故（7）在多元線性回歸建模過程中，需要考慮自變量的選擇問題。寫出三種常用的自變量的選取方法向后回歸法、向前回歸法、逐步回歸法。（8）影響數(shù)學(xué)模型數(shù)值求解結(jié)果的誤差有：截?cái)嗾`差，舍入誤差，觀測(cè)誤差 。二、（本題8分）已知的數(shù)據(jù)如表：-2 0260 4 -210試求三次Newton插值多項(xiàng)式，求的近似值，并給出相應(yīng)的誤差估計(jì)式。xF(x)一階差商二階差商三階差商四階差

10、商-200422-2-3-5/4610319/3250因此而三、（本題10分）引入人工變量利用大M法求解下面的線性規(guī)劃（要求寫出計(jì)算過程）：解：將約束條件加上松弛變量x3，剩余變量x4和人工變量x5后得到一個(gè)有基可行解的典型方程如下：相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為列出初始單純形表，并進(jìn)行迭代得：基變量CBXBX1X2X3X4X53400-MX304211002X5-M110-111Zj-M0M-M-M-30M0X3020212-21X13110-11Zj30-3300-33+MX241011-1X13103Zj3400-2.5+M這時(shí)的檢驗(yàn)數(shù)已全部非負(fù)。得最優(yōu)解；人工變量X5=0，去掉人工變量部分，得原線性

11、規(guī)劃問題的最優(yōu)解為，最優(yōu)值4、 （本題8分）某廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都分別經(jīng)A,B兩道工序加工，A工序在設(shè)備或上完成，B工序在，三種設(shè)備上完成。已知產(chǎn)品甲可在A，B任何一種設(shè)備上加工；產(chǎn)品乙可在任何規(guī)格的A設(shè)備上加工，但完成B工序時(shí)，只能在設(shè)備上加工；產(chǎn)品丙只能在與設(shè)備上加工。加工單位產(chǎn)品所需要工序時(shí)間及其他數(shù)據(jù)見下表。設(shè)備產(chǎn)品設(shè)備有效臺(tái)時(shí)設(shè)備加工費(fèi)（元/小時(shí)）甲乙丙5106000791210000684000411700074000原料費(fèi)（元/件）售價(jià)（元/件）（1）建立線性優(yōu)化模型，安排使該廠獲利最大的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃（不要求計(jì)算出結(jié)果）；（2）寫出所建立的模型的對(duì)偶形式。解：（1）設(shè)在A

12、1設(shè)備上生產(chǎn)甲x11件，乙x12件，在A2設(shè)備上生產(chǎn)甲x21件，乙x22件，丙x23件，在B1設(shè)備上生產(chǎn)甲x31件，乙x32件，在B2設(shè)備上生產(chǎn)甲x41件，丙x43件，在B3設(shè)備上生產(chǎn)甲x51件由已知條件得（2） 因目標(biāo)函數(shù)為最大值，而線性規(guī)劃方程符合要求，故不需轉(zhuǎn)換形式，由此得：5、 （本題12分）一種生產(chǎn)降血壓藥品的生產(chǎn)廠家聲稱，他們生產(chǎn)的一種降壓藥服用一周后能使血壓明顯降低的效率可以達(dá)到80%，今在高血壓的人群中隨機(jī)抽取了200人服用此藥品，一周后有148人血壓有明顯降低，試問生產(chǎn)廠家的說法是否真實(shí)？解：設(shè)降壓效率為p，作假設(shè)H0：p80% H1：p80%由點(diǎn)估計(jì)，m為血壓明顯降低的人數(shù)

13、，抽取的樣本為大樣本，因此選取統(tǒng)計(jì)量為，對(duì)=0.01，拒絕域。由已知得m=148，n=200,因此統(tǒng)計(jì)量，查表得Z=2.33，從而，樣本觀測(cè)值未落入拒絕域中，不能拒絕H0，即生產(chǎn)廠家說法是真實(shí)的。六、（本題10分）設(shè)有數(shù)值求積公式，試確定，使該數(shù)值積分公式有盡量高的代數(shù)精度，并確定其代數(shù)精度為多少。解：將分別代入式中得，因此A0=2.25，A1=1.5，A2將，因此代數(shù)精度為3。七、（本題12分）影響水稻產(chǎn)量的因素有秧齡、每畝基本苗數(shù)和氮肥，其水平如下表因素秧齡 苗數(shù) 氮肥1水平2水平小苗 15萬株/畝 8斤/畝大畝 25萬株/畝 12斤/畝若考慮之間的交互作用，采用安排試驗(yàn)，并按秧齡、每畝基

14、本苗數(shù)、氮肥分別放在表的第一、二、四列，解答下列問題：（1） 它們的交互作用分別位于哪一列？（2）若按這種表頭作試驗(yàn)并測(cè)得產(chǎn)量為83.4, 84.0, 87.3, 84.8, 87.3, 88.0, 92.3, 90.4，試尋找較好的生產(chǎn)條件。解：列表如下：1（秧齡A）A2（苗數(shù)B）3（A×B）4（氮肥C）5（A×C）6（B×C）產(chǎn)量斤/畝12345678111122221122112211222211121212121212212112211221K1iK2i 358R由表計(jì)算數(shù)據(jù)及直觀分析可知，因子B×C、A、B是重要的。顯然A取水平A2，B取水平B

15、2，而B×C由B2×C1：，B2×C2：故C取C1水平。從而最優(yōu)水平為A2B2C1。八、（本題16分）設(shè)方程組為（1）對(duì)方程組進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，使得用雅可比迭代方法和高斯塞德爾迭代法求解時(shí)都收斂；（2）寫出對(duì)應(yīng)的高斯塞德爾迭代格式的分量形式；（3）取初始向量，用雅可比迭代方法求準(zhǔn)確解的近似解，使至少需要迭代多少次？解：（1），經(jīng)變換后的矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，因此在用Gauss-Seidel迭代法求解時(shí)收斂。（2）（3） 解方程組可知雅克比迭代法形式為 kX1(k)X2(k)X3(k)12345中南大學(xué)工程碩士“高等工程數(shù)學(xué)”考試試卷考試日期：2010年 4 月日時(shí)間1

16、10分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1. 若方程可表成，且在內(nèi)有唯一根，那么滿足，則由迭代公式產(chǎn)生的序列一定收斂于。（滿足：,且有, ；）2. 已知二元非線性函數(shù)，該函數(shù)從X0 出發(fā)的最速下降方向?yàn)椋ㄗ钏傧陆捣较驗(yàn)椋海?已知二元非線性函數(shù)，該函數(shù)從X0 出發(fā)的Newton方向?yàn)椋∟ewton方向?yàn)椋海?已知在區(qū)間上通過點(diǎn)，則其三次樣條插值函數(shù)是滿足（1）在每個(gè)小區(qū)間是次數(shù)不超過3次的多項(xiàng)式，（2）在區(qū)間上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，（3）滿足插值條件）；5設(shè)某個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題的拒絕域?yàn)閃，且當(dāng)原假設(shè)H0成立時(shí)，樣本值落入W的概率為0.15，則犯第一類錯(cuò)誤的概率為_（）；6

17、在實(shí)際問題中求某參數(shù)的置信區(qū)間時(shí)，總是希望置信水平愈 大 愈好，而置信區(qū)間的長度愈短愈好。但當(dāng)增大置信水平時(shí)，則相應(yīng)的置信區(qū)間長度總是變長 ；7取步長，解的Euler法公式為：（）；8對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行建模求解時(shí)可能出現(xiàn)的誤差有：（模型誤差，觀測(cè)誤差，方法誤差，舍入誤差。）。二、（本題8分）某鋼鐵公司生產(chǎn)一種合金，要求的成分是：錫不少于28%，鋅不多于15%，鉛恰好10%，鎳介于35%到55%之間，不允許有其他成分。鋼鐵公司擬從五種不同級(jí)別的礦石中進(jìn)行冶煉，每種礦物的成分含量和價(jià)格如下表。礦石雜質(zhì)在冶煉中廢棄，并假設(shè)礦石在冶煉過程中金屬含量沒有發(fā)生變化。合金礦石錫（%）鋅（%）鉛（%）鎳（%）雜質(zhì)

18、（%）費(fèi)用（元/噸）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151715190（1）建立線性優(yōu)化模型，安排最優(yōu)礦物冶煉方案，使每噸合金產(chǎn)品成本最低。（不要求計(jì)算出結(jié)果）；（2）寫出所建立的模型的對(duì)偶形式。（1）設(shè)是第j 種礦石的數(shù)量，目標(biāo)是使成本最低，得線性規(guī)劃模型如下： 4分（2）上述線性規(guī)劃模型的對(duì)偶形式如下： 4分三、（本題8分）已知的數(shù)據(jù)如表：0 1 3 7試求三次插值多項(xiàng)式P(x)，求的近似值，并給出相應(yīng)的誤差估計(jì)式。解：用Newton插值法求的插值多項(xiàng)式，由所給數(shù)據(jù)如表可得差商表如下：xif(xi)一階差商二階差商

19、三階差商四階差商00   1  32 7/64由差商表得出的三次插值多項(xiàng)式為： 3分于是有 2分相應(yīng)的誤差估計(jì)式為： 2分四、（本題12分）為了考察硝酸鈉NaNO的可容性溫度之間的關(guān)系，對(duì)一系列不同的溫度（），觀察它在100的水中溶解的NaNO的重量（g），得觀察結(jié)果如下：溫度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10（1）求Y對(duì)X的線性回歸方程。（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位。）, , , , （2）對(duì)回歸方程的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。（取顯著水平為0.05，0.01），。解：（） 4分回歸函數(shù)為 4分（），或