豐富多彩的有理數(shù)競(jìng)賽題

1、現(xiàn)以2000年、2001年第十二屆，第十三屆“五羊杯”（廣東省數(shù)學(xué)會(huì)舉辦）初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的有理數(shù)競(jìng)賽題為例，介紹有關(guān)解題方法。例1 8 642 097 531、6 420 875 319、4 208 653 197、2 086 431 975、864 219 753的平均數(shù)是（）。（A）4 444 455 555（B）5 555 544 444（C）4 999 999 995（D）5 999 999 994解 注意已知五個(gè)數(shù)的特點(diǎn)：右起1至5位每位數(shù)字之和為1+3+5+7+9=25，6至10位每位數(shù)字之和為0+2+4+6+8=20，于是五個(gè)數(shù)的平均數(shù)為4 444 455 555。選A。例2

2、已知 68 920 312690億（四舍五入），那么其中三位數(shù)有（）種填寫(xiě)的方法。（A）1 000（B）999（C）500（D）499解 可填500，501，502，999，共500種填法。選C。例3 不超過(guò)700（是圓周率）的最大整數(shù)是（）。（A）2 100（B）2 198（C）2 199（D）2 200解 3.141 5<<3.141 6，故2 199.05<700。所以應(yīng)選C。例4 （）÷（二次根式【內(nèi)容綜述】一般地，式子叫做二次根式。在解決有關(guān)根式的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題時(shí)，需要同學(xué)們熟練地掌握根式的性質(zhì)、運(yùn)算法則等知識(shí)。另外，特別要掌握好如下的二個(gè)重要性質(zhì)：（1）

3、。（2）【要點(diǎn)講解】在這一部分中，通過(guò)例題的解答，介紹有關(guān)二次根式的化簡(jiǎn)、求值、分母有理化等方面的知識(shí)，同學(xué)們要認(rèn)真體會(huì)其中的解題方法和技巧。例1、化簡(jiǎn). 思路 通過(guò)分類討論去掉根號(hào)。解原式例2、化簡(jiǎn)思路用待定系數(shù)法把11-6表示成一個(gè)完全平方式。解設(shè)11-6（則所以解得或說(shuō)明 本題還可用配方法來(lái)化簡(jiǎn)，請(qǐng)讀者自己來(lái)試一試。例3、分母有理化。例4 化簡(jiǎn)思路 對(duì)分子進(jìn)行重新的分解組合，使之與分母有公共的因式。解法1 原式=解法2 原式說(shuō)明對(duì)于這種分式型的根式問(wèn)題的化簡(jiǎn)，常用的思路就是對(duì)于分子進(jìn)行巧妙地分解、組合，使之出現(xiàn)分母中的形式，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。例5 若。思路 先化簡(jiǎn)已知條件的復(fù)合二次根式，和

4、所求化數(shù)式，然后再求值。說(shuō)明本題通過(guò)變形已知條件得到，然后利用這個(gè)條件進(jìn)行整體代換，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程。這種解題策略在條件求值問(wèn)題中經(jīng)常運(yùn)用。例6 設(shè)的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求a-b（2b+1）的值。例7 化簡(jiǎn)由當(dāng)時(shí),當(dāng)n<-2（除n= -2,因它使分母為零）時(shí),= -,= =例8 設(shè)且,求的值。解：設(shè)顯然k0，則由已知得即由已知得說(shuō)明：當(dāng)題目中的變量較多時(shí)，常常引入一個(gè)參數(shù)，使得每個(gè)變量都用這個(gè)參數(shù)表示出來(lái)，這樣便于化簡(jiǎn)。例9設(shè)。則與S最接近的整數(shù)是多少？思路：所求式的各項(xiàng)的特征都相同，故可先研究每項(xiàng)的一般形式的結(jié)構(gòu)，即所謂“通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)”。解：當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，有=故與X最接近的整數(shù)

5、是1999。說(shuō)明：如果所求式子各項(xiàng)的特征相同時(shí)，一般要先研究清楚通項(xiàng)的特點(diǎn)，然后再具體到每一項(xiàng)，這是從一般到特殊的思維方法。強(qiáng)化訓(xùn)練A級(jí)1、_2、若則_3、若0<a<1, 則可化簡(jiǎn)為_(kāi)4、設(shè)，求的值。B級(jí)5、若a表示實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，則= 6、分母有理化，_7、自然數(shù)滿足。則_8、已知化簡(jiǎn)參考答案A 級(jí)1、-2提示：原式= =2、7提示：3、提示：原式=， 原式=4、1152提示：由條件知所以從而，原式=5、2提示：=6、提示：原式=7、10或14提示：已知條件的兩邊平方得，又由題設(shè)知是自然數(shù)，且或當(dāng)時(shí)，這時(shí)當(dāng)時(shí)，這時(shí)。8、或由得. 所以因?yàn)樗匀鬭>0>b, 原式=

6、-ab；若a<0<b, 原式= ab。韋達(dá)定理及其應(yīng)用【內(nèi)容綜述】設(shè)一元二次方程有二實(shí)數(shù)根，則，。這兩個(gè)式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù)a，b，c的關(guān)系，稱之為韋達(dá)定理。其逆命題也成立。韋達(dá)定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有著廣泛的應(yīng)用。本講重點(diǎn)介紹它在五個(gè)方面的應(yīng)用。【要點(diǎn)講解】1求代數(shù)式的值應(yīng)用韋達(dá)定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對(duì)稱式的值。例1若a，b為實(shí)數(shù)，且，求的值。思路注意a，b為方程的二實(shí)根；（隱含）。解（1）當(dāng)a=b時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，由已知及根的定義可知，a，b分別是方程的兩根，由韋達(dá)定理得， ab=1.說(shuō)明此題易

7、漏解a=b的情況。根的對(duì)稱多項(xiàng)式，等都可以用方程的系數(shù)表達(dá)出來(lái)。一般地，設(shè)，為方程的二根，則有遞推關(guān)系。其中n為自然數(shù)。由此關(guān)系可解一批競(jìng)賽題。附加：本題還有一種最基本方法即分別解出a，b值進(jìn)而求出所求多項(xiàng)式值，但計(jì)算量較大。例2若，且，試求代數(shù)式的值。思路此例可用上例中說(shuō)明部分的遞推式來(lái)求解，也可以借助于代數(shù)變形來(lái)完成。解：因?yàn)?，由根的定義知m，n為方程的二不等實(shí)根，再由韋達(dá)定理，得，2構(gòu)造一元二次方程如果我們知道問(wèn)題中某兩個(gè)字母的和與積，則可以利用韋達(dá)定理構(gòu)造以這兩個(gè)字母為根的一元二次方程。例3設(shè)一元二次方程的二實(shí)根為和。（1）試求以和為根的一元二次方程；（2）若以和為根的一元二次方程仍為

8、。求所有這樣的一元二次方程。解（1）由韋達(dá)定理知，。，。所以，所求方程為。（2）由已知條件可得 解之可得由得，分別討論（p,q）=(0,0)，(1,0)，(,0)，(0,1)，(2,1)，(,1)或(0, )。于是，得以下七個(gè)方程，其中無(wú)實(shí)數(shù)根，舍去。其余六個(gè)方程均為所求。3證明等式或不等式根據(jù)韋達(dá)定理（或逆定理）及判別式，可以證明某些恒等式或不等式。例4已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且滿足條件：，求證a=b。證明由已知得，。根據(jù)韋達(dá)定理的逆定理知，以a，b為根的關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程為由a，b為實(shí)數(shù)知此方程有實(shí)根。，故c=0，從而。這表明有兩個(gè)相等實(shí)根，即有a=b。說(shuō)明由“不等導(dǎo)出相等”是一種獨(dú)

9、特的解題技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法較第一種煩瑣，且需一定的跳躍性思維。4研究方程根的情況將韋達(dá)定理和判別式定理相結(jié)合，可以研究二次方程根的符號(hào)、區(qū)間分布、整數(shù)性等。關(guān)于方程的實(shí)根符號(hào)判定有下述定理：方程有二正根，ab<0，ac>0；方程有二負(fù)根，ab>0，ac>0；方程有異號(hào)二根，ac<0；方程兩根均為“0”，b=c=0，；例5設(shè)一元二次方程的根分別滿足下列條件，試求實(shí)數(shù)a的范圍。二根均大于1；一根大于1，另一根小于1。思路設(shè)方程二根分別為，則二根均大于1等價(jià)于和同時(shí)為正；一根大于1，另一根小于是等價(jià)于和異號(hào)。解設(shè)此方程的二根為，則，

10、。方程二根均大于1的條件為解之得方程二根中一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1的條件為解之得。說(shuō)明此例屬于二次方程實(shí)根的分布問(wèn)題，注意命題轉(zhuǎn)換的等價(jià)性；解題過(guò)程中涉及二次不等式的解法，請(qǐng)參照后繼相關(guān)內(nèi)容。此例若用二次函數(shù)知識(shí)求解，則解題過(guò)程極為簡(jiǎn)便。5求參數(shù)的值與解方程韋達(dá)定理及其逆定理在確定參數(shù)取值及解方程（組）中也有著許多巧妙的應(yīng)用。例6解方程。解：原方程可變形為。令，。則, 。由韋達(dá)定理逆定理知，以a，為根的一元二次方程是。解得，。即a=或a=9?；蛲ㄟ^(guò)求解x結(jié)果相同，且嚴(yán)謹(jǐn)。，（舍去）。解之得，。此種方法應(yīng)檢驗(yàn)：是或否成立強(qiáng)化訓(xùn)練A 級(jí)1.若k為正整數(shù)，且方程有兩個(gè)不等的正整數(shù)根，則k的值為_(kāi)。，

11、則_。3 .已知和是方程的二實(shí)根，則_。（m為整數(shù)）有兩個(gè)不等的正整數(shù)根，求m的值。級(jí)5.已知：和為方程及方程的實(shí)根，其中n為正奇數(shù)，且。求證：，是方程的實(shí)根。6.已知關(guān)于x的方程的二實(shí)根和滿足，試求k的值。參考答案12提示：原方程即，所以，由知k=1，2，3，5，11；由知k=2，3，4，7。所以k=2，3，但k=3時(shí)原方程有二相等正整數(shù)根，不合題意。故k=2。2提示：由x，y為方程的二根，知，。于。321提示：由，知，4設(shè)二個(gè)不等的正整數(shù)根為，由韋達(dá)定理，有消去m，得。即。則且。，。故。5由韋達(dá)定理有，。又，。二式相減得。，。將代入有。從而，同理和是方程的根。6當(dāng)時(shí)，可知，所以，當(dāng)時(shí)，易證

12、得。從而，為方程的二不同實(shí)根。，。于是，。當(dāng)時(shí)，方程為。解得或取，即能符合題意，故k的值為。代數(shù)式的變形（整式與分式）在化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的過(guò)程中，常需將代數(shù)式變形，現(xiàn)結(jié)合實(shí)例對(duì)代數(shù)式的基本變形，如配方、因式分解、換元、設(shè)參、拆項(xiàng)與逐步合并等方法作初步介紹.1配方在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，配方的目的就是為了發(fā)現(xiàn)題中的隱含條件，以便利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)來(lái)解題.例1 設(shè)a、b、c、d都是整數(shù)，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成兩個(gè)整數(shù)的平方和，其形式是_.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(

13、ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn的形式為(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.例2 設(shè)x、y、z為實(shí)數(shù)，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解  將條件化簡(jiǎn)成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0x=y=z,原式=1.前面已介紹過(guò)因式分解的各種典型方法,下面再舉幾個(gè)應(yīng)用方面的例子.例3如果a是x2-3x+1=0的根,試求的值.解  a為x2-3x+1=0的根, a

14、2-3a+1=0,且=1.原式說(shuō)明:這里只對(duì)所求式分子進(jìn)行因式分解,避免了解方程和復(fù)雜的計(jì)算.換元使復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔明了.例4 設(shè)a+b+c=3m,求證:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.證明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c則p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0p3+q3+r3-3pqr=0即  (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0例5 若,試比較A、B的大小.解 設(shè) 則.2xy 2x-y0, 又y0,可知  AB.

15、當(dāng)已知條件以連比的形式出現(xiàn)時(shí),可引進(jìn)一個(gè)比例系數(shù)來(lái)表示這個(gè)連比.例6 若求x+y+z的值.解 令則有   x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.例7 已知a、b、c為非負(fù)實(shí)數(shù)，且a2+b2+c2=1,求a+b+c的值.解  設(shè) a+b+c=k則a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.由條件知即    a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.a2+b2+c2=1,k=a3+b3+c3-3a

16、bc=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc=(a+b+c)(a+b)2+c2-(a+b)c-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,k(-ab-bc-ac)=0.若K=0, 就是a+b+c=0.若-ab-bc-ac=0,即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,(a+b+c)2=1,a+b+c=±1綜上知a+b+c=0或a+b+c=±15.“拆”、“并”和通分下面重點(diǎn)介紹分式的變形：（1） 分離分式  為了討論某些

17、用分式表示的數(shù)的性質(zhì)，有時(shí)要將一個(gè)分式表示為一個(gè)整式和一個(gè)分式的代數(shù)和.例8證明對(duì)于任意自然數(shù)n，分?jǐn)?shù)皆不可約.證明  如果一個(gè)假分?jǐn)?shù)可以通約，化為帶分?jǐn)?shù)后，它的真分?jǐn)?shù)部分也必定可以通約.而     顯然不可通約，故不可通約，從而也不可通約.（2） 表示成部分分式  將一個(gè)分式表示為部分分式就是將分式化為若干個(gè)真分式的代數(shù)和. (3)通分  通分是分式中最基本的變形,例9的變形就是以通分為基礎(chǔ)的,下面再看一個(gè)技巧性較強(qiáng)的例子.例9 已知求證:.證明   例10 已知x(x0，±1)和1兩個(gè)數(shù)，如

18、果只許用加法、減法和1作被除數(shù)的除法三種運(yùn)算（可用括號(hào)），經(jīng)過(guò)六步算出x2.那么計(jì)算的表達(dá)式是_.解   x2=x(x+1)-x或  x2=x(x-1)+x例11 設(shè)a、b、c、d都是正整數(shù)，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.解  由質(zhì)因數(shù)分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可設(shè)a=x4,c=y2,故19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)   解得  x=3.  y=10.      d-b=y3-x5=757強(qiáng)化練習(xí)1.選擇題（1）把相乘，

19、其乘積是一個(gè)多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式的次數(shù)是（  ）（A）2         （B）3          （C）6            （D）7       （E）8（2） 已知?jiǎng)t的值是（  ）.(A)1   

20、60;  (B)0     (C)-1     (D)3（3）假定x和y是正數(shù)并且成反比，若x增加了p%，則y減少了（  ）.（A）p%     (B)%        (C)%          (D)%   (E)%2.填空題（1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2

21、+ex+f，則a+b+c+d+e+f=_,  b+c+d+e=_.(2)若=_.(3)已知y1=2x,y2=,則y1y1986=_3.若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,試求x+z與y的關(guān)系.4.把寫(xiě)成兩個(gè)因式的積,使它們的和為，求這兩個(gè)式子.的值.6.已知x,y,z為互不相等的三個(gè)數(shù),求證7.已知a2+c2=2b2,求證8.設(shè)有多項(xiàng)式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求證:如果f(x)的系數(shù)滿足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一個(gè)二次三項(xiàng)式的平方.9.設(shè)(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd

22、+cda+dab+abc).求證:ac=bd.參考答案2.(1)-32,210    (2)    (3)23.略.4.5.    6.略,    7.略.8.p2-4q-4(m+1)=0,   4q=p2-4(m+1)=0,f(x)=4x4-4px3+p2-4(m+1)x2+2p·(m+1)x+(m+1)2=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x=2x2-px-(m+1)2.9.令a+b=p,c+d=q,由

23、條件化為pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),展開(kāi)整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,即(cp-bq)(dp-aq)=0.于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d).均可得出ac=bd.大、小正方體用大小相等的無(wú)色透明玻璃小正方體和紅色玻璃小正方體拼成一個(gè)大正方體（如圖1）。大正方體內(nèi)的對(duì)角線，所穿過(guò)的小正方體都是紅色玻璃小正方體，其他部分都是無(wú)色透明玻璃小正方體。小紅正方體共用了401個(gè)。問(wèn)：無(wú)色透明小正方體用了多少個(gè)？這是第七屆“華杯賽”的試題。，四條對(duì)角線都穿過(guò)在正中央的那個(gè)小正方體，除此而外，每?jī)蓷l對(duì)角線沒(méi)有穿

24、過(guò)相同的小正方體。所以每條對(duì)角線穿過(guò)個(gè)小正方體。這就表明大正方體的每條邊由101個(gè)小正方體組成。因此大正方體由個(gè)小正方體組成，其中無(wú)色透明的小正方體有=1030301-401=1029900個(gè)，即用了1029900個(gè)無(wú)色透明的小正方體。等腰三角形直角三角形【內(nèi)容綜述】等腰三角形和直角三角形是兩種非常特殊的三角形，本講中通過(guò)一系列有關(guān)等腰三角形或直角三角形的問(wèn)題的解決，既是復(fù)習(xí)有關(guān)三角形全等的知識(shí)，同時(shí)也是培養(yǎng)同學(xué)們分析、解決問(wèn)題的能力。同學(xué)們通過(guò)學(xué)習(xí)下面問(wèn)題的分析、解答過(guò)程，特別要注意體會(huì)如何根據(jù)題目的已知信息和圖形特征作出適當(dāng)?shù)妮o助線。這是學(xué)習(xí)本節(jié)的難點(diǎn)所在?！疽c(diǎn)講解】例1 如圖2-8-1

25、,中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=CE，DE交BC于G。求證：DG=EG。思路 因?yàn)镚DB和GEC不全等，所以考慮在GDB內(nèi)作出一個(gè)與GEC全等的三角形。證明：過(guò)D作DHAE，交BC于HAB=ACDB=DH又DB=CEDH=CE又DG=EG.說(shuō)明本題易明顯得出DG和EG所在的DBG和ECG不全等，故要構(gòu)造三角形的全等，本題的另一種證法是過(guò)E作EFBD，交BC的延長(zhǎng)線于F，證明DBGEFG，讀者不妨試一試。例2 如圖2-8-2，D為等邊ABC的內(nèi)部一點(diǎn)，DB=DA，BE=AB，DBE=DBC，求BED的度數(shù)。思路 從已知中知等邊ABC的每個(gè)內(nèi)角為60°。所

26、以要想辦法把BED和60°這一信息產(chǎn)生聯(lián)系。解：連結(jié)DC由ABC是等邊三角形且BE=AB可得BE=BC又DBE=DBC,BD=BDDBEDBC,BED=BCDDB=DA，DC=DC，CB=CA，CBDCADBCD=ACD=BCA=×60°=30°BED=30°說(shuō)明證明兩角相等的重要思路之一就是證明這兩角所在的兩個(gè)三角形能全等。例3 如圖2-8-3，在ABC中，AB=AC，A=100°,作B的平分線與AC邊交于E，求證：BC=AE+BE。思路 要想辦法把AE+BE替換成一條線段a，然后只需證明BC=a。證明 延長(zhǎng)BE到F，使EF=AE，

27、連結(jié)FC，作BEC的平分線交BC于G，由AB=AC，BAC=100°，可知ABE=CBE=20°因而AEB=GEB=60°于是AEBGEB則有 EG=EA=EF又由GEC=FEC=60°所以GECFEC所以EFC=EGC=180°100°=80°從而B(niǎo)CF=80°故 BC=BF=AE+BE例4 如圖2-8-4, P為等邊ABC內(nèi)任一點(diǎn)，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F。求證：PD+PE+PF是定值。思路 考慮把PD+PE+PF用等邊ABC的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、高、面積等不變量表示出來(lái)。證明連結(jié)PA、PB、PC，過(guò)A

28、作AHBC于H。，又AB=BC=CA，PD+PE+PF=AH因?yàn)榈冗吶切蔚拇笮∫呀o定，則它的高也隨之確定。PD+PE+PF是定值。說(shuō)明 題中的PD、PE、PF這三段都是點(diǎn)到線段的距離，故聯(lián)想到了三角形的面積，利用各個(gè)部分的面積之和等于整體的面積建立了等式關(guān)系。例5 如圖2-8-5，在ABC中，BFAC，CGAB，垂足分別是F、G，D是BC的中點(diǎn)，DEFG，垂足是E。求證：GE=EF。思路 利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，只需證明DG=DF。證明連結(jié)DG、DF。DG是RtBCG的斜邊BC上的中線。，同理可證DG=DF又DEFG，GE=EF說(shuō)明 若題目中作了三角形的高，就應(yīng)注意所形成的直角三角形這

29、一圖形，如本題圖中的RtBGC和RtCFB。例6 已知一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是自然數(shù)，且周長(zhǎng)和面積的量數(shù)相等，求這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)。思路 列出三邊長(zhǎng)滿足的關(guān)系式，然后通過(guò)分析、討論得出三邊的長(zhǎng)度。解設(shè)三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其中c為斜邊，則由得,代入得，即ab0,ab4a4b8=0(a、b為自然數(shù))a4=1，2，4，8a=5，6，8，12； b=12，8，6，5； c=13，10，10，13三邊長(zhǎng)分別為6、8、10或5、12、13。說(shuō)明本題是用代數(shù)方法解幾何題，這種方法今后還大有用處，請(qǐng)讀者注意它。例7 如圖2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQAD于Q

30、。求證：BP=2PQ。思路 在RtBPQ中，本題的結(jié)論等價(jià)于證明PBQ=30°證明AB=CA，BAE=ACD=60°，AE=CD，BAEACDABE=CADBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60°又BQADPBQ=30°BP=2PQ說(shuō)明 本題把證明線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明角的度數(shù)，這種轉(zhuǎn)換問(wèn)題的方法值得讀者細(xì)心體會(huì)。強(qiáng)化練習(xí)A 級(jí)1在ABC中，ACB=90°，D、E為AB上的二點(diǎn)，且AE=AC，BD=BC，如圖2-8-7，則DCE的度數(shù)是_。2ABC中，AB=AC，D在BC上，BAD=30°，在AC上取AE=AD，則EDC的度數(shù)

31、是_。3已知直角三角形的周長(zhǎng)為，斜邊上的中線長(zhǎng)為1，則這個(gè)直角三角形的面積是_。4如圖2-8-8 P是等邊ABC外的一點(diǎn)，APB=APC=60°，求證：PA=PB+PC。5等腰三角形的各邊均為正整數(shù)，周長(zhǎng)為15，則滿足條件的三角形有_。6三角形三邊的長(zhǎng)滿足，則這個(gè)三角形的形狀是_。7在等腰直角ABC中，P為斜邊上的一點(diǎn)，四邊形EPFC是矩形，D 為AB的中點(diǎn)，如圖2-8-9，則DE和DF的大小關(guān)系是_。8如圖2-8-10，AC=BC，C=20°，又M在AC邊上，N在BC邊上且滿足BAN=50°，ABM=60°，求NMB的度數(shù)。參考答案145°提

32、示：由AE=AC得AEC=90°，同理由BD=BC得BDC=90°，又因?yàn)锳+B=90°，所以得AEC+BDC=135°，所以DCE=45°。215°提示：由題設(shè)條件設(shè)AED=ADE=X°，所以EDC=XC。又因?yàn)?C+30°+（180°2X）=180°，由此可得XC=15°，所以EDC=15°。3提示：設(shè)它的三邊長(zhǎng)為a，b，c，由題設(shè)條件得c=2，所以由得ab=1，則4.提示：在PA上截取PD=PB，連結(jié)BD，可證出BP=BD，AB=BC，所以得，則AD=PC，所以BP+P

33、C=PD+DA=PA。5答案：4個(gè)提示：由題意設(shè)三邊為x，x，y，則有解得，x=4，5，6，7。當(dāng)x=4時(shí)，y=7；當(dāng)x=5，y=5；當(dāng)x=6，y=3，當(dāng)x=7，y=1；故符合條件的三角形共有4個(gè)。6等腰三角形。提示：a=b或b=c7DE=DF提示：連結(jié)CD，則由題設(shè)條件得，F(xiàn)CD=EAD=45°，CF=EP=EA，所以FCDEAD，故DE=DF。830°簡(jiǎn)解：易證AB=BN，AMB=40°，如圖2-8-11，作等腰BAD，使BD=BA=BN，又ABD=180°2CAB=20°，DBN=80°20°=60°，BDN

34、是等邊三角形，BD=DN，又在BDM中，DBM=DMB=40°，故DMB為等腰三角形，由MDN=180°ADBBDN=40°知，DN=DM=DBNMB=NMABMA=70°40°=30°。多邊形【內(nèi)容綜述】在同一平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。如果延長(zhǎng)多邊形的任一條邊，整個(gè)多邊形都在這條延長(zhǎng)邊的一側(cè)，那么這樣的多邊形就叫做凸多邊形。下面所說(shuō)的多邊形均指凸多邊形。它的重要性質(zhì)是：幾邊形的內(nèi)角和是，由于這個(gè)結(jié)論與邊數(shù)有關(guān)，所以這不是對(duì)多邊形的最本質(zhì)的刻劃。更加本質(zhì)的是它的推論：任意多邊形的外角和等于?！疽c(diǎn)講解】多邊形

35、中通過(guò)連結(jié)對(duì)角線中把多邊形就分割為若干個(gè)三角形，這就把研究多邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究三角形的問(wèn)題，這是一種重要的研究思路，請(qǐng)讀者在下面的解題過(guò)程中認(rèn)真體會(huì)這種思路。例1 已知多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。思路設(shè)多邊數(shù)的邊數(shù)為n，然后通過(guò)已知條件列出n的方程，再求出n值。解設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得解之得 n=8答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為8說(shuō)明本題通過(guò)設(shè)邊數(shù)為n，然后依題意列出n的方程，再求出n值。這是運(yùn)用方程的思想解幾何題。這種思想方法今后還會(huì)經(jīng)常用到。例2 一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。思路1 利用多邊形的內(nèi)角和定理。解法1 設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)

36、題意得解之得n=10思路2 利用多邊形的外角和定理。解法2 因?yàn)檫@個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于，所以每個(gè)外角都等于，而多邊形的外角和是，所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 .說(shuō)明 當(dāng)你們學(xué)習(xí)了解法1和解法2后，你們心里產(chǎn)生了怎樣的想法呢？顯然，解法1比較傳統(tǒng)，解法2則標(biāo)新立異，這就啟發(fā)我們解題時(shí)選擇恰當(dāng)?shù)某霭l(fā)點(diǎn)是多么重要。例3 一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角之外的所有內(nèi)角和等于，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。思路利用多邊形的內(nèi)角和定理。解設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為X，根據(jù)題意有 . 又解之得又 由n是正整數(shù)得n=14 說(shuō)明在解題中要重視對(duì)題目隱含條件的發(fā)掘和利用。如本題中的x取值范圍是。n是正整數(shù)

37、等。例4 求證：n邊形的內(nèi)角中，最多有3個(gè)銳角。思路1 用反證法.證法1 假設(shè)n邊形至少有4個(gè)銳角，取出4個(gè)銳角之后剩下的角記為，則有，得那么，中至少有一個(gè)大于，而這與，中的每一個(gè)都小于180矛盾。所以，n邊形的內(nèi)角中，最多有3個(gè)銳角。思路2 轉(zhuǎn)化為證明它的等價(jià)命題：n邊形的外角中，最多有3個(gè)鈍角。證法2 因?yàn)閚邊形的外角和是，所以這n個(gè)外角中最多有3個(gè)鈍角。（若有4個(gè)或4個(gè)以上角是鈍角，則外角和就大于，這與n邊形的外角和定理矛盾）。這3個(gè)是鈍角的外角的對(duì)應(yīng)內(nèi)角就是銳角。所以，n邊形的內(nèi)角中，最多有3個(gè)銳角。說(shuō)明當(dāng)要證明的是有關(guān)：“最多”、“至少”等問(wèn)題時(shí)，常常用反證法證明。通過(guò)證法1、2的比

38、較后，我們就應(yīng)認(rèn)清“多邊形的外角和定理”是對(duì)多邊形的本質(zhì)刻劃。例5 如圖2-9-1，求的度數(shù)。思路 要想方設(shè)法把這些要求的角集中在一個(gè)或幾個(gè)多邊形中。解 連結(jié)AF AD和CF交于O又在四邊形ABEF中，有即例6 如圖2-9-2，試求的度數(shù)。思路連結(jié)CH，利用五邊形CDEFH求所求角的度數(shù)。 解 連結(jié)HC.在五邊形CDEFH 中，有說(shuō)明 這類題解決的關(guān)鍵在于通過(guò)連結(jié)輔助線，巧妙的把所求的角放入若干個(gè)多邊形中，借助于多邊形的內(nèi)角和來(lái)解決問(wèn)題。例7如圖2-9-3，并且試求k的值。思路 利用題設(shè)條件求出的具體值，然后求出K的值。解例8 己知一個(gè)凸十一邊形由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形無(wú)

39、重疊，無(wú)間隙拼成，求該凸十一邊形的各內(nèi)角的大小。思路設(shè)凸十一邊形的內(nèi)角中有的個(gè)數(shù)分別為x, y, z, s. 列出它們滿足的關(guān)系式，并求出x, y, z, s的值。解設(shè)此凸十一邊形的各個(gè)內(nèi)角中有 x個(gè) y個(gè) z個(gè) s個(gè)由題意有由得代入化簡(jiǎn)得因?yàn)榫鶠榉秦?fù)整數(shù)，所以故=10.則這個(gè)凸十一邊形有一個(gè)角是，有十個(gè)內(nèi)角都是。強(qiáng)化訓(xùn)練A級(jí)填空題1. 一個(gè)n邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，則n=_. 2. 一個(gè)凸n邊形的外角中，最多有一個(gè)鈍角。 3. 已知凸n邊形的n個(gè)內(nèi)角與某一個(gè)外角之和為，則n=_.4. 如圖2-9-4，求A+B+C+D+E的度數(shù)。B級(jí)5. 一個(gè)六邊形的六個(gè)內(nèi)角都是,連續(xù)四邊的長(zhǎng)度依次是1,

40、3,3,2, 則這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)是_.6. 一個(gè)多邊形有三個(gè)內(nèi)角為鈍角,這樣的多邊形邊數(shù)的最大值是_。7. 在同一平面上畫(huà)兩個(gè)邊數(shù)各為的凸多邊形。如果沒(méi)有任何線段重合，則的交點(diǎn)數(shù)的最大值是_。8. 在n邊形內(nèi)有m個(gè)點(diǎn)，以這n+m個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)組成k個(gè)互不重疊的三角形，求k的值。參考答案:填空題1. 4。提示：.2. 3。提示：因?yàn)閚邊形的外角和為，所以鈍角最多有3個(gè)。（若有4個(gè)成4個(gè)以上外角為鈍角，則外角和將大于，這與外角和定理矛盾）。3 9。提示：設(shè)這個(gè)外角為，則。 又，。解之得。又由n是整數(shù)得n=9。4。如圖2-9-5， ，。5 15。 提示：如圖2-9-6，延長(zhǎng)BC、DE、AF交于G、H、M

41、，由六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是，得CHD、FEM、GBA、GHM都是等邊三角形GB=GA=AB=1， CH=DH=CD=3， GH=1+3+3=7。進(jìn)而可求得EF=2，AF=4，周長(zhǎng)為1+3+3+2+2+4=15。6 6。提示：由已知知這三個(gè)是鈍角的內(nèi)角的相鄰?fù)饨鞘卿J角，又因?yàn)橥饨呛蜑?，所以，外角中余下的鈍角個(gè)數(shù)最多為3個(gè)，所以，多邊形邊數(shù)的最大值是6。7 2n。提示：首先，任一直線與凸多邊形的邊最多有兩個(gè)交點(diǎn)，否則至少有個(gè)交點(diǎn)，必存在一個(gè)交點(diǎn)，其兩旁均有交點(diǎn)，延長(zhǎng)這一點(diǎn)所在的邊，則多邊形被這條延長(zhǎng)直線分成兩部分，與凸多邊形矛盾。其次，當(dāng)?shù)拿恳粭l邊都有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)數(shù)最多。故交點(diǎn)數(shù)的最大值是2n。

42、 k=2m+n-2。簡(jiǎn)解：用兩種方法來(lái)計(jì)算k個(gè)三角形的內(nèi)角和。一方面，, 另一方面按“點(diǎn)”來(lái)計(jì)算有 n邊形內(nèi)的m個(gè)點(diǎn)，每點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)周角，共。 n邊形的n個(gè)內(nèi)角和為。得。競(jìng)賽訓(xùn)練題一、選擇題1如果一個(gè)直角三角形的兩條直角邊為x和y，并且xy，z是斜邊，則下面的關(guān)系式中一定成立的是（ ）。（A）x2（z-y）（B）x=2（z-y）（C）x2（z-y）（D）不能確定2如圖1所示為一個(gè)長(zhǎng)方體砍去兩個(gè)角后的立體圖形，如果照這樣砍去長(zhǎng)方體的八個(gè)角，則新的立體的棱有（ ）。（A）24條（B）30條（C）36條（D）42條3用數(shù)碼2、4、5、7可以組成四位數(shù)，在每個(gè)四位數(shù)中，每個(gè)數(shù)碼只出現(xiàn)一次，一共有24個(gè)四

43、位數(shù)，將這些四位數(shù)從小到大排列，則排在第17位的四位數(shù)是（ ）。（A）4527（B）5724（C）5742（D）72454在的正整數(shù)解（x，y）中，x+y的最大值是（ ）。（A）1189（B）1517（C）1657（D）17495正整數(shù)n小于100，并且滿足，其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，這樣的正整數(shù)n有（ ）。（A）2個(gè)（B）3個(gè)（C）12個(gè)（D）16個(gè)二、填空題6如果*表示一種運(yùn)算，它是由下面的式子來(lái)定義的，則（1*2）*3=_。7為了給一本書(shū)的各頁(yè)標(biāo)上頁(yè)碼，排版人員一共打擊了3289個(gè)數(shù)碼，則這本書(shū)的頁(yè)數(shù)是_頁(yè)。8y=|x+1|+|x-2|+|x+3|，則y的最小值是_。9已知，x表示y

44、的小數(shù)部分，則的值為_(kāi)。10設(shè)，且，設(shè)，則S的最大值是_。三、解答題11求出所有的三位正整數(shù)使得。12矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N（如圖2），使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值。13如圖3，ABCD是正方形，點(diǎn)P是正方形的中心，以正方形的一邊AD為斜邊，向外作直角三角形AED，連結(jié)PE，證明：PE平分DEA。參考答案1xyz，z+y2x。又，而（z+y）（z-y）2x（z-y），x2（z-y）。應(yīng)選A。2原長(zhǎng)方體有12條棱，每砍去一個(gè)角增加3條棱，所以新的立體一共有36條棱（12+8×3），3從第1到第6個(gè)數(shù)，開(kāi)頭的數(shù)碼是2，從第7到第12個(gè)

45、數(shù)，開(kāi)頭的數(shù)碼是4，從第13到第18個(gè)數(shù)的開(kāi)頭的數(shù)碼是5。5開(kāi)頭的四位數(shù)按大小排列應(yīng)為5247，5427，5472，5724，5742。故應(yīng)選B。4，且x、y為正整數(shù)，m、n為正整數(shù)。則。m+n=7。當(dāng)時(shí)，x+y=1517，當(dāng)時(shí)，x+y=1189。當(dāng)時(shí)，x+y=1025，x+y的最大值為1517。故應(yīng)選B。5由于，若x不是整數(shù)，則xx，所以要使，都成立，必須有n是2、3、6的倍數(shù)，即n是6的倍數(shù)。這里1n100，所以n可取其中的個(gè)數(shù)。故應(yīng)選D。6，。7從19頁(yè)用了9個(gè)數(shù)碼，1099頁(yè)用了2×90=180個(gè)數(shù)碼。100999用了2700個(gè)數(shù)碼，而排版人員點(diǎn)擊了3289個(gè)數(shù)碼，從而知有4

46、00個(gè)數(shù)碼用于標(biāo)四位數(shù)的頁(yè)碼。只能從1000標(biāo)到1099頁(yè)，所以這本書(shū)的頁(yè)碼為1099頁(yè)。8如圖4，-1，2，3在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C由絕對(duì)值的意義知即要在數(shù)軸上找一點(diǎn)，使得這一點(diǎn)與A、B、C三點(diǎn)的距離之和最小，顯然這一點(diǎn)就是B點(diǎn)。當(dāng)x=2時(shí)，。9，則，于是。10設(shè)，則A+B=S，將代入上式，得，易知S0，S的最大值為。11因?yàn)?倍的三位數(shù)大于1000而小于2000，所以一定是大于500而小于1000，因此A為5、6、7、8或9，整數(shù)A又必須是偶數(shù)，所以A是6或8。如果A是6，這樣我們需要找出B和C使得，這等價(jià)于，化簡(jiǎn)后即為，而194不是8的倍數(shù)，所以A不能是6。如果A=8，我們就有

47、，這就等價(jià)于，即，因此，等于74，所以B=7，C=4，所以所求的三位數(shù)是874。12如圖5，作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B，連結(jié)AB，則N關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N在AB上，過(guò)B作AB的垂線，垂足為H，則BM+MN=BM+MNBH，即BM+MN的最小值為BH。設(shè)AB交CD于點(diǎn)P，連結(jié)BP，則ABP的面積等于，由ABCD及由對(duì)稱性知PAC=PCA，AP=PC，設(shè)AP=PC=x，則DP=20-x，根據(jù)勾股定理，得，解得x=。又，。故BM+MN的最小值是16。13如圖6，過(guò)C作ED延長(zhǎng)線的垂線，交于F，過(guò)B作EA延長(zhǎng)線的垂線，交于H。HB的延長(zhǎng)線和FC的延長(zhǎng)線交于G。易證RtCFDRtDEARtAHBRtBGC，四

48、邊形EHGF也是正方形，P也是正方形EHGF的中心。PE平分DEA。分式經(jīng)驗(yàn)談：分式常常因?yàn)槠鋸?fù)雜的結(jié)構(gòu)使人望而生畏，成為考試中的難點(diǎn)。靈活的運(yùn)用相關(guān)的方法是解決這類問(wèn)題的唯一途徑-加之以靈巧的"拔"，通過(guò)分析來(lái)例證，則可以使分式悄然變成考試中的亮點(diǎn)?！緝?nèi)容綜述】一般地，有A，B表示兩個(gè)整式，則式子就叫做分式，注意B有兩點(diǎn)要求：B中含有字母，B0。要解決有關(guān)分式的問(wèn)題，就必須準(zhǔn)確掌握分式的概念，分式的基本性質(zhì)、分式的四則運(yùn)算等知識(shí)，本講主要講述分式的變形和求值的技巧?！疽c(diǎn)講解】例1 已知a,b為整數(shù)，且滿足（）（）。求a+b 的值。思路 先把已知等式的左邊化簡(jiǎn)，然后考慮求

49、出、b的值。解 左邊= = = =4而a,b為整數(shù)且不相等，故3b-2,3a-2只可能取值1，4或-1，-4.不妨設(shè)b<a, 則 或容易得出無(wú)整數(shù)解，的解為b=1,a=2.例2 已知a,b,c為非零實(shí)靈敏，且求。思路應(yīng)設(shè)法由已知關(guān)系式找出a、b、c之間的關(guān)系，然后再求值。解設(shè)三式相加得說(shuō)明當(dāng)已知條件以連比的形式出現(xiàn)時(shí)，可引進(jìn)一個(gè)參數(shù)來(lái)表示這個(gè)連比，從而將條件分式轉(zhuǎn)化為整式。例3 將分式化為部分分式。思路由于故可利用待定系數(shù)法，為使兩個(gè)部分分式之和的分式的分子為, 則其中每個(gè)部分分式的分子應(yīng)為常數(shù)。解因?yàn)?，于是可設(shè)得即比較系數(shù)，得解得 A=1，B=2，所以原式說(shuō)明將一個(gè)真分式表示成若干個(gè)真

50、分式的代數(shù)和的恒等變形叫做將分式化為部分分式，待定系數(shù)法是化部分分式的常用方法。這種變形在有關(guān)分式計(jì)算等方面運(yùn)用較多。例4 化簡(jiǎn)+.思路先研究通項(xiàng)的分解變形情況.解設(shè)(k=1,2,1999).則即比較系數(shù),得解得 A=1,B=-1,所以原式=變形化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)請(qǐng)同學(xué)們依照例題自己完成上面這兩道小題.例5 已知 ,求.解 . . .說(shuō)明：由的數(shù)值求出的方法在運(yùn)算中經(jīng)常用到，希望同學(xué)們能熟練地掌握它們之間的關(guān)系。例求證無(wú)論為什么整數(shù)，分式均不可約。思路：可先證明公式證明因?yàn)闊o(wú)論為什么整數(shù)，有，所以不可約。是不可約的。是不可約的。說(shuō)明對(duì)于某些非零代數(shù)式來(lái)說(shuō)，如果從取倒數(shù)的角度來(lái)分析，有可能揭示出一些內(nèi)在的特征，從而找到解題的突破口。例求能使能被n+10整除的正整數(shù)n的最大值。解=又從上式可看出要能被n+10整除，則只需n+10整除900，這時(shí)n的最大值是 890。能使能被n+10整除的正整數(shù)n的最大值是890。說(shuō)明解決整除性問(wèn)題的一個(gè)常用方法是把整式部分分離出來(lái)，從而只須考慮后面的分式部分的整除性，這樣有利于簡(jiǎn)化問(wèn)題。強(qiáng)化練習(xí)級(jí)計(jì)算