2實數(shù)培優(yōu)專項訓練

1、（一） 基礎知識過關(guān)【無理數(shù)】1.定義：無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)叫做無理數(shù)；注：它必須滿足“無限”以及“不循環(huán)”這兩個條件。2.常見無理數(shù)的幾種類型：（1）特殊意義的數(shù)，如：圓周率以及含有的一些數(shù)，如：2-，3等；（2）特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)（看似循環(huán)而實則不循環(huán)）：如：2.010 010 001 000 01（兩個1之間依次多1個0）等。（3）無理數(shù)與有理數(shù)的和差結(jié)果都是無理數(shù)。如：2-是無理數(shù)（4）無理數(shù)乘或除以一個不 為0的有理數(shù)結(jié)果是無理數(shù)。如2，（5）開方開不盡的數(shù)，如:等；應當要注意的是：帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如：等；無理數(shù)也不一定帶根號，如：）3.有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別：（1）有理數(shù)指的是有

2、限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù)；（2）所有的有理數(shù)都能寫成分數(shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分數(shù)），而無理數(shù)則不能寫成分數(shù)形式。例：（1）下列各數(shù)：3.141、（相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐次增加2）、其中是有理數(shù)的有；是無理數(shù)的有。（填序號）,-,其中無理數(shù)有 ( )個【算術(shù)平方根】：1. 定義：如果一個正數(shù)x的平方等于a，即，那么，這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為：“”，讀作，“根號a”，其中，a稱為被開方數(shù)。例如32=9，那么9的算術(shù)平方根是3，即。特別規(guī)地，0的算術(shù)平方根是0，即，負數(shù)沒有算術(shù)平方根2.算術(shù)平方根具有雙重非負性：（1）若 有意義，則被開方數(shù)a是非負數(shù)

3、（易忽略的考點）（2）算術(shù)平方根本身是非負數(shù)。3.算術(shù)平方根與平方根的關(guān)系：算術(shù)平方根是平方根中正的一個值，它與它的相反數(shù)共同構(gòu)成了平方根。因此，算術(shù)平方根只有一個值，并且是非負數(shù)，它只表示為：；而平方根具有兩個互為相反數(shù)的值，表示為：（認真理解這段話，嚴格區(qū)別這兩個概念，否則會經(jīng)常出錯）例：（1）下列說法正確的是 （ ）A1的立方根是； B；（C）、的平方根是；（ D）、0沒有平方根； （2）下列各式正確的是（）A、 B、 C、 D、（3）的算術(shù)平方根是。（4）若有意義，則_。（5）已知ABC的三邊分別是且滿足，求c的取值范圍。（6）（提高題）如果x、y分別是4的整數(shù)部分和小數(shù)部分。求x y

4、的值.平方根：1.定義：如果一個數(shù)x的平方等于a，即，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根；，我們稱x是a的平方（也叫二次方根），記做：2.性質(zhì)：（1）一個正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù)；（2）0只有一個平方根，它是0本身； （3）負數(shù)沒有平方根例（1）若的平方根是±2，則x=；的平方根是（2）當x時，有意義。（3）一個正數(shù)的平方根分別是m和m-4，則m的值是多少？這個正數(shù)是多少？3.（這兩個公式是難點，也是易忽略點）（1）（2）中，a可以取任意實數(shù)。如，（1） （2） （3），那么a的取值范圍是。3.已知2x3,化簡。【立方根】1.定義：一般地，如果以個數(shù)x的立方等于a，即x3=a,那

5、么這個數(shù)x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）記為，讀作，3次根號a。如23=8，則2是8的立方根，0的立方根是0。2.性質(zhì)：正數(shù)的立方根的正數(shù)；0的立方根是0；負數(shù)的立方根是負數(shù)。（同號性、唯一性）立方根是它本身的數(shù)有0,1，-1.3.根據(jù)立方根的同號性和唯一性，容易證明：，例：（1）64的立方根是           （2）若，則b等于           （3）下列說法中：

6、都是27的立方根，的立方根是2，。其中正確的有（ ）A、1個 B、2個 C、3個 D、4個【估算】 1.用估算法確定無理數(shù)的大小：對于帶根號的無理數(shù)的近似值得確定，可以通過平方運算或立方運算并采用“夾逼法”，即兩邊無限逼近，逐級夾逼來完成。首先確定其整數(shù)部分的范圍，再確定十分位，百分位等小數(shù)部分。注意，估算得到的數(shù)是無理數(shù)一定精確度的近似值！2.“精確到”與“誤差小于”的區(qū)別：精確到1m，是指四舍五入到個位，答案唯一；誤差小于1m，答案在其值左右1m內(nèi)都符合題意，答案不唯一。通?？疾炀_到十分位或整數(shù)位的情況。3.無理數(shù)的小數(shù)部分：先估算出整數(shù)部分，再用該數(shù)減去它的整數(shù)部分，得到的差就是小數(shù)部

7、分。注意，這樣的得到的小數(shù)部分是非常精確的，不是估算值。如。4.熟記20以內(nèi)的數(shù)的平方和10以內(nèi)的數(shù)的立方，有利于快速進行開方計算，對估算也有幫助。例：估算下列各數(shù)的大?。?） （2） （3）用估算的方法比較數(shù)的大小用估算法比較兩個數(shù)的大小，一般至少有一個是無理數(shù)，且在比較大小時，一般先采用分析法，估算出無理數(shù)的大致范圍，再作具體比較當比較兩個帶根號的無理數(shù)的大小時可用如下結(jié)論： （1）若ab0,則（2）若ab，則（3）若a、b都為正數(shù)，且ab時，則a2b2例：通過估算比較下列各組數(shù)的大小比較兩個數(shù)的大?。?方法一：估算法。如34 方法二：作差法：若a-b0則ab方法三：乘方法（對于二次根式來

8、說就是平方法）如比較的大小。例：比較下列兩數(shù)的大小（1） （2）【實數(shù)】定義：（1）有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。在實數(shù)中，沒有最大的實數(shù)，也沒有最小的實數(shù)；絕對值最小的實數(shù)是0，最大的負整數(shù)是-1。（2）實數(shù)也可以分為正實數(shù)、0負實數(shù)。實數(shù)的性質(zhì)：實數(shù)a的相反數(shù)是-a；實數(shù)a的倒數(shù)是（a0）；實數(shù)a的絕對值|a|=，它的幾何意義是：在數(shù)軸上的點到原點的距離。實數(shù)的大小比較法則：實數(shù)的大小比較的法則跟有理數(shù)的大小比較法則相同：即正數(shù)大于0，0大于負數(shù)；正數(shù)大于負數(shù)；兩個正數(shù)，絕對值大的就大，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。（在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)）。對于一些帶根號的無理數(shù)，我們可以通過比較

9、它們的平方或者立方的大小。實數(shù)的運算：在實數(shù)范圍內(nèi)，可以進行加、減、乘、除、乘方、開方六種運算。運算法則和運算順序與有理數(shù)的一實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：每個實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的（1）每個實數(shù)可以以用數(shù)軸上的一個點來表示。（2）數(shù)軸上的每個點都表示已個實數(shù)。例：（1）下列說法正確的是（ ）；A、任何有理數(shù)均可用分數(shù)形式表示 ； B、數(shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應 ；C、1和2之間的無理數(shù)只有 ； D、不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)。（2）a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式有意義的是( )b0aA、 B、 C、 D、（3）比較大小(填“>”或“<”).3， ， ， ，（4）數(shù) 的大小關(guān)系是

10、( ) A. B. C. D. （5）將下列各數(shù)：，用“”連接起來；_（6）若，且，則：=【二次根式】定義：形如的式子叫做二次根式，a叫做被開方數(shù)注意：（1）從形式上看二次根式必須有二次根號“”，如是二次根式，而=3,3顯然就不是二次根式。（2）被開方數(shù)a可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式。若a是數(shù)，則這個數(shù)必須是非負數(shù)；若a是代數(shù)式，則這個代數(shù)式的取值必須是非負數(shù)，否則沒有意義。例：下列根式是否為二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性質(zhì)： 性質(zhì)1：積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積性質(zhì)2： 商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根除以除數(shù)的算術(shù)平方根。最簡二次根式：被開方數(shù)中不含分

11、母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式。二次根式化簡的主要依據(jù)就是上述兩條性質(zhì)。分母有理化：最簡二次根式還要求分母不含根式，那么就要使用以下兩個公式進行分母有理化：二次根式的乘除：上述兩條性質(zhì)逆用，就是二次根式的乘除運算。所以，學好二次根式的關(guān)鍵就是熟練運用上述兩個公式。不僅要正用公式，還要會逆用公式，總之要活學活用。二次根式的加減：先將二次根式化簡為最簡二次根式，然后將同類二次根式合并。注意非同類二次根式，不能進行加減運算，應作為最后的結(jié)果保留下來。二次根式的混合運算：注意利用加法、乘法的運算律，以及平方差公式、完全平方公式等各種公式與運算技巧進行簡便計算。例：1

12、.化簡：（1）（2） （3）2.計算：3.已知：，求代數(shù)式的值?；A訓練1判斷題：（1）如果a為實數(shù)，那么a一定是負數(shù)（）（2）有理數(shù)按定義分為整數(shù)和分數(shù)，按正負性分為正有理數(shù)、負有理數(shù)、零。但從小數(shù)的角度來看，有理數(shù)分為有限小數(shù)和無無限循環(huán)小數(shù)。所以整數(shù)是有限小數(shù)，分數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)（）（3）兩個無理數(shù)之和或者乘積都不一定是無理數(shù)（）（4）-3是9的平方根（ ）（5）9的平方根是3 （）（6）無理數(shù)是無限小數(shù)（）（7）如果a<0<b那么|b|-|a|=b-a（）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，則ab=1（）2.在實數(shù)中,0, ,314, 無理數(shù)有個3.算術(shù)平方根、

13、平方根、立方根依次是4已知1<x<2，則|x3|+=5已知y=+5，則的值是6若+有意義，則=_7根式的計算：（1）（2）（3）（4）=（5）=8.（1）已知： ，則=（2）已知： ，則=9當a為實數(shù)時，=a在數(shù)軸上對應的點在（）A、原點右側(cè) B、原點左側(cè) C、原點或原點的右側(cè) D、原點或原點左側(cè)10.數(shù)軸上作出表示，的點。11若3，5為三角形三邊，化簡：12已知等腰三角形一邊長為，一邊長，且（2）2920。求它的面積。（二）難點突破專項突破一：算術(shù)平方根的雙重非負性1（1）內(nèi)非負性：對于來說，被開方數(shù)a必須是非負數(shù)，即，否則沒有意義（負數(shù)沒有算術(shù)方根），被開方數(shù)是非負數(shù)，這個性質(zhì)

14、常?？疾於胃接幸饬x的問題：（2）外非負性：對于來說，根據(jù)算術(shù)平方根定義可知，其本身也是非負數(shù)，即 ，算術(shù)平方根是非負數(shù)，這個性質(zhì)常常考察多個非負數(shù)的和為零的問題：大多數(shù)同學總是區(qū)別不了雙重非負性，導致解題步驟上失分嚴重，我們可以用以下習題進行區(qū)別：一）被開方數(shù)的非負性專項訓練：對于來說，被開方數(shù)a必須是非負數(shù)，即例1 當時，有意義，當時，有意義例2 式子 中x的取值范圍是例3例4例5 若都是實數(shù)且，求的值例6 若，求的值；例7已知，求的立方根的相反數(shù)；二）算術(shù)平方根本身的非負性專項訓練：對于來說，其本身也是非負數(shù)，即例1 已知x,y為實數(shù),且+3(y-2)2 =0,求x-y的值例2例3已知，那么的值為；例4與互為相反數(shù)，試求的值；例5已知，求的立方根；例6 已知都是實數(shù)，且滿足，且；的值； 求代數(shù)式的值； 以為邊的三角形的形狀是；例7若，求的平方根； 求的值。專項突破二：二次根式的混合運算（1）； （2）； （3）（4）； （5）； （6）（7）； （8）； （9）（10）；（11）；（12）專項突破三：去絕對值1已知1<x<2，則|x3|+ =23.已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡4.6.（1）若，則k的取值范圍是（2）若，則k的取值范圍是專項突破四：對算術(shù)平方