復(fù)數(shù)A級(jí)理科學(xué)生版

1、復(fù)數(shù)高考要求內(nèi)容要求層次重難點(diǎn)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入復(fù)數(shù)的基本概念B了解數(shù)系的擴(kuò)充的基本過程與復(fù)數(shù)的概念；掌握復(fù)數(shù)的幾何意義與復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及幾何意義A復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算C復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減法的幾何意義A知識(shí)框架知識(shí)內(nèi)容一、 復(fù)數(shù)的概念1. 虛數(shù)單位:（1）滿足; （2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算法則仍然成立（3）與的關(guān)系:就是的一個(gè)平方根，即方程的一個(gè)根，方程的另一個(gè)根是（4）i的周期性：, , , 于是就有2. 數(shù)系的擴(kuò)充：復(fù)數(shù)3. 復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部，稱為復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表

2、示復(fù)數(shù)通常用字母表示，即，把復(fù)數(shù)表示成的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式4. 復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí)，叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，就是實(shí)數(shù)5. 復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：6. 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等這就是說，如果，那么且特殊地，當(dāng)7. 復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）8. 共軛復(fù)數(shù)：若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的共軛用表示虛部不等于的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):設(shè)，則（1）； （2）； (3)二、 復(fù)數(shù)的幾何

3、意義1. 復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：復(fù)數(shù)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為，它所確定的復(fù)數(shù)是表示是實(shí)數(shù)除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)2. 復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或向量是向量的幾何表示復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的一一對(duì)應(yīng)中，向量應(yīng)特別注意它是以原點(diǎn)為起點(diǎn)的，否則就談不上一一對(duì)應(yīng)，因?yàn)閺?fù)平面上與相等的向量有無數(shù)多個(gè)三、 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1復(fù)數(shù)與的和的定義：2復(fù)數(shù)與的差的定義：3復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律:

4、4復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:5乘法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)，(、)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把換成，并且把實(shí)部與虛部分別合并兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)6乘法運(yùn)算律：（1）（2）（3）7復(fù)數(shù)除法定義：滿足的復(fù)數(shù)(、)叫復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商，記為：或者8除法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)復(fù)數(shù) (、)，除以 (，)，其商為（、)，即由復(fù)數(shù)相等定義可知解這個(gè)方程組，得于是有: 利用于是將的分母有理化得：原式(點(diǎn)評(píng):是常規(guī)方法，是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡無理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的的對(duì)偶式，它們之積為是有理數(shù)，而是正實(shí)數(shù)所以可以分母

5、實(shí)數(shù)化 把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法例題精講1. 復(fù)數(shù)的概念【例1】 在下列結(jié)論中正確的是（ ）A在復(fù)平面上，實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)；虛軸上的點(diǎn)表示純虛數(shù)B任何兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比較大小C如果令實(shí)數(shù)與純虛數(shù)對(duì)應(yīng)，那么實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)D滿足 的復(fù)數(shù)只有 【例2】 （2011東城一模理9）如果是實(shí)數(shù),那么實(shí)數(shù)_【鞏固】求若 為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值【例3】 設(shè)全集=復(fù)數(shù)，=實(shí)數(shù)，=純虛數(shù)，則（ ）ABCD【答案】C【例4】 若，則是的（ ）A充要條件 B充分但不必要條件 C必要但不充分條件 D既不充分也不必要條件【例5】 ，求的值【例6】 （江西理1）若，則復(fù)數(shù)ABCD【鞏固】設(shè)， 則 （）【例7】

6、已知復(fù)數(shù)且，是純虛數(shù)，求的共軛復(fù)數(shù)【例8】 已知，求復(fù)數(shù)【例9】 復(fù)數(shù)，如果，則實(shí)數(shù)的取值范圍A BC D或2. 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【例10】 i是虛數(shù)單位，計(jì)算ii2i3_A1 B1 C D【鞏固】已知集合（為虛數(shù)單位），給出下面四個(gè)命題：若，則；若，則；若，則； 若，則其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【例11】 （2011海淀一模理9）復(fù)數(shù)【變式】復(fù)數(shù)，則等于【例12】 復(fù)數(shù)的平方跟為（ ）【例13】 （上海理19）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的虛部為，是實(shí)數(shù)，求【例14】 （2009廣州）設(shè)是復(fù)數(shù)，表示滿足的最小正整數(shù)，則對(duì)虛單位，（ ）A B C D3. 復(fù)數(shù)的幾何

7、意義【例15】 （2011門頭溝一模理1）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【例16】 （2011西城一模理9）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為_【例17】 已知復(fù)數(shù)，且，則的最大值為_【例18】 已知?jiǎng)t復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第_象限，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的軌跡是_4. 復(fù)數(shù)綜合【例19】 已知方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的值【鞏固】設(shè)是實(shí)系數(shù)方程 的兩根，若是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，求【例20】 設(shè)等比數(shù)列，其中， （1）求的值； （2）試求使的最小自然數(shù)； （3）對(duì)于（2）中的，求的值【例21】 已知復(fù)數(shù)，和，其中均為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，且對(duì)于任意復(fù)數(shù)，有，（1）試求的值，并分別寫出和

8、用表示的關(guān)系式；將作為點(diǎn)的坐標(biāo)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)變到這一平面上的點(diǎn)（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)的軌跡方程；（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上?若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由課后總結(jié)復(fù)數(shù)的運(yùn)算通常方法：（1）對(duì)于復(fù)數(shù)中的除法問題（或分式形式運(yùn)算），常常用分母實(shí)數(shù)化策略，即分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)（2）即用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題（3）整體代換是數(shù)學(xué)思想中的一種重要的思維方式由于復(fù)數(shù)可用代數(shù)形式，也可用幾何形式表示，使復(fù)數(shù)的各種運(yùn)算具有了幾何意義，因此復(fù)數(shù)解題常以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合，使復(fù)數(shù)更加形象鮮明課后檢測(cè)【習(xí)題1】 下列命題中正確的是（ ）A任意兩復(fù)數(shù)均不能比較大小 B復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是C復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是Di+1 的共軛復(fù)數(shù)是【習(xí)題2】 兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)之差是（ ）A實(shí)數(shù) B純虛數(shù) C D或純虛數(shù)【習(xí)題3】 （2011朝陽一模文9）已知為虛數(shù)單位，則=【習(xí)題4】 設(shè)（為虛數(shù)單位），則（）AB C D【習(xí)題5】 （2009湖北卷理)投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別和,則復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的概率為（ ）A B C D【習(xí)題6】 已知為共軛復(fù)數(shù)，