順風(fēng)向結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)一般計算方法

1、順風(fēng)向結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)公式推導(dǎo)0 引言近些年來，由于全球氣候變暖 ,風(fēng)災(zāi)變得更為頻繁 ,在所有自然災(zāi)害中，風(fēng)災(zāi)造成的經(jīng)濟損失已經(jīng)躍居各種自然災(zāi)害之首。每年造成全球經(jīng)濟損失達(dá)數(shù)百億甚至千億美元 ,而我國東南沿海地區(qū)又是受風(fēng)災(zāi)影響比較嚴(yán)重的區(qū)域。同時，隨著土木工程結(jié)構(gòu)向著高、大跨、柔、輕質(zhì)和低阻尼方向發(fā)展，結(jié)構(gòu)對風(fēng)的敏感性大大增強，與結(jié)構(gòu)損壞有關(guān)的風(fēng)災(zāi)屢見不鮮，風(fēng)荷載正在逐漸成為結(jié)構(gòu)設(shè)計時的控制荷載之一，國內(nèi)外工程技術(shù)人員對建筑物的抗風(fēng)設(shè)也計越來越重視。在研究風(fēng)對結(jié)構(gòu)的作用時，一般將其分為平均風(fēng)和脈動風(fēng)。本文主要討論順風(fēng)向的結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)。順風(fēng)向的結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)是在平均風(fēng)和脈動風(fēng)共同作用下產(chǎn)生的。我國建筑

2、和在規(guī)范規(guī)定， 對于高度高于 30m 且高寬比大于的房屋結(jié)構(gòu)，對于基本自振周期不大于的塔架、桅桿、煙囪等高聳結(jié)構(gòu)，應(yīng)考慮到風(fēng)壓脈動引起的結(jié)構(gòu)動力效應(yīng)。由于脈動風(fēng)的卓越周期在一分鐘左右，而高、柔、大跨度結(jié)構(gòu)的基本周期也只在幾秒這個數(shù)量級，因此結(jié)構(gòu)愈柔，基本周期愈長，順風(fēng)向的風(fēng)致響應(yīng)就愈大。目前關(guān)于結(jié)構(gòu)順風(fēng)向風(fēng)致響應(yīng)的計算方法一般是基于加拿大 Davenport 在 20 世紀(jì) 60 年代提出并不斷發(fā)展完善的。依據(jù)該方法，順風(fēng)向的結(jié)構(gòu)總風(fēng)致響應(yīng)由平均風(fēng)響應(yīng)、脈動風(fēng)響應(yīng)組成，其中脈動風(fēng)響應(yīng)包括背景響應(yīng)和共振響應(yīng)。圖 0-1（A）表示了時域內(nèi)的平均響應(yīng) r 、背景響應(yīng) rB 和共振響應(yīng) rR ，圖 0

3、-1（ B）表示了頻域內(nèi)的背景均方響應(yīng) rB2 、前三階共振均方響應(yīng) rR21 、rR22 和 rR23 。下面主要探討下單自由度和多自由度結(jié)構(gòu)的順風(fēng)向風(fēng)致響應(yīng)。圖 0-1平均、背景和共振響應(yīng)1 單自由度結(jié)構(gòu)順風(fēng)向風(fēng)振響應(yīng)結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)等于確定其各部分位置所需參數(shù)的數(shù)目。有很多結(jié)構(gòu)， 將其假定為單自由度結(jié)構(gòu)，在計算其順風(fēng)向動力響應(yīng)時能獲得合力準(zhǔn)確的計算結(jié)果。在計算結(jié)構(gòu)的順風(fēng)向響應(yīng)時， 僅考慮順風(fēng)向部分的湍流速度分量u ，其他湍流分量對結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)影響不顯著。一般單自由度結(jié)構(gòu)可視為點狀結(jié)構(gòu)，計算模型可假定為質(zhì)量為m的質(zhì)點支承在剛度系數(shù)為 k 的彈簧上，同時與彈簧平行的方向有阻尼系數(shù)為c 的黏滯

4、阻尼。位移 u 的運動方程為：.mu cukuFtot（）式中， Ftot 為作用在結(jié)構(gòu)上的順風(fēng)向荷載。荷載Ftot 的表達(dá)式為：Ftot 1 CD A.(Uv u) 2（）2式中， CD 為空氣阻力系數(shù)； A是垂直平均風(fēng)方向的結(jié)構(gòu)受荷載面積。順風(fēng).向荷載取決于風(fēng)與結(jié)構(gòu)的相對速度，即與結(jié)構(gòu)振動的速度 u 有關(guān)系。因為，一般情況下平均風(fēng)速 U 比縱向湍流的速度v 要大得多，所以有如下近似：.U 2.(U v u) 22Uv 2U u（）全部的風(fēng)荷載可分為三部分：平均風(fēng)荷載Fq 、由湍流產(chǎn)生的脈動荷載t 及F氣動阻尼所產(chǎn)生的荷載Fa ：FtotFqFtFa（）Fq1CDA U2（）2FtCD A

5、U v（）.FtCD A U u ca u（）caCDA U（）氣動阻尼常數(shù) ca 與結(jié)構(gòu)自身阻尼 c 相加可得合租尼 c0 ：c0cac（）所以有平均風(fēng)位移響應(yīng)：Fq1 CDA U2（）k2k結(jié)構(gòu)位移的自譜 S (n) 表達(dá)式為：S (n) | H (n) |2 SF (n)（）式中， H (n) 為結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)；SF (n) 為函數(shù)自譜。風(fēng)荷載自譜可由下式確定：SF (n)2Su(n)4Fq2Su (n)(CAA U )U 2（）因此，位移 u 的方差可通過對式（）中的自譜積分求得：222S (n)dn4Fqu2k22Su(2n)dn （）k2| H (n) |0U0u再將湍流強度I

6、 uuU 代入上式，并利用式（） ，可得：2Iuk2| H (n) |2Su (n2)dn（）0u所以，總的風(fēng)致響應(yīng)：2I uk22Su (n)dn| H (n) |20u順風(fēng)向的結(jié)構(gòu)總風(fēng)致響應(yīng)由平均風(fēng)響應(yīng)、脈動風(fēng)響應(yīng)組成，其中脈動風(fēng)響應(yīng)包括背景響應(yīng)和共振響應(yīng)。一、平均風(fēng)響應(yīng)在順風(fēng)向，平均風(fēng)致響應(yīng)可通過平均風(fēng)荷載與影響函數(shù)得到Hr (z)0p(zi )i ( z, zi)dzi（1）式（ 1）中：r (z) 表示在結(jié)構(gòu) z 高度處的某一響應(yīng)均值p( zi ) 表示作用于結(jié)構(gòu)高度zi 處的線平均風(fēng)力i (z, zi ) 表示在 zi 高度處作用一單位力在z 高度處產(chǎn)生的某一響應(yīng)值， 也稱影響函數(shù)

7、，包括位移、剪力和彎矩影響函數(shù)等，其任意高度z 的表達(dá)式如下：j ( z)j ( zi ) 第 j階位移K *j（2）或剪力（當(dāng)zi時，取 ；當(dāng)時，取 ）i (z, zi ) 1 0z1ziz0zi - z或 0 彎矩（當(dāng) ziz時，取 zi - z；當(dāng) ziz時，取 0）式（2)中，j (z)和j ( zi ) 表示某高度處的第j 階陣型坐標(biāo)， K *j 代表第 j 階廣義剛度。在豎向懸臂結(jié)構(gòu)中，一般考慮第一階陣型的影響。在（2)中，最為關(guān)心的是頂部（ z=H)位移、底部（ z=0)剪力與彎矩的影響函數(shù)。二、脈動風(fēng)響應(yīng)一豎向懸臂結(jié)構(gòu)，在與風(fēng)垂直的迎風(fēng)表面xz 上， M 1 點和 M 2 點的

8、坐標(biāo)分別為（x, z）和（ x' , z' )，準(zhǔn)定常假定成立，作用于迎風(fēng)面上這兩點的脈動風(fēng)壓分別為 w( x, z, t)和 w(x' , z' ,t ) ，其表達(dá)式為w( x, z,t )CD(M1 )( z)( z,t ) (a)w( x' , z' , t)CD(M2 )( z' )( z' , t) (b)由強風(fēng)觀察結(jié)果分析得出，式（a)和式（ b)中的流脈動風(fēng)速( z, t)和（z' ,t)大體上服從正態(tài)分布規(guī)律，脈動風(fēng)速的均值 E( )0 ，并且由前述脈動風(fēng)的記錄可近似作為平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程。1、運動方程

9、工程中受風(fēng)敏感的高層建筑或高聳結(jié)構(gòu)，屬豎向一維懸臂結(jié)構(gòu)，這類結(jié)構(gòu)沿豎向的質(zhì)量和剛度分布可以不均勻，隨高度發(fā)生變化，現(xiàn)將其抽象為一維懸臂的無限自由度體系。由隨機振動的振型分解方法，任意高度z 處的水平位移 yd (z,t ) 可表示為yd (z,t )ydj (z,t )j ( z) qj ( z)（3）j1j 1式中ydj (z, t) 第 j 振型的動位移；j (z) 第 j 振型 z 高度處的坐標(biāo)；q j (z) 第 j 振型的廣義坐標(biāo)。假設(shè)振型j (z) 對質(zhì)量分布和剛度分布正交，阻尼項采用瑞雷阻尼，可得第j 振型的運動方程：qi (t)2j ( 2 nj )q j (t )( 2 n

10、j ) 2 qi (t )F j (t)（4）式中， F j (t )1HB ( z)j ( z)dxdz（ 5）* 0w( x, z,t )0M j式中 w( x, z,t) 脈動風(fēng)壓；Bz 建筑物 z 高度處的迎風(fēng)面寬度；H建筑物總高；M *j 建 筑 物 第 j振型的廣義質(zhì)量，其表達(dá)式如下：HM *jm( z)2j ( z)dz （6）0式中， m( z) 為建筑物 z 高度處單位長度的分布質(zhì)量。2、位移響應(yīng)根方差由維納 -辛欽關(guān)系式，第 j 振型和第 k 階振型廣義力互譜密度 SF F (n) 由其互j k相關(guān)函數(shù) RF j Fk( x, x' , z, z' ,) 得

11、到：SF j Fk (n)RF j Fk ( x, x' , z, z' , )e i 2 n dF j (t ) Fk (t) e i 2 n d （7）由式（ 5）和（ 7）可進(jìn)一步寫作HB( z )(z)dxdzHB ( z)w(x' , z' , t)k (z' ) dx' dz'SF Fw( x, z, t ) j(n)00M *j? 00M *je i 2 n dj kHHB( z)B( z' )'w(x, z,t )w( x' , z' ,t) e i 2 nd''dz0000

12、j( z) k ( z )*dxdxdzM jM j1HHB( z)B( z')'''''dz*000j( z) k ( z) Sw ( x, x, z, z, n)dxdxdzM j M j0（ 8）式（ 8）中， Sw ( x, x' , z, z' , n) 為 M 1, M 2兩點脈動風(fēng)壓互譜密度，為Sw (x, x' , z, z' ,n)Rw ( x, x' , z, z' ,)e i 2n d（9）w( x, z,t )w( x' , z' ,t) e i 2nd式（

13、9）中， Rw ( x, x' , z, z' ,) 為M 1, M 2 兩點脈動風(fēng)壓互相關(guān)函數(shù)。由式（ a)和（ b)，可寫出：Sw (x, x' , z, z' , n)CD (M 1 ) (z) ( x, z, t) CD ( M 2 ) (z' ) ( x' , z' , t ) e i 2 n d2 C D (M 1 )C D (M 2 ) ( z) (z' ) S (x, x' , z, z' ,n)（10）引入脈動風(fēng)相干函數(shù)的平方根Rxz ( M 1, M 2 , n) 后，S ( x, x'

14、 , z, z' , n)Rxz( M 1 , M 2 , n) S (x, z,n)S (x' , z' , n)（ 11）Rxz ( M 1, M 2 , n)S (n)S ( n)Rxz (M 1, M 2 , n)S (n)將式（ 10）連同式（ 11）帶入式（ 8）中，可得：SF j Fk (n)1HHB( z)B')')2'''( z*0000j (z)k ( zCD ( M 1)CD (M 2 ) ( z) ( z)S (n)Rxz (M 1 , M 2 , n) dx dxdz dzM jM j（ 12）忽略交叉項

15、后，式（ 12)寫為2CD (M1 )CD ( M 2 )S (n)2HHBB' )''''SF j (n)H( z )( z)(zzdz* 20000j (z)k ( z2)Rxz (M 1 , M 2 , n)dxdxdzM jH2 CD (M 1 )C D (M 2 ) S (n) H2J ( n)M *j2（ 13）式（13）中， CD(M1)和CD(M2) 分別為 M1和M2 的平均壓力系數(shù)，-z-z'-( z)H () , ( z' )H () ，這里， H 為來流在建筑物頂部高度的平均風(fēng)速。HH按陣型分解隨機振動理論，結(jié)構(gòu)水

16、平動位移響應(yīng)的功率譜密度Sy ( z, n) 為mmSy (z, n)j ( z)k ( z) H j (-in )H k (in )SFj Fk (n) (14)j 1j 1H j (-in )1(2 nj )2 1 ( n )2i 2 jn n jnjH k (in)1(2 n k )2 1 ( n ) 2n i 2 knknk響應(yīng) y 的方差為y2 ( z)Sy (z,n)dn0mm0j ( z) k ( z) H j (-in )H k (in )SFj Fk (n)dn (15)j 1j 1當(dāng)忽略交叉項后，第j 階振型響應(yīng)的方差為：222( z)H j (in)SFj ( n)dn（

17、16）yj ( z)j0式（ 16）中，頻響函數(shù)為21（ 17）H j (in )(2 n j ) 4 1 ( n ) 2n(2 j) 2n jn j式（ 16）可分為三段積分，寫作：2 ( z)j2n jn j2( z)H j (in ) SF ( n)dnyj0jnjn j22j ( z)2H j (in ) SF j (n)dn （18）2j ( z)H j (in ) SFj(n)dnn jnjn j nj式（ 18）可進(jìn)一步改寫如下：1n jn jnj2yj2 ( z)2j ( z)SF j2jnj0SF j(n) dn(n)(z)n jH j (in) dn(2 n j)n j12

18、j ( )j22(F ()F( )()Hj (in)dn(19)( 2 n j )z0S jndn S jnz 0式（ 19）右端第一項，背景風(fēng)響應(yīng)B (z) 為mm1j2 ( z)1B ( z)Bj ( z)4SF j (n)dn 2（20）j 1j 1(2 n j )0右端第二項，共振響應(yīng)Rj (z) 為Rj2 ( z) SFj2 ( z)2(n j )H j (in)dn（21）j0風(fēng)致響應(yīng)譜在結(jié)構(gòu)自振頻率處具有與結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)類似的尖峰，由此可將自振頻率附近的響應(yīng)譜值按白噪聲假定簡化計算。Rj22( z) SFj (n j ) 2j ( z) H j (in ) j （ 22）式（ 22）中，j 為假定的白噪聲帶寬。比較（21）和（ 22）得20H j(in)dnnjjH j2j(in )由式（ 23），可得22H j(in) dnH j (in)j0( 1) 2j n j12j（23）2H j (in )j nj(2 n j ) 464 3 n3j由式（ 21）和（ 24）得j（24）21