兩類相對轉(zhuǎn)動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的統(tǒng)一動(dòng)力學(xué)模型及混沌運(yùn)動(dòng)

1、第33卷第2期2009年3月燕山大學(xué)學(xué)報(bào)JournalofYanshanUniversityVol.33No.2Mar.2009文章編號：1007-791X(2009)02-0159-04兩類相對轉(zhuǎn)動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的統(tǒng)一動(dòng)力學(xué)模型及混沌運(yùn)動(dòng)喬杰敏，王坤*，李秀菊，張波（燕山大學(xué)理學(xué)院，河北秦皇島066004）摘要：建立了具有廣義阻尼力和非線性恢復(fù)力的二端面轉(zhuǎn)軸相對轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)與一類兩質(zhì)量相對轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的統(tǒng)一的非線性動(dòng)力學(xué)模型。在弱周期力的條件下，研究了統(tǒng)一系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)，應(yīng)用Melnikov方法給出了系統(tǒng)發(fā)生混沌的必要條件，并利用倍周期分岔方法，進(jìn)一步分析了系統(tǒng)的混沌行為。關(guān)鍵詞：相對轉(zhuǎn)動(dòng)；非

2、線性動(dòng)力系統(tǒng)；倍周期分岔；混沌中圖分類號：TN911文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A0引言在研究轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)過程中，1985年，位移的二次冪成正比，即=122Carmeli建立了轉(zhuǎn)動(dòng)相對論力學(xué)理論1-2，1998年，羅紹凱建立轉(zhuǎn)動(dòng)相對論分析力學(xué)理論3。文獻(xiàn)4-7基于相對性原理，建立了圓柱體任意兩個(gè)橫截面間的相對轉(zhuǎn)動(dòng)常系數(shù)線性與變系數(shù)線性動(dòng)力學(xué)模型并對系統(tǒng)進(jìn)行了定性與定量分析，文獻(xiàn)8-9分別建立了一類二端面轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)相對轉(zhuǎn)動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型和一類兩質(zhì)量相對轉(zhuǎn)動(dòng)非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型并討論了系統(tǒng)的穩(wěn)定性與近似解。然而，以上對相對轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究，均假定系統(tǒng)的恢復(fù)力為線性的條件下進(jìn)行的，具有一定局限性4-9其

3、中，為彈性系數(shù)，那么系統(tǒng)的恢復(fù)力成正比。=d=d與位移由牛頓第二定律系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程+=0上式是線性的，即服從胡克定律的彈性系統(tǒng)是線性的。但是，實(shí)際上許多彈性系統(tǒng)（包括工程上的各種構(gòu)件等）并不服從以上的簡單規(guī)律性勢能取如下形式=12則可得系統(tǒng)的恢復(fù)力210。本文首先就非線性恢復(fù)力的來源進(jìn)行說明，接著討論了兩類相對轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在具有非線性恢復(fù)力的條件下，它們的非線性動(dòng)力學(xué)模型的統(tǒng)一性。最后應(yīng)用混沌系統(tǒng)的解析理論，討論了在弱周期擾動(dòng)力的作用下，統(tǒng)一系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)。，一般彈+133+144+1非線性恢復(fù)力項(xiàng)的來源彈性系統(tǒng)中的胡克定律表示彈性勢能收稿日期：2008-11-07與=+2+3+基金項(xiàng)目

4、：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（40374048）；河北教育廳科研計(jì)劃資助項(xiàng)目（2006447）作者簡介：喬杰敏（1985-），女，河北邢臺人，碩士，主要研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)理論、控制與應(yīng)用；*通訊作者：王坤（1960-），男，黑龍江齊齊哈爾人，教授，主要研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)理論、控制與應(yīng)用，Email：wangkun8992。160 燕山大學(xué)學(xué)報(bào) 2009 1 2 由這樣的 和 得到的運(yùn)動(dòng)方程自然是非線性 在方程 (3) 與 ( 4) 中,令 = 2 , 1= 1 1 2 12 2 或 1 1 + 1 2 2 2 , , 的.在勢能的多項(xiàng)式中取多少項(xiàng)才合適或正確,應(yīng) 根據(jù)具體問題和要求來確定.

5、= 12 或 1 + 1 2 2 , = 6 1 2 或 1 得到兩類系統(tǒng)的統(tǒng)一形式的相對轉(zhuǎn)動(dòng)非線性動(dòng)力 2 兩類相對轉(zhuǎn)動(dòng)非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的 統(tǒng)一性 如果在文獻(xiàn) 8 中,取阻尼力(阻尼力矩)為 1 學(xué)模型為 + 1 + 2 = (5) = 1 2 , 2= 2 1 2 1 2 , 取非線性彈性勢能為 3 1 2 3 系統(tǒng)的同宿軌道與混沌 在方程 (5 ) 中, 取 = 1 1 2 1 =2 1 +3 1 +4 4 1 2 + 1 + 3 3 , = 3 + 5, = , 2 =1, + 1 = + 3 sin 3 3 ,則得 + 5= sin (6) 則得系統(tǒng)的恢復(fù)力 1 2 = 1 2

6、+ 2 1 2 + 3 1 2 + 令 = , = ,則由方程 ( 6) 得 由此可得二端面轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)相對轉(zhuǎn)動(dòng)的非線性動(dòng)力 學(xué)模型為 1 3 1 6 1 = = 3 5 + T sin , 3 T 3 3 1 3 (7) , , = +1 6 1 +3 2 + 1 2 + 1 2 = 2 1 設(shè) (1 ) 0, sin 2 = , 1 = , 3 5 T ,得矩陣方程 , (8) 1 2 1 2 1 = = 其中, 為圓柱體任意兩個(gè)橫截面間的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 1 和 2分別為兩個(gè)橫截面的轉(zhuǎn)角, 1 和 2 分別是兩個(gè) 橫截面處的外加力矩. 在 文獻(xiàn) 9 中,同 樣取非線 性彈性勢能 為 1 2 + 當(dāng)

7、 =0時(shí),系統(tǒng) ( 7) 是無擾系統(tǒng),即 = = 令 = =0 ( 10) 3 5 (9) ,則得一類兩質(zhì)量相對轉(zhuǎn)動(dòng)非線性系統(tǒng)動(dòng) 力學(xué)模型為 1 2 1 1 + 1 1 2 2 + 1 1 2 = 2 1 2 = (2 ) 得不動(dòng)點(diǎn) = 3 5 =0 其中, 1 , 2 為系統(tǒng)集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 1和 2 分 別為兩個(gè)橫截面的轉(zhuǎn)角, 1 和 2 分別是兩個(gè)橫截面 處的外加力矩. 由方程 ( 1) 和 (2 ) 易得 + 12 1 2 1, 0 , 1, 0 及三重不動(dòng)點(diǎn) 0, 0 . 系統(tǒng) (9 ) 的特征方程為 0 3 2 0 5 4 0 2 =0 (11) 1 2 + 12 1 2 =

8、6 1 2 (3 ) =± 3 5 4 ( 12) 1 2 + 1 + 2 1 2 + 1 + 1 2 當(dāng)不動(dòng)點(diǎn)為 ± 0 時(shí), =± 2i,所以 ± 0 1, 1, 2 1 2 = 1 2 為中心. 當(dāng)不動(dòng)點(diǎn)為 0, 0 時(shí), =0,需討論不動(dòng) 點(diǎn)的性質(zhì). (4 ) 1 2 1 2 1 1 2 因?yàn)?3 5 中不包含因子 , 所以 0 , 0 是孤立奇 第2期喬杰敏等兩類相對轉(zhuǎn)動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的統(tǒng)一動(dòng)力學(xué)模型及混沌運(yùn)動(dòng)0±161點(diǎn)。無擾系統(tǒng)(9)可以寫成=56=±32+4=3632+432(13)(21)±其中，=1，=

9、3，為不動(dòng)點(diǎn)的重?cái)?shù)。根據(jù)Briot-Bouquet引理可知，0,0的性質(zhì)由決定，因?yàn)?2×1+1=1>0(=2)，所以不動(dòng)點(diǎn)0,0是鞍點(diǎn)。系統(tǒng)(9)的Hamilton量為,當(dāng)?shù)?±根據(jù)Smale-Birkhoff同宿理論，當(dāng)足夠小時(shí)，系統(tǒng)(7)可能有Smale馬蹄意義下的混沌。系統(tǒng)(7)的Melnikov函數(shù)為±01=22141+466(14)+=+±0±,+0d=0±0±0,0=0時(shí)，存在連接鞍點(diǎn)0,0的同宿軌。同宿軌道的求解如下：sin+01±d=(22)sin其中(15)101133令10,0=2=由式

10、(15)得221416+=046=+±2d=2222+34222+2333d=64=±即d22122(16)=+0±4d=264321d=81973+=123d=±2363sin32+42d=11cos3+422d2(17)即>111令=2cot，并對式(17)積分得32cot=±+32(18)+33(23)此時(shí)必存在0使得±cos±0=0，而±0=0，所以±0有單重零點(diǎn)，故可能3223把cot=代入式(18)，注意到=0，0=±22時(shí)，=0。整理之后得=±對求導(dǎo)得到=±

11、;3233+4(20)63+42產(chǎn)生Smale馬蹄意義下的混沌。注：積分的精確值很難求出，但應(yīng)用數(shù)值積分法，很容易求得積分的近似值。(19)4數(shù)值仿真以上應(yīng)用Melnikov方法得到了系統(tǒng)可能產(chǎn)生Smale馬蹄意義下的混沌的條件，但不能完全保證2系統(tǒng)發(fā)生混沌。而倍周期分岔是非線性動(dòng)力系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的典型途徑，下面應(yīng)用倍周期分岔方法對系統(tǒng)(6)進(jìn)行數(shù)值仿真。在系統(tǒng)(6)中，令1所以，兩條同宿軌道的參數(shù)為=0.3，2=0.001，=1，162燕山大學(xué)學(xué)報(bào)2009=，=，則得+0.3+0.00133+5=sin(24)在系統(tǒng)(24)中，令逐漸增加，系統(tǒng)由周期運(yùn)動(dòng)過渡到擬周期運(yùn)動(dòng)，最終系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)。

12、描繪系統(tǒng)的相軌跡如圖1(a)(e)所示。(a)=0.11，周期運(yùn)動(dòng)(b)=0.203，2周期運(yùn)動(dòng)(c)=0.292，4周期運(yùn)動(dòng)(d)=0.345，擬周期運(yùn)動(dòng)(e)=0.59，混沌運(yùn)動(dòng)圖1倍周期分岔的相軌跡Fig.1Phasetrajectoryofperioddoublingbifurcation如圖1所示，令逐漸增加，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)倍周期運(yùn)動(dòng)分岔而產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)=0.11時(shí)，有周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)=0.203時(shí)，有2周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)=0.292時(shí)，有4周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)=0.345時(shí)，出現(xiàn)擬周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)=0.59時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。5結(jié)束語本文論述了二端面轉(zhuǎn)軸相對轉(zhuǎn)動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)與一類兩質(zhì)量相對轉(zhuǎn)動(dòng)非

13、線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有統(tǒng)一形式的動(dòng)力學(xué)模型。在主動(dòng)力項(xiàng)為弱周期擾動(dòng)力的條件下，證明了系統(tǒng)存在同宿軌道，給出了系統(tǒng)產(chǎn)生Smale馬蹄混沌運(yùn)動(dòng)的條件，并通過數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)一步驗(yàn)證系統(tǒng)的混沌行為。參考文獻(xiàn)1CarmeliM.ThedynamicsofrapidlyrotatingbodiesJ.FoundPhys,1985,15(8):889-903.2CarmeliM.RotationalrelativitytheoryJ.InternationalJournalofTheoreticalPhysics,1986,25(1):89-94.3羅紹凱.轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的相對論性分析力學(xué)理論J.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),19

14、98,19(1):43-53.4董全林,劉彬.在伽利略坐標(biāo)變換下的二端面彈性轉(zhuǎn)軸相似動(dòng)力學(xué)方程J.物理學(xué)報(bào),2002,51(10):2191-2196.5董全林,王坤,劉彬,等.圓柱體相對轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的積分解J.物理學(xué)報(bào),2004,53(2):337-342.6王坤.相對轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的穩(wěn)定性及在一類粘彈性系數(shù)下的解J.物理學(xué)報(bào),2005,54(9):3987-3991.7趙武,劉彬,時(shí)培明,等.一類非線性相對轉(zhuǎn)動(dòng)周期系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性分析J.物理學(xué)報(bào),2006,55(8):3852-3857.（下轉(zhuǎn)第188頁）188燕山大學(xué)學(xué)報(bào)SystemsEngineering,1995,4(2):115

15、-124.6NobukoIgaki.Exponentialtwoservequeuewith2009withreparableservicestationJ.JounralofSystemsScience&參考文獻(xiàn)1曹晉華,程侃.服務(wù)臺可修的/1排隊(duì)系統(tǒng)分析J.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1982,5(2):113-127.-policyandgeneralvacationsJ.QueueingSystem,1992,10(4):279-294.7NeutsMF.Matrix-geometricsolutionsinstochasticmodels:an2史定華,張文國.具有多重延誤休假的可修排隊(duì)系

16、統(tǒng)/1/分析J.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1994,17(2):201-214./1/可修排隊(duì)系統(tǒng)()algorithmicapproachM.Baltimore,MD:JohnsHopkinsUni-versityPress,1981:81-83.8曹晉華,程侃.可靠性數(shù)學(xué)引論M.北京:高等教育出版社,2006.9唐應(yīng)輝,唐小我.排隊(duì)論:基礎(chǔ)與分析技術(shù)M.北京:科學(xué)出版社,2006.3唐應(yīng)輝,唐小我.推廣的一些排隊(duì)指標(biāo).系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2000,20(4):385-397.4岳德權(quán),呂勝利,李靜鉑.一個(gè)修理工的可修排隊(duì)J.燕山大學(xué)學(xué)報(bào),2003,27(3):197-202.5YueDQ,ZhaoW.Re

17、liabilityanalysisofsomequeuingmodelsAnalysisofarepairablequeuingsystemwithdifferentspareserversYUEDe-quan,MAJin-wang(CollegeofSciences,YanshanUniversity,Qinhuangdao,Hebei066004,China)Abstract:Inthispaper,arepairablequeuingsystemwithdifferentspareserversisconsidered,inwhichoneservergoesonduty,andtheo

18、theroneiskeptonstandbyinthebeginning.Whentheserverhasbrokendown,andiftherepairmanisidle,itcanberepairedandreplacedbythespareserverimmediately,otherwise,itneedstowaitforrepairation.Usingthematrix-geometricsol-ution'smethod,theexistingconditionofsteady-stateequilibriumandthesteady-stateprobability

19、vectorsaregiven.Bythenumericalsolution,theinfluenceofparametersontheaveragequeuelengthofsystemisdiscussed.Keywords:repairablequeuingsystem;spareservers;matrix-geometricsolution;quasi-birth-and-deathprocess（上接第162頁）8王坤.二端面彈性轉(zhuǎn)軸相對轉(zhuǎn)動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與近似解J.物理學(xué)報(bào),2005,54(12):5530-5533.9時(shí)培明,劉彬.相對轉(zhuǎn)動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與強(qiáng)迫激勵(lì)下的近似解J.物理學(xué)報(bào),2007,56(7):5530-5533.10劉秉正,彭建華.非線性動(dòng)力學(xué)M.北京:高等教育出版社,2004.Unifieddynamicsmodeloftwokindofrelativerotationnonlineardynamicssystemand