微分中值定理及其應(yīng)用12237

1、二、內(nèi)容與要求1.理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，知道泰勒定理，了解并會用柯西中值定理.2.掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法.3.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用.4.會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形.重點 羅爾定理、拉格朗日中值定理、用洛必達(dá)法則求未定式極限.難點 羅爾定理、拉格朗日中值定理、 泰勒定理三、概念、定理的理解與典型錯誤分析 若存在x0的某鄰域，使得對一切，都有則稱為極大值（極小值），稱x0為極大（小）值點。極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點

2、、極小值點統(tǒng)稱為極值點。定理3.1(費馬（Femat）定理)（取到極值的必要條件）設(shè)f(x)在點x0處取到極值，且存在，則反之不真，例如但f(0)不是極值。費馬定理常用于證明f(x)=0有一個根，找一個F(x)，使證明F（x）在某點x0處取到極值且存在，由費馬定理知即定理3.2( 羅爾（Rolle）定理) 設(shè)f(x)在閉區(qū)間a,b上滿足下列三個條件：（1）f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）f(x)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）則至少存在一點使推論 在羅爾定理中，若f(a)=f(b)=0，則在（a,b）內(nèi)必有一點，使即方程f(x)=0的兩個不同實根之間，必存在方程f(x)=0的一個根。羅爾定

3、理的應(yīng)用：1 證明f(x)=0有一個根，找到一個F（x）,使，驗證F（x）在某閉區(qū)間a,b上滿足羅爾定理條件，則至少存在一點。2 證明適合某種條件的存在性：把待證含有的等式，通過分析轉(zhuǎn)化為形式，對F(x)應(yīng)用羅爾定理即可。定理3.3(拉格朗日（Lanrange）定理) 若f(x)在閉區(qū)間a,b上滿足下列二個條件：（1）f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù) ; （2）f(x)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點拉格朗日定理的結(jié)論常寫成下列形式：上式中當(dāng)ab時公式仍然成立，即不論a,b之間關(guān)系如何，總介于a,b之間，由所以拉格朗日定理是連結(jié)函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值之間的一座橋梁，特別適合給出導(dǎo)數(shù)條件，要證明函

4、數(shù)值關(guān)系的有關(guān)結(jié)論，就需要用到拉格朗日定理，拉格朗日定理主要應(yīng)用是證明不等式.定理3.4(單調(diào)性定理 ) 設(shè)f(x)在區(qū)間X(X可以是開區(qū)間，可以是閉區(qū)間，也可以是半閉半開區(qū)間，也可以無窮區(qū)間)上連續(xù)，在X內(nèi)部可導(dǎo)（不需要在端點可導(dǎo)），（1）若內(nèi)部，則f(x)在區(qū)間X上遞增。（2）若內(nèi)部，則f(x)在區(qū)間X上遞減。（3）若內(nèi)部，則f(x)在區(qū)間X上是常值函數(shù)。若（1）中，則f(x)在區(qū)間X上嚴(yán)格遞增，若（2）中，則f(x)在區(qū)間X上嚴(yán)格遞減。推論 若f(x)在區(qū)間X上連續(xù)，在區(qū)間X內(nèi)部可導(dǎo)，當(dāng)內(nèi)部，且f(x)在X的任何于區(qū)間上，則f(x)在區(qū)間X上嚴(yán)格遞增（減）。證 由，知f(x)在區(qū)間X上遞

5、增，假設(shè)f(x)在X上不是嚴(yán)格遞增，即存在上遞增，所以任給，有從而所以與條件矛盾，故f(x)在區(qū)間X上嚴(yán)格遞增，對于，同理可證f(x)在X上嚴(yán)格遞減。單調(diào)性定理及推論是證明函數(shù)在某區(qū)間上（嚴(yán)格）單調(diào)或是常值函數(shù)和求函數(shù)（嚴(yán)格）單調(diào)區(qū)間的重要方法。定理3.5(柯西（Cau chy）定理) 設(shè)f(x),g(x)在閉區(qū)間a,b上滿足下列條件：（1）f(x),g(x)在a,b上連續(xù)（2）f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)（3），則至少存在一點使證明與拉格朗日證明類似，只要把拉格朗日定理證明過程中b換成g(b)，a換成g(a)，x換成g(x)即可，讀者可自證。典型錯誤: 對f(x),g(x)在a,b上

6、分別應(yīng)用拉格朗日定理有。實際上分子、分母中的兩個是不一樣。柯西定理也可以用來證明不等式及適合某種條件的存在性，但沒有拉格朗日定理和羅爾定理用得多。定理3.6(泰勒（Tay lor）定理) 設(shè)f(x)在區(qū)間X上存在n+1階導(dǎo)數(shù)，對每一個任給，有其中是介于x0及x之間稱為拉格朗日余項, 當(dāng)x0=0時，稱為麥克勞林公式，即稱為麥克勞林余項。定理3.7(佩亞諾（Peano）定理) 若f(x)在點x0處存在n階導(dǎo)數(shù)，則稱為泰勒公式的佩亞諾余項.相應(yīng)的麥克勞林公式為讀者要記住5個常用函數(shù)的帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式帶有拉格朗日余項的泰勒公式可用以證明方程根的存在性、適合某種條件的存在性及各種不等式。帶有

7、佩亞諾余項的泰勒公式僅適用于求函數(shù)極限。定理3.8(洛必達(dá)法則I ) 設(shè)（1）；（2）存在的某鄰域，當(dāng)時，都存在，且；（3），則.定理3.9(洛必達(dá)法則II)，設(shè)（1）；（2）存在的某鄰域，當(dāng)時，都存在且；（3），則.1上述兩個法則中的改成時，條件（2）只須作相應(yīng)的修改，結(jié)論依然成立。2在用洛必達(dá)法則求極限之前，應(yīng)盡可能把函數(shù)化簡，或把較復(fù)雜的因式用簡單等價的因式來替換，以達(dá)到簡化，再利用洛必達(dá)法則。3利用洛必達(dá)法則求極限時，可在計算的過程中論證是否滿足洛必達(dá)法則的條件，若滿足洛必達(dá)法則的條件，結(jié)果即可求出；若不滿足，說明不能使用洛必達(dá)法則，則需用其它求極限的方法。此外，可重復(fù)使用洛必達(dá)法則，

8、但只能用有限次。例1 若在點可導(dǎo)，則是否在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)或連續(xù)或極限存在.答 否.例由,知在處可導(dǎo).當(dāng)時，但,知在處可導(dǎo)，但在的任何鄰域里除外均不可導(dǎo)，不連續(xù)，極限也不存在，因此，我們在解題時，不能根據(jù)自己的感覺來得到結(jié)論，一定要根據(jù)定理、推論、性質(zhì)、公式來得到所需的結(jié)果.例2若在點可導(dǎo)，則在的某鄰域內(nèi)有界嗎？答 是.由在點點可導(dǎo)，則在處必連續(xù)，利用連續(xù)的局部有界性知，存在，使在內(nèi)有界.例3若在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)且可導(dǎo)，那么在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)嗎？答 否.例如：，由，知在（）上嚴(yán)格遞增，但在上小于0，在（）上大于0，故在（）不是單調(diào)函數(shù).例4如果可導(dǎo)數(shù)與當(dāng)時，有，那么當(dāng)時，必有，這種說法正確嗎

9、？答 不正確.雖然函數(shù)的增長率比函數(shù)在同一點處的增長率大，但如果在處的初始值比在處的初始值小，就不能保證對任意的，都有.例如 函數(shù)，我們有當(dāng)時，.但是當(dāng)時，有，當(dāng)時，有；當(dāng)時，才有（圖8-1）。因此，利用導(dǎo)數(shù)的大小比較兩個函數(shù)值的大小時，必須考慮起點處的兩個函數(shù)值的大小.上述問題如果加上初始相等：這一條件，那么結(jié)論一定正確,請讀者自證.例5 設(shè)函數(shù)在包含點的開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，由此可以斷定在點的某鄰域內(nèi)單調(diào)增嗎？答 不可以.例如函數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有而當(dāng)時，有.在處，有但在處，卻有當(dāng)時，因此在點的任何鄰域內(nèi)，的取值有正有負(fù)，從而在的任何鄰域內(nèi)都不是單調(diào)的，如果不然，不妨假定在點的一鄰域內(nèi)單調(diào)增

10、，那么對充分小的，使仍屬于該鄰域，則有，于是.這與相矛盾.例6如果函數(shù)在處有極大值，能否肯定存在點的鄰域，使在左鄰域內(nèi)單調(diào)增加，而在右鄰域內(nèi)單調(diào)減少？答不能肯定.我們知道，如果函數(shù)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且在的左鄰域單調(diào)增加，而在的右鄰域單調(diào)減少，則在處一定有極大值，但是，這個結(jié)論反過來是不一定成立的.例如，函數(shù)顯然，是極大值，取為自然數(shù)），當(dāng)充分大量，與都可進(jìn)入的充分小鄰域內(nèi)，而由此可見，在點的右鄰域內(nèi)，無論多么小，總有這樣的點與，使與.因而函數(shù)不是單調(diào)的.同樣，在點的左鄰域內(nèi)也是如此，其理由參閱問題例5最后一段.例7 最大（?。┲狄欢ㄊ菢O大（?。┲祮幔糠粗畼O大（?。┲狄欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲祮?？答 不

11、一定是.極大（?。┲档亩x是存在，當(dāng)時，都有，極值的必要條件是在的兩側(cè)要有定義例如圖8-2所示為最小值，為最大值，但不是極小值，因為在的左側(cè)沒定義，也不是極大值，同樣是因為在的右側(cè)沒定義.從圖中還可以看出，為極大值但不是最大值，為極小值但不是最小值，因此，一般情形下，最大（小）值與極大（?。┲禌]有關(guān)系，但若最大（小）值在區(qū)間內(nèi)部取到，則一定為極大（?。┲担蕝^(qū)間內(nèi)部的極值點是最大（?。┲档膽涯c.例8. 求.典型錯誤點評已不是“”型，此時不能用洛必達(dá)法則。解 原式例9. 求典型錯誤點評分子、分母都是的數(shù)列，關(guān)于不連續(xù)，更不可導(dǎo)，故不能利用洛必達(dá)法則。解 方法一方法二例10.典型錯誤 點評 實際

12、上不是未定式，由，因此.例11. 設(shè)存在且求典型錯誤 由而知由在處二階可導(dǎo)，知在處連續(xù)，有因此由知又在處連續(xù)，有，于是得點評 答案是正確的，但對用洛必達(dá)法則是錯誤的，因為從條件存在，推不出在0的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，不符合洛必達(dá)法則的第二條，且在不知是否連續(xù)，不能用.解故例12. 求.典型錯誤1分析 這里用了分次取極限是不正確的，因為當(dāng)時，而不可能出現(xiàn)，典型錯誤2點評 我們知道1的任何數(shù)次冪為1中的數(shù)是指的數(shù)，而不是一個數(shù)，而是無窮大，因此，不能偷梁換柱，解 方法一方法二例13.典型錯誤 由時，知點評 盡管結(jié)論正確，但解法錯誤，因為不是“”型，時，解因此，使用洛必達(dá)法則之前，必須驗證條件是否適合，

13、否則可能導(dǎo)致錯誤，甚至?xí)霈F(xiàn)結(jié)論正確、過程不合理的情形.還要注意到洛必達(dá)法則的條件是充分條件，即滿足條件結(jié)論一定成立，不滿足條件結(jié)論可能成立也可能不成立，因此，我們就不能隨便用.例14.求典型錯誤點評是“”，而中分子、分母的極限都不存在，已不屬于“”或“”型，不能再用洛必達(dá)法則。解四、解題方法與題例1證明方程根的存在性把要證明的方程轉(zhuǎn)化為f(x)=0的形式。對方程f(x)=0用下述方法：(1)根的存在定理 若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且則至少存在一點，使(2) 若函數(shù)f(x)的原函數(shù)在a,b上滿足羅爾定理的條件，則f(x)在（a,b）內(nèi)至少有一個零值點.(3) 若函數(shù)f(x)的原函數(shù)F

14、(x)在某點x0處取極值，在x0處導(dǎo)數(shù)也存在，由費馬定理知F(x0)=0，即f(x0)=0。(4) 實常系數(shù)的一元n次方程，當(dāng)n為奇數(shù)時，至少有一個實根。證 設(shè)由不妨設(shè)a00。由于當(dāng)xN0時，都有f(x)10。取bN0，有f(b)0，當(dāng)x-N1時，都有f(x)-10。取a-N1(5) 實系數(shù)的一元n次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個復(fù)數(shù)根，至多有n個不同的實數(shù)根。(6) 若f(x)在區(qū)間X上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，則f(x)在X內(nèi)至多有一個零值點。若函數(shù)在兩端點的函數(shù)（或極限）值同號，則f(x)無零值點，若函數(shù)在兩端點的函數(shù)（或極限）值異號，則f(x)有一個零值點。(7) 求具體連續(xù)函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)零值

15、點的個數(shù)：首先求出f(x)的嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間的個數(shù)，若有m個嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間，則至多有m個不同的零值點。至于具體有幾個，按照6研究每個嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間是否有一個零值點。(8) 用泰勒公式證明方程根的存在性.(9) 在證明方程根的存在性的過程中，我們經(jīng)常要用拉格朗日定理，積分中值定理，有時也用到柯西中值定理來證明滿足方程根的存在性所需的條件，然后利用上述的方法來證明方程根的存在性。例1設(shè)f(x)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，（k為常數(shù)），f(a)0，只要，只要取有f(b)0，又f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)ae，證明.證法一 要證成立，只要證成立，只要證成立，只要證 （1）成立，設(shè)，由f(x)在a,b上連

16、續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且，知f(x)在a,b上嚴(yán)格遞減，由af(a)f(b)，即成立，知（1）式成立，由每一步可逆，故原等式成立。證法二 由證法一知，只要證成立。由在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)且0，于是，故原等式成立。注：能用單調(diào)性定理證明的不等式，都可用拉格朗定理去證，因為單調(diào)性定理就是用拉格朗日定理證明的。例24.比較與的大小.分析 由于與之間沒給關(guān)系式，不好直接分析，我們假設(shè)一個關(guān)系式，比如。因此，我們只要比較與的大小，而分析中的不等號不一定是正確，在這里只是起到了一個橋梁作用。證法一 設(shè)由在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，知f(x)在上嚴(yán)格遞減，由e，知，得。注意：與我們分析中的不等號正好相

17、反，這正說明我們給一個不等號，只是為了便于分析，至于這個不等號是否正確無關(guān)緊要。分析 由，只要比較與大小，只要比較與0的大小，根據(jù)這兩個數(shù)可構(gòu)造一個函數(shù)，.證法二 設(shè)，由在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，知在上嚴(yán)格遞增，由，知.例25. 證明時，.證 要證原不等式成立，只要證成立，設(shè)而只要證時， （1）成立，由在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，令由在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，知在上嚴(yán)格遞增，知時，知，所以在時，即（1）式成立，由每一步可逆，故原不等式成立。注：比較函數(shù)的大小，若用單調(diào)性定理去證，需把函數(shù)表達(dá)式都轉(zhuǎn)移到左邊，右邊是常數(shù)并且一般情況為零，然后用單調(diào)性定理去證明。例26. 證明時，證 先證成立，只要證成立，設(shè)，

18、只要證時，（1）成立，由f(x)在上連續(xù)且可導(dǎo)，知f(x)在上嚴(yán)格遞增，故時，即（1）式成立，由每一步可逆，所以不等式成立。同樣可證成立。注：可能有的讀者會用拉格朗日定理，設(shè)，有故得不到結(jié)論。例27. 設(shè)、均為常數(shù)，證明證 取，知f（x）嚴(yán)格遞增，且，有例28.設(shè)為常數(shù)，證明證 設(shè)，由f(x)在0，1上連續(xù)，故必有最大與最小值。由令，得，且無導(dǎo)數(shù)不存在的點，而，知。故對一切，都有例29. 設(shè)是大于1的常數(shù)，且，證明，都有證 要證成立，只要證成立，設(shè)，只要證時， （1）成立，由，令f(x)=0，得x=1，且f(x)無導(dǎo)數(shù)不存的點，知x=1是唯一的極值可疑點。由于知f(1)是唯一的極值且是唯一的極

19、小值，故f(1)為最小值。所以時，即不等式（1）成立，由每一步可逆，故原不等式成立。4函數(shù)極限的類型（1） 若是初等函數(shù)，的定義域，由初等函數(shù)的連續(xù)性知.（2）若，則（）（）對于因式中含有對數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)時，一般放在分子、否則利用洛必達(dá)法則很繁，或求不出來。（）當(dāng)同號時，這時，把化成分式，通分、化簡，化成“”或“”，再利用洛必達(dá)法則。（）(a)當(dāng)時，我們有兩種方法求該未定式的極限，一種方法利用重要極限來計算，另一種方法，化為以e為底的指數(shù)函數(shù)，再利用洛必達(dá)法則。即解法一再根據(jù)具體情況化成。解法二這兩種方法，我們經(jīng)常還是利用解法一方便。（b）當(dāng)時，（iii）當(dāng)時這時，只有化成以e為底的指數(shù)函

20、數(shù)，再利用洛必達(dá)法則。即.而不屬于未定式，因為。5.已知函數(shù)的表達(dá)式，求函數(shù)的極限1求函數(shù)極限的六種重要方法（1）極限的四則運算；（2）等價量替換；（3）變量替換；（4）洛必達(dá)法則；（5）重要極限；（6）初等函數(shù)連續(xù)性。對于未定式的極限，先用等價量替換或變量替換或極限的四則運算化簡，再利用洛必達(dá)法則求極限。很多情況下，這幾種方法常常綜合運用。例30. 求.解（）=。例31.求。解 原式，由時，得原式。例32.求.解 原式，由時，得原式.例33.求.解 原式.例34. 求.解法 由，故原式=.例35. 求.解法一 原式,且時，原式=.解法二 原式例36. 求.解 原式由。得原式.例37. 求.解

21、 原式.例38. 求.解原式.例39. 求.解 原式.例40.求.解法一 原式.解法二 原式.例41 求.解 原式.例42. 求.解例43. 求.解.例44. 求.解例45.求.分析 因為，所以洛必達(dá)法則不適用，宜改用其它方法。解原式例46.求.無限循環(huán)，所以不能用洛必達(dá)法則.解原式.2利用泰勒公式求函數(shù)極限。若。事實上，.因此，利用帶有佩亞諾余項的泰勒公式可以求出某些函數(shù)極限，當(dāng)時，若則例47.求.解 由于,，所以.對于求時的函數(shù)極限，若用泰勒公式求極限，可令，變成求時的的函數(shù)極限，再利用上述的方法去解決。6.已知函數(shù)極限且函數(shù)表達(dá)式中含有字母常數(shù)，確定字母常數(shù)數(shù)值。這種題型考的可能性更大，

22、因為這種題型更能考察考生運用無窮小量階的比較和洛必達(dá)法則分析問題，解決問題的能力。例48. 設(shè)，求常數(shù)解，由，知分子是分母的同階無窮小量，得有，解得。例49. 設(shè)在存在二階導(dǎo)數(shù)，且，求。分析：這里表面上沒有字母常數(shù)，實際上就是待求的字母常數(shù)。解法一 由，得.由。于是。由。從而，得，注：求時不能用下述方法，。雖然結(jié)論對了，但過程是錯的。因為存在，推不出在的某空心鄰域內(nèi)存在且在不知是否連續(xù)，所以。解法二 由，利用在處的帶有二階余項的佩亞諾展開式，得由從而有又。于是，所以定義3.2 若，稱為駐點或穩(wěn)定點。若在處取到極值，由在處或者導(dǎo)數(shù)存在或者導(dǎo)數(shù)不存在。由費馬定理知若存在，則，從而知一定是駐點或?qū)?shù)

23、不存在的點，因此極值點一定包含在的駐點或?qū)?shù)不存在點之中，對于判斷極值點的杯疑點是否為極值點，我們有下述的方法定理3.10(取到極值的第一充分條件) 若存在，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)（不要求在處可導(dǎo)），（i）當(dāng)時，當(dāng)時，則為極大值；（ii）當(dāng)時，當(dāng)時，則為極大值；（iii）當(dāng)在兩側(cè)符號相同，則不是極值。定理3.11(取到極值的第二充分條件)（僅適合駐點）若存在且當(dāng)時，則為極小值，當(dāng)時，則為極大值。求單調(diào)區(qū)間的方法求在其定義域上的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性定理知，轉(zhuǎn)化為求大于零或小于零的區(qū)間，而這些區(qū)間的分界是極值點，又極值點的懷疑點是駐點，或?qū)?shù)不存在，根據(jù)上述的分析，我們得到了求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值的點的

24、步驟：1求出函數(shù)的定義域；2. 求出的點；3.不存在的點；4. 列表；5. 根據(jù)表中每個區(qū)間上的符號，便可確定的單調(diào)區(qū)間，通過懷疑點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號，確定懷疑是否為極值點。例50. 求的單調(diào)區(qū)間與極值。解 （1）的定義域是（2）令得（3）在內(nèi)無導(dǎo)數(shù)不存在的點。（4）列表（5）從表中可知在上嚴(yán)格遞增，在上嚴(yán)格遞減，為極大值，為極小值。注：讀者不要寫成在上嚴(yán)格遞增，如果這樣寫，就意味著有。取按上面結(jié)論應(yīng)當(dāng)有。實際上知矛盾。如果這一題僅求極值，由極值的懷疑僅是駐點，也可以不用列表法，用判斷取到極值的第二充分條件來解。解法二 由解法一 得到3為駐點，由于當(dāng)時，知為極大值。當(dāng)時， 知為極小值。例51. 求

25、的單調(diào)區(qū)間與極值.解 （1）的定義域為.（2），令解得x=1.（3）當(dāng)時，導(dǎo)數(shù)不存在。（4）列表（5）所以在和上嚴(yán)格遞增，在（0，1）上嚴(yán)格遞減，為極大值，為極小值。注：在求極值時，若極值的懷疑有導(dǎo)數(shù)不存在的點時，只能用列表法。若在閉區(qū)間上連續(xù)則必有最大值與最小值，而最大的（?。┲迭c可能會在端點取到，也可能會落入（a,b）內(nèi)部。若落入內(nèi)部，則最大（?。┲迭c一定是極值點，而極值點一定會含區(qū)間內(nèi)部的駐點或區(qū)間內(nèi)部導(dǎo)數(shù)不存在點之中，從而我們得不到求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最大與最小值的方法是(1) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大（小）值點一定包含在區(qū)間的端點或區(qū)間內(nèi)部的駐點或區(qū)間的內(nèi)部導(dǎo)數(shù)不存在點之中。(2) 若時

26、，知在a,b上遞增，則若時，知在上遞減，則(3) 若在區(qū)間X上連續(xù)，且在區(qū)間內(nèi)部取到唯一的極值，若為極大值，則為最大值；若為極小值，則為最小值。(4) 求實際問題最大值與最小值的步驟：（）全面思考問題，確認(rèn)優(yōu)化哪個量或函數(shù)，即適當(dāng)選取自變量與因就量；（）如有可能，畫出幾幅草圖顯示變量間的關(guān)系，在草圖上清楚地標(biāo)出變量；（）設(shè)法得出用上述確認(rèn)的變量表示要優(yōu)化的函數(shù)，如有必要，在公式中保留一個自變量而消去其它自變量，確認(rèn)此變量的變化區(qū)域；（）求出所有駐點或?qū)?shù)不存在的點，計算這些點和端點（如果有的話）的函數(shù)值，以求出最大與最小值。在求實際問題的最大或最小值時，如果根據(jù)題意肯定在區(qū)間內(nèi)部存在最大值或最

27、小值，且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)只有一個可能極值點（駐點或?qū)?shù)不存在的點），那么此點就是所求函數(shù)的最大（小）值點。例52. 求在區(qū)間上的最大值與最小值。解由于在閉區(qū)間上連續(xù)，必有最大值與最小值。，令得。且而在內(nèi)無導(dǎo)數(shù)不存在的點，故懷疑點為由于所以。例59 從一塊邊長為a的正方形鐵皮的四角上截去同樣大小的正方形（圖形33），然后按虛線把四邊折起來做成一個無蓋的盒子，問要截取多大的小方塊，才能使盒子的容量最大？解設(shè)x表示截去小正方形的邊長，則盒子的容積為令，解得（舍去），。由于故因此正方形的四個角各截去一塊邊長為的小正方形后，才能做成容積最大的盒 子。例53.欲制造一個容積為v的圓柱形有蓋容器，如何設(shè)計可使

28、材料最??？解設(shè)容器的高為h,底圓半徑為r（圖34），則所需材料（表面積）為由于所以代入上式，得由于令解得而故是唯一的極小值，所以它必為最小值.從而,當(dāng),時,即有蓋圓柱形容器的高與底圓直徑相等時,用料最省.9 求曲線的凹向區(qū)間與拐點 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且曲線在曲線上任意一點切線的上方,則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是上凹或下凸;如果曲線在曲線上任意一點切線的下方,則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是下凹或上凸. 設(shè)函數(shù)在具有二階導(dǎo)數(shù),那么(1)若時,有則曲線在內(nèi)是上凹的：(2)若時, 有則曲線在內(nèi)是下凹的.定義 設(shè)在的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù),且是曲線上凹與下凹的分界點,稱為曲線的拐點或變凹點。注：極值點與拐點的區(qū)別,極值點是取到極值的橫坐

29、標(biāo),拐點是曲線上的點 是一對有序數(shù)組.拐點的橫坐標(biāo)一定包含在與不存在的點之中.定理 設(shè)在的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù),若在兩側(cè)的符號相反,則為曲線的拐點.求曲線的凹向區(qū)間與拐點的步驟:(1)求出的定義域;(2)求出的點;(3)求出不存在的點;(4)列表;(5)討論.例54.求曲線的凹向區(qū)間與拐點。解(1)的定義域是。(2)令,無解。(3)時,不存在.(4)當(dāng)時,曲線是下凹的;當(dāng)時,曲線是上凹的,所以(0,0)是曲線的拐點.10曲線的漸近線與曲線的描繪 設(shè)函數(shù)在上有意義,若存在一個已知的直線(a,b為常數(shù)),使得曲線上的動點M:當(dāng)它沿著曲線無限遠(yuǎn)離原點(即)時,點M到直線L的距離d趨于0, 則稱直線L是曲線當(dāng)

30、時的斜漸近線.1求斜漸近線的方法若(常數(shù)),(常數(shù))，則是y=當(dāng)(包括或)時的斜漸進(jìn)線。如果的極限不存在,并不能表明沒有斜漸近線,還應(yīng)當(dāng)分別考慮或的情況,比如(常數(shù)),(常數(shù))，則是y=當(dāng)時的斜漸近線,或時,的極限都不存在,則y=沒有斜漸近線.特別地時,稱為當(dāng)時的水平漸近線.水平漸近線已包含在斜漸近線之中.如果直接問你有沒有水平漸近線,只要看是否存在. 若曲線上點M沿著曲線無限遠(yuǎn)離原點時,M到直線距離的極限為零，則稱x=是曲線的垂直漸近線或鉛垂?jié)u近線.由定義可知是鉛垂?jié)u近的充 條件是從而求鉛垂?jié)u近線,先找,使(或或),因此 ,若是初等函數(shù)，且在處沒定義且，則是懷凝點，再看是否為，若是分段函數(shù)，

31、則分界點是懷凝點，再看是否為，然后斷定是否為鋁垂?jié)u近線。函數(shù)圖形的描繪利用導(dǎo)數(shù)，我們可以求出函數(shù)在定義域上的單調(diào)區(qū)間、極值點、凹向區(qū)間、拐點、漸近線，從而可以比較準(zhǔn)確地描繪出函數(shù)的圖形，作圖的一般步驟為：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）研究函數(shù)的奇偶性、周期性；（3）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（4）確定函數(shù)的凹向區(qū)間與拐點；（5）求出函數(shù)的所有漸近線（如果有的話）；（6）再描出一些點，如曲線與坐軸的交點，每個單調(diào)整區(qū)間和凹向區(qū)間再描幾個點，當(dāng)趨于端點或時，函數(shù)值的變化趨勢。注意：若曲線有漸近線，應(yīng)首先畫出漸近線，而（3），（4）兩步通常合在一起用列表法。圖3-5例55.描繪函數(shù)的圖形。解（1）函

32、數(shù)的定義域為（。（2）函數(shù)非奇偶。（3）令。（4）令。列表（5），所以直線x=1是曲線的垂直漸近線，又所以直線時的斜漸近線。（6）曲線經(jīng)過（3，0），（0，）。根據(jù)上面的討論，作出函數(shù)圖形（圖35）。五、第三章習(xí)題解答4利用中值定理證明下列不等式：（1）證 由拉格朗日定理得（介于之間）。（2）當(dāng)及時，證 由拉格朗日定理得其中由于所以于是證 由拉格朗日定理得其中證 由拉格朗日定理得其中于是7證明：導(dǎo)函數(shù)為常數(shù)的唯一函數(shù)是線性函數(shù)證 由條件，得所以故其中是某一常數(shù).8證明其中證 設(shè)由于在上連續(xù)，時故在區(qū)間上是常值函數(shù)。所以（0為常數(shù)）在區(qū)間內(nèi)至多只有一個實根.證 用反證法，假設(shè)方程在區(qū)間內(nèi)至少有兩

33、個不同的根且設(shè)知又在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理知，至少存在一點使實際上，令解得即時與相矛盾，故假設(shè)不成立，所以，方程在內(nèi)至多有一個根.13.明下列不等式：（1）當(dāng)時，證 設(shè)當(dāng)時，由在上連續(xù)，時，知在上嚴(yán)格遞增，所以或當(dāng)時，在上連續(xù)，時，所以在上嚴(yán)格遞減，有或,總之，當(dāng)時，（2）當(dāng)時，證 先證只要證設(shè)由在上連續(xù)，時，知在上嚴(yán)格遞增，于是，當(dāng)時，有或再證，只要證設(shè)設(shè)由在上連續(xù)，時知在上嚴(yán)格遞增，于是，當(dāng)時，有或即總之，時，（3）當(dāng)時，證 要證原不等式成立，只要證設(shè)由只要證時，都有（1）成立，由在（0，上連續(xù)，時，已知時，知所以，在（0，）上嚴(yán)格遞減，故時，即不等式（1）成立，由每一步可逆，因此原

34、不等式成立.在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)二階可導(dǎo)，過點A（0，f(0)與B（1，f(1)）的直線與曲線相交于點其中證明在內(nèi)至少存在一點使證 由在上滿足拉格朗日定理的條件，則至少存在一點，使同理，至少存在一點使由條件知對在上應(yīng)用羅爾理知至少存在一點使習(xí)題 3-21、下列函數(shù)極限：（2）解（4）解1、 求下列函數(shù)的極限：（2）解 由于設(shè)于是所以原式（3）解而所以原式（5）解4、求下列函數(shù)極限：（2）解7、試確定常數(shù)a,b，使解由得解得于是所以8、己知求解由得知于是因此得習(xí)題 3-32、寫出下列函數(shù)在指定點處的泰勒公式在處，3階；解，得于是習(xí)題3-4（2）在橢圓中，嵌入有最大面積而平行于橢圓軸的矩

35、形。解 如圖3-2所示，由于點M（x,y）在橢圓上，故適合方程。解之，得于是按題設(shè)，求函數(shù)當(dāng)為可值時最大，記與有相同的極值，但則（不適合），當(dāng)時，有故為最大面積，此時矩形的邊為和（3）從直徑為的圓形樹干切出橫斷面為知矩形的梁，此矩形的底等于，高等于若梁的強度與成正比例，問梁的尺寸為如何時，其強度最大。解 由于故從而考慮函數(shù)何時取得最大值。由于令得此時的值最大。因此，所求的矩形的底為高為（4）半徑為R的半球中，嵌入有最大體積的底為正方形的直角平行六面體。解 設(shè)底邊之一半為，則按題設(shè)，有其中為平行六面體高之一半。解之，得由題意求函數(shù)何時取最大值。令得此時經(jīng)判別知，值為最大。因此，所求的直角平行六面

36、體之底、寬、高分別為而最大體積為習(xí)題 3-61.討論下列函數(shù)性態(tài)并作圖：（1）解令得或令得列表當(dāng)時時，時，圖形對稱于原點。如圖3-9所示。（2）解 零點處間斷點：及漸近線：及以替代的絕對值不變，符號改變，故圖形關(guān)于原點對稱。令無實根。令得經(jīng)判別知：無極值，為拐點（圖3-10）列表（3）解 零點處：間斷點：垂直漸線：斜漸近線：事實上，令得或5。令得列表當(dāng)時，當(dāng)時，（圖3-11）。（4）解 圖形關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱。零點處：間斷點：令得當(dāng)時。令得或列表近漸線：當(dāng)時。當(dāng)時，圖形如圖3-12所示。（5）解 圖形關(guān)于軸對稱。在軸的上方。漸近線：令得經(jīng)過點，導(dǎo)數(shù)從正變負(fù)，所以當(dāng)時取極大值令得經(jīng)判別為拐點，而

37、圖形如圖3-13所示。圖中主要點的坐標(biāo)：習(xí)題3-79、設(shè)某種商品的單價為時，售出的商品數(shù)量Q可表示成其中均為正數(shù)，且（1）求在何范圍變化時，使相應(yīng)銷售額增加或減少；（2）要使銷售額最大，商品單價應(yīng)取何值？最大銷售額為多少？解 （1）設(shè)售出商品的銷售額為R，則令得當(dāng)時，所以隨單價的增加，相應(yīng)的銷售額也增加。當(dāng)時，所以隨單價的增加，相應(yīng)的銷售額將減少。（2）由（1）可知，當(dāng)時，銷售額R取得最大值，最大值銷售額為11、設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為需求函數(shù)為其中C為成本，為需求量（即產(chǎn)量），為單價，都是正的常數(shù)，且求：（1）利潤最大時利潤；（2）需求對價格的彈性；（2）需求對價格彈性的絕對值為1時的產(chǎn)量。解 （1）利潤函數(shù)為令得由于所以當(dāng)時，利潤最大，最大值（2）因為所以需求對價格的彈性為（3）由得復(fù)習(xí)題三5 證明：若，則在（0，1）內(nèi)必有某個使得.證 設(shè)