天津?qū)Ｓ酶呖紨?shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專(zhuān)題06數(shù)列分項(xiàng)練習(xí)理

1、一基礎(chǔ)題組1.【2005天津，理13】在數(shù)列中，且則_?！敬鸢浮?600【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，因此，數(shù)列的奇數(shù)各項(xiàng)都是1，偶數(shù)項(xiàng)成公差為2的等差數(shù)列本題答案填寫(xiě)：26002.【2006天津，理7】已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，設(shè)（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于（）A55 B70C85D100【答案】C3.【2006天津，理16】設(shè)函數(shù)，點(diǎn)表示坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若向量，是與的夾角，（其中），設(shè)，則=【答案】1【解析】設(shè)函數(shù)，點(diǎn)表示坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若向量=，是與的夾角，（其中），設(shè)，則=14.【2007天津，理8】設(shè)等差數(shù)列的公差不為0.若是與的等比中項(xiàng)，則( )A.2B

2、.4【答案】B【解析】5.【2007天津，理13】設(shè)等差數(shù)列的公差是2，前項(xiàng)的和為則.【答案】3【解析】根據(jù)題意知代入極限式得6.【2008天津，理15】已知數(shù)列中，則.【答案】【解析】所以.是3a與3b的等比中項(xiàng),則的最小值為（ ）A.8 B.4 C.1 D.【答案】B【解析】是3a與3b的等比中項(xiàng)3a·3b33a+b3a+b1,a0,b0,.8.【2010天津，理6】已知an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和，且9S3S6，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為() A.或5 B.或5 C. D. 【答案】C9S3S3S3·q3得q38，解得q2.是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列其前5

3、項(xiàng)和為9.【2011天津，理4】已知為等差數(shù)列，其公差為-2，且是與的等比中項(xiàng)，為的前項(xiàng)和，則的值為A-110 B-90 C90 D110【答案】D.【解析】，解之得，.10.【2014天津，理11】設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和若成等比數(shù)列，則的值為_(kāi)【答案】【解析】試題分析：依題意得，解得考點(diǎn)：1等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式11.【2017天津，理18】（本小題滿(mǎn)分13分）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，（）求和的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】（），；（）由，可得 由，可得 ，聯(lián)立，解得，由此可得所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式

4、為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和【名師點(diǎn)睛】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)和公差或公比，進(jìn)而寫(xiě)出通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，這是等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本要求，數(shù)列求和的方法有倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法和分組求和法等，本題考查的是錯(cuò)位相減法求和二能力題組1.【2005天津，理18】已知：。（）當(dāng)a = b時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（）求?！敬鸢浮浚ǎ┤?， ,若，則（）當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)， 【解析】解：（I）當(dāng)時(shí)，它的前項(xiàng)和 兩邊同時(shí)乘以，得 當(dāng)時(shí)，設(shè)（），則：此時(shí)：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，2.【2006天津，理21】已知數(shù)列滿(mǎn)足

5、，并且（為非零參數(shù)，）（1）若成等比數(shù)列，求參數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，證明；當(dāng)時(shí)，證明.【答案】 （1）（2）（I）詳見(jiàn)解析，（II）詳見(jiàn)解析（III）證明：當(dāng)時(shí)，由（II）可知 又由（II）則 從而 因此3.【2012天津，理18】已知an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b427，S4b410(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)記Tnanb1an1b2a1bn，nN*，證明Tn122an10bn(nN*)【答案】(1) an3n1，bn2n， (2) 詳見(jiàn)解析【解析】解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q由a1b12，得a423d，b42q

6、3，S486d由條件，得方程組解得所以an3n1，bn2n，nN*(方法二：數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)n1時(shí)，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即Tk122ak10bk，則當(dāng)nk1時(shí)有：Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1ak1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112，即Tk1122ak110bk1，因此nk1時(shí)等式也成立由和，可知對(duì)任意nN*，Tn122an10bn成立4.【2013天津，理19】已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S

7、n(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Tn(nN*)，求數(shù)列Tn的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值【答案】（）；（）最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為.【解析】解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)镾3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是.故.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大，所以S2Sn1，故.綜上，對(duì)于nN*，總有.所以數(shù)列Tn最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為.5.【2014天津，理19】已知和均為給定的大于1的自然數(shù)設(shè)集合，集合（）當(dāng)，時(shí)，用列舉法表示集合；（）設(shè)，其中證明：若，則【答案】（）；（）詳

8、見(jiàn)試題分析【解析】試題分析：（）當(dāng)時(shí)，采用列舉法可得集合；（）先由已知寫(xiě)出及的表達(dá)式：，再作差可得，放縮考點(diǎn)：1集合的含義與表示；2等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式；3不等式的證明6. 【2015高考天津，理18】（本小題滿(mǎn)分13分）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且成等差數(shù)列.(I)求的值和的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(I) ; (II) .【解析】(I) 由已知，有，即，所以，又因?yàn)?，故，由，得，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的通項(xiàng)公式為 所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列定義、等比數(shù)列及前項(xiàng)和公式、錯(cuò)位相減法求和.三拔高題組1.【2007天津，理21】在數(shù)列中N其中.(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(II)求數(shù)列

9、的前項(xiàng)和；(III)證明存在N使得對(duì)任意N均成立.【答案】(I)(II) 當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，(III)證明(略)【解析】(I)解法一：，.這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知，等式對(duì)任何N都成立.解法二：由N可得學(xué)*所以所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為(II)解：設(shè) 當(dāng)時(shí)，式減去式，得這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和當(dāng) 時(shí)，這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和所以式成立.因此，存在使得對(duì)任意N均成立.2.【2008天津，理22】在數(shù)列與中，數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足,為與的等比中項(xiàng)，.（）求的值；（）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（）設(shè). 證明：.【答案】（I）（II），（）詳見(jiàn)解析【解析】（）解：由題設(shè)有，解得由題設(shè)又有，解得（）解法一：由題設(shè)，及

10、，進(jìn)一步可得，猜想，先證，當(dāng)時(shí)，等式成立當(dāng)時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1當(dāng)時(shí)，等式成立（2）假設(shè)時(shí)等式成立，即，由題設(shè)，這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式也成立根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何的都成立解法二：由題設(shè)的兩邊分別減去的兩邊，整理得，所以，將以上各式左右兩端分別相乘，得，化簡(jiǎn)得，由（），上式對(duì)也成立所以，上式對(duì)時(shí)也成立以下同解法二，可得，（）證明：當(dāng)，時(shí)，注意到，故從而時(shí)，有總之，當(dāng)時(shí)有，即3.【2009天津，理22】已知等差數(shù)列an的公差為d(d0),等比數(shù)列bn的公比為q(q1).設(shè)Sna1b1+a2b2+anbn,Tna1b1a2b2+(1)n1anbn,nN*.(1)若a1b11,d2,q3

11、,求S3的值;(2)若b11,證明,nN*;(3)若正整數(shù)n滿(mǎn)足2nq,設(shè)k1,k2,kn和l1,l2,ln是1,2,n的兩個(gè)不同的排列,證明c1c2.分析:本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證能力及綜合分析和解決問(wèn)題的能力.【答案】（）55.；（）詳見(jiàn)解析；（）詳見(jiàn)解析所以,(1q)S2n(1+q)T2n(S2nT2n)q(S2n+T2n)2d(q+q3+q2n1),nN*.(3)證明:(k1l1)db1+(k2l2)db1q+(knln)db1qn1.因?yàn)閐0,b10,所以.若knln,取in.若knln,取i滿(mǎn)足kili,且

12、kjlj,i+1jn.由,及題設(shè)知,1in,且.()當(dāng)kili時(shí),得kili1.由qn,得ktltq1,t1,2,i1,即k1l1q1,(k2l2)q(q1)q,(ki1li1)qi2(q1)qi2.又(kili)qi1qi1,所以.因此c1c20,即c1c2.()當(dāng)kili時(shí),同理可得1,因此c1c2.綜上,c1c2.4.【2010天津，理22】在數(shù)列an中，a10，且對(duì)任意kN*，a2k1，a2k，a2k1成等差數(shù)列，其公差為dk.(1)若dk2k，證明a2k，a2k1，a2k2成等比數(shù)列(kN*)；(2)若對(duì)任意kN*，a2k，a2k1，a2k2成等比數(shù)列，其公比為qk.若q11，證明是

13、等差數(shù)列；若a22，證明2n2(n2)【答案】(1)詳見(jiàn)解析， (2) 詳見(jiàn)解析，詳見(jiàn)解析(2)法一：由a2k1，a2k，a2k1成等差數(shù)列，及a2k，a2k1，a2k2成等比數(shù)列，得2a2ka2k1a2k1，2qk.當(dāng)q11時(shí)，可知qk1，kN*.從而1，即 (k2)，所以是等差數(shù)列，公差為1.由a10，a22，可得a34，從而q12，1.由有1k1k，得qk，kN*.所以.從而，kN*.因此a2k····a2··22k2.a2k1a2k·2k(k1)，kN*.以下分兩種情況進(jìn)行討論：()當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n2m(mN*)若

14、m1，則2n2.若m2，則2m2m2m2(m1) (1)2n.所以2n，從而2n2，n4,6,8，.綜合()和()可知，對(duì)任意n2，nN*，有2n2.法二：由題設(shè)，可得dka2k1a2kqka2ka2ka2k(qk1)，dk1a2k2a2k1 a2kqka2ka2kqk(qk1)，所以dk1qkdk.qk1.由q11可知qk1，kN*，可得1.所以是等差數(shù)列，公差為1.因?yàn)閍10，a22，所以d1a2a12.所以a3a2d14，故qk.從而qk.所以···k.由d12，可得dk2k.于是，由(1)可知a2k12k(k1)，a2k2k2，kN*.以下同法一5.【2011天津，理20】已知數(shù)列與滿(mǎn)足：， ，且（）求的值；（）設(shè)，證明：是等比數(shù)列；（III）設(shè)證明：【答案】（）；（）詳見(jiàn)解析；（）詳見(jiàn)解析【解析】（I）解：由 可得因此是等比數(shù)列.（III）證明：由（II）可得，于是，對(duì)任意，有將以上各式相加，得即，此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由式得從而所以，對(duì)任意，對(duì)于n=1，不等式顯然成立.所以，對(duì)任意6. 【2016高考天