抽樣區(qū)間估計(jì)與樣本容量計(jì)算釋疑

1、抽樣區(qū)間估計(jì)與樣本容量計(jì)算釋疑  抽樣推斷是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本方法之一，也是統(tǒng)計(jì)學(xué)原理的重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容之一。抽樣調(diào)查特點(diǎn)、抽樣平均誤差影響因素、抽樣參數(shù)估計(jì)、抽樣樣本容量確定等構(gòu)成了這一章的重點(diǎn)內(nèi)容，而其中的參數(shù)估計(jì)與樣本容量確定則是計(jì)算的重點(diǎn)。本文擬通過案例與初學(xué)者談?wù)勅绾芜M(jìn)行抽樣估計(jì)，如何確定樣本容量。 例1某市統(tǒng)計(jì)部門為了解全市居民年消費(fèi)支出情況，從全市20萬戶居民中隨機(jī)抽取1000戶居民進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)計(jì)算平均每戶年生活費(fèi)支出為1.8萬元，標(biāo)準(zhǔn)差0.9萬元。 要求：以95.45%(t=2)的概率保證程度估計(jì)戶均生活費(fèi)支出的區(qū)間。 估計(jì)全市居民消費(fèi)總支出區(qū)間。解題過程已知 戶均年支出區(qū)間：

2、1.8-0.056,1.8+0.056萬元=1.744,1.856萬元 全市居民消費(fèi)總支出區(qū)間：20萬戶×1.744,1.856萬元=3.488,3.712億元 幾點(diǎn)說明（1）一般而言，抽樣區(qū)間估計(jì)的基本步驟是：點(diǎn)估計(jì)、平均誤差、極限誤差、置信區(qū)間。本例就是標(biāo)準(zhǔn)的均值參數(shù)區(qū)間估計(jì)題型。由于樣本均值與標(biāo)準(zhǔn)差是已知的，所以無需計(jì)算點(diǎn)估計(jì)值。（2）本題計(jì)算時，必須注意“方差”與“標(biāo)準(zhǔn)差”的區(qū)別，不要將標(biāo)準(zhǔn)差當(dāng)作方差來使用。（3）社會經(jīng)濟(jì)問題抽樣調(diào)查一般都是采用不重復(fù)抽樣的，只有當(dāng)總體單位總數(shù)N未知或n/N的比重很低時，才可以采用重復(fù)抽樣平均誤差公式來計(jì)算平均誤差。（4）估計(jì)總量指標(biāo)時，可直

3、接將樣本均值的區(qū)間乘上全及總體單位總數(shù)N即可。 例2某企業(yè)為了解本市居民對某類保健品的看法，采用簡單隨機(jī)抽樣方式，從全市居民戶中隨機(jī)抽取500人進(jìn)行調(diào)查結(jié)果如下：對該類保健品的態(tài)度人數(shù)喜歡320一般性100不喜歡80合計(jì)500要求：以95%的可靠性估計(jì)全市居民中“喜歡”該產(chǎn)品的比率（t=1.96）。解題過程已知 喜歡該類保健品者的比率置信區(qū)間為： 64%-4.21%,64%+4.21%=59.79%,68.21%幾點(diǎn)說明（1）本例是標(biāo)準(zhǔn)的成數(shù)區(qū)間估計(jì)題型。其基本步驟同樣是：點(diǎn)估計(jì)、平均誤差、極限誤差、置信區(qū)間。（2）成數(shù)區(qū)間估計(jì)時最容易犯的錯誤就是：將N、n、n1相混淆。其實(shí)，若用文字表述，應(yīng)

4、該是“從N中隨機(jī)抽取n個單位進(jìn)行觀察，有n1個單位是（具有某種特征）”。并且，不要將抽樣估計(jì)中提供的“可靠性水平”當(dāng)作公式中的P來使用?！翱煽啃运健敝翟谟?jì)算時沒有其它用途，只告訴我們概率密度t的具體取值。（3）本例沒有提供全市居民總?cè)藬?shù)，所以N可視作“無窮大”。所以采用重復(fù)抽樣的平均誤差公式計(jì)算抽樣誤差。 例3某企業(yè)擬采用抽樣技術(shù)對當(dāng)天生產(chǎn)的5000件電子產(chǎn)品的耐用時間進(jìn)行測試，要求有99%的可靠性（t=2.58）使耐用時間的誤差范圍不超過20小時。根據(jù)生產(chǎn)規(guī)格要求，這類電子產(chǎn)品耐用時數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差不超過150小時。問：至少應(yīng)該抽取多少件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢查（分別重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣兩種情況）。 解

5、題過程已知N=5000，t=2.58，x=20,=150幾點(diǎn)說明（1）本例是樣本容量確定的標(biāo)準(zhǔn)題型之一。樣本容量確定其實(shí)是極限誤差計(jì)算（參數(shù)估計(jì)）的反問題，因此其公式就是根據(jù)極限誤差與平均誤差之間的關(guān)系推導(dǎo)而來的。因?yàn)閤=tx,等式兩邊平方，即有x2=t2x2，在簡單隨機(jī)抽樣情況之下，x2=t22/n ，從而有上述的公式。（2）對于成數(shù)的抽樣估計(jì)，是非標(biāo)志的方差p2=P(1-P),故只要將上述公式中的方差改為P（1-P）即可。（3）樣本容量估計(jì)時，計(jì)算結(jié)果總是取整數(shù)，小數(shù)點(diǎn)無論是否達(dá)到0.5均應(yīng)該進(jìn)位，故本列中374.4與348.3均進(jìn)位，分別成為375與349。（4）在樣本容量確定時，允許誤

6、差或誤差范圍均是指極限誤差。例4某市質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督部門擬對市場上某類牛奶制品的質(zhì)量（合格率）進(jìn)行檢查，要求在95%的可靠性之下(t=1.96)，合格率的誤差范圍不超過1%。根據(jù)最近三次同類檢查，這類產(chǎn)品的合格率分別為98.9%、98.2%、97.8%。問至少應(yīng)該抽多少件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)？若允許誤差擴(kuò)大1倍，則應(yīng)該抽取多少件進(jìn)行檢驗(yàn)？ 解題過程已知t=1.96，p=1%,P=97.8%當(dāng)允許誤差擴(kuò)大1倍時，即p=2%，于是樣本容量：  幾點(diǎn)說明（1）本例是成數(shù)估計(jì)時的樣本容量確定。雖然實(shí)際的質(zhì)量檢驗(yàn)肯定是采用不重復(fù)抽樣的，但由于市場上該類產(chǎn)品數(shù)量未知，可視作無窮大，故采用重復(fù)抽樣的

7、樣本容量公式。（2）本例的關(guān)鍵是公式中P的選擇。題中提供了三次同類檢查的合格率資料，但一般不能用三者平均數(shù)作為P。樣本容量確定時通常采取“保守原則”，因此應(yīng)該取“最大方差”，題中提供的三次調(diào)查合格率，其方差分別為98.9%（1-98.9%）=0.010879、98.2%(1-98.2%)=0.011784、97.8%(1-97.8%)=0.021516，故取P=97.8%時方差達(dá)到最大，據(jù)之計(jì)算得出的樣本容量也最大，據(jù)之作出的調(diào)查估計(jì)也是“最保守”從而也是最可靠的。（3）但必須注意的是，此例表面上看是取三個合格率的最小者作為P，但切不可據(jù)之類推，以為永遠(yuǎn)是最小的那個比率。例如，本例若改為對“不

8、合格率“的估計(jì)，則前三次調(diào)查的不合格率是1.1%、1.8%、2.2%，若錯誤地認(rèn)為應(yīng)該取三者中的小者，就會取P=1.1%，但據(jù)之計(jì)算的方差卻不是最大而是最小。此時取P=2.2%才可達(dá)到“方差最大”。其實(shí)，P=50%時成數(shù)方差達(dá)到最大值，因此，應(yīng)該取最接近50%的那個比率作為樣本容量公式中的P。（4）對于例3資料，其實(shí)也存在著“最大方差”原則問題，即當(dāng)資料中給出了近幾次類似調(diào)查的樣本方差，則也應(yīng)該取其中最大者作為公式中的方差。（5）當(dāng)同一次調(diào)查需要對兩個以上的項(xiàng)目（如平均值與成數(shù)）進(jìn)行估計(jì)時，應(yīng)該分別計(jì)算這些項(xiàng)目的必要樣本容量，然后取其中之大者作為最終確定的抽樣單位數(shù)。 例5對于簡單隨

9、機(jī)重復(fù)抽樣，在其它條件不變的情況之下，（1）抽樣單位數(shù)（樣本容量）分別增加1倍、3倍、減少25%、50%，則抽樣平均誤差分別如何變化；（2）反之，若抽樣允許誤差縮小20%、50%、擴(kuò)大50%、100%，則抽樣單位數(shù)（樣本容量）應(yīng)該如何變化？解題過程（1）設(shè)改變要求之前的樣本容量為n舊，平均誤差記為舊，則當(dāng)樣本容量分別增加1倍、3倍、減少25%、50%時，相應(yīng)的n將分別為：n=2n舊、n=4n舊、n=0.75n舊、n=0.5n舊，相應(yīng)抽樣平均誤差分別為：  即樣本容量擴(kuò)大一倍，平均誤差減少29.29%。   即樣本容量擴(kuò)大3倍，抽樣平均誤差減少50%。 

10、即樣本容量減少25%，抽樣平均誤差擴(kuò)大15.47%。 即樣本容量減少50%，抽樣平均誤差擴(kuò)大41.42%。（2）設(shè)改變要求之前的允許誤差記為舊，相應(yīng)的樣本容量記為n舊，則當(dāng)抽樣允許誤差縮小20%、50%、擴(kuò)大50%、100%，時，相應(yīng)的分別為：=0.8舊，=0.5舊，=1.5舊，=2舊，相應(yīng)樣本容量為： 即允許誤差減少20%，樣本單位數(shù)應(yīng)該擴(kuò)大0.5625倍。 即允許誤差減少一半，樣本單位數(shù)應(yīng)該擴(kuò)大3倍。 即允許誤差擴(kuò)大50%，樣本單位數(shù)可以減少55.56%。 即允許誤差擴(kuò)大1倍，樣本單位數(shù)可以減少75%。 幾點(diǎn)說明（1）本題是測試學(xué)生對樣本容量與抽樣平均誤差（或極限誤差）之間數(shù)量關(guān)系掌握的熟練程度。因此，本題關(guān)鍵是搞清楚在重復(fù)簡單