有限元復(fù)習(xí)題

1、1、 線性彈性力學(xué)中一般哪些基本假設(shè) ?什么是理想彈性體？2、 線彈性材料物體內(nèi)任意一點(diǎn)，一定存在三個(gè)相互垂直的主應(yīng)力1、2、3，假設(shè)材料的柏松比為，彈性模量為E，則三個(gè)應(yīng)變1、2、3可以表達(dá)為：3、 彈性力學(xué)基本方程的導(dǎo)出，可從三方面分析： 通過平衡微分方程建立了應(yīng)力、體力和面力之間的關(guān)系。通過幾何方程建立了應(yīng)變、位移和邊界位移之間的關(guān)系。通過物理方程建立了應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系。4、 寫出并理解彈性力學(xué)的基本方程。a平衡微分方程：b幾何方程：1.平面問題中的幾何方程：2.空間問題的幾何方程：c、物理方程：或者： 為體積應(yīng)變即：簡寫成：=D 式中D稱為彈性矩陣，它完全由彈性常數(shù)E 和 決定。4

2、、請(qǐng)表述如圖所示邊界條件：5、如圖所示的線彈性材料可以歸結(jié)為：平面應(yīng)力問題，其不為零的應(yīng)力分量有：6、 如圖所示的線彈性材料可以歸結(jié)為：平面應(yīng)變問題，其不為零的應(yīng)變分量有：x，y，xy7、 描述并理解平面問題的基本方程平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題都只有8 個(gè)獨(dú)立的未知量，它們只是x 和y 的函數(shù)，因此統(tǒng)稱平面問題。 1.平面問題的平衡微分方程2.平面問題中的幾何方程：3.a.平面應(yīng)力問題中的物理方程：記作=D 其中D為彈性矩陣。b.平面應(yīng)變問題中的物理方程：記作=D 其中D為彈性矩陣。比較兩種平面問題的彈性矩陣，可以發(fā)現(xiàn)，將平面應(yīng)力問題物理方程中的彈性常數(shù)E、 換成就可得到平面應(yīng)變問題物理方程。

3、8、結(jié)構(gòu)的分類與基本特征（1） 按結(jié)構(gòu)在空間的位置分 結(jié)構(gòu)可分為平面結(jié)構(gòu)和空間結(jié)構(gòu)兩大類(2) 按結(jié)構(gòu)元件的幾何特征分桿系結(jié)構(gòu)：梁、拱、桁架、剛架、桁構(gòu)結(jié)構(gòu)等 。板殼結(jié)構(gòu)實(shí)體結(jié)構(gòu)實(shí)體結(jié)構(gòu)的長、寬、高三個(gè)尺寸都很大，具有同一量級(jí)。 混合結(jié)構(gòu) (3) 按結(jié)構(gòu)自由度分 靜定結(jié)構(gòu)自由度為零的幾何不變結(jié)構(gòu)。 超靜定結(jié)構(gòu)自由度小于零的幾何不變結(jié)構(gòu)。9、結(jié)構(gòu)對(duì)稱性的利用對(duì)稱結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱載荷下，對(duì)稱軸截面上只能產(chǎn)生正對(duì)稱的位移，反對(duì)稱的位移為零；對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱載荷下，對(duì)稱軸截面上只有反對(duì)稱的位移，正對(duì)稱的位移為零。10、自由度計(jì)算公式(1)桁架自由度計(jì)算公式 桁架中的結(jié)點(diǎn)數(shù)為j，桿件數(shù)為g，支座鏈桿數(shù)為z，

4、則桁架的自由度W 為平面桁架空間桁架(2) 平面混合結(jié)構(gòu)的自由度計(jì)算公式設(shè)單鉸數(shù)為j，桿件（剛片）數(shù)為m，支座鏈桿數(shù)為z，則：一個(gè)平面體系的自由度計(jì)算結(jié)果，不外下述三種可能： a. W0 表明結(jié)構(gòu)缺少必要的約束， 可運(yùn)動(dòng)， 故結(jié)構(gòu)必定是幾何可變體系。 b. W=0 表明結(jié)構(gòu)具有保證幾何不變所需的最少的約束數(shù)。 c. W0 表明結(jié)構(gòu)具有多余約束。 11、平面結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析（判定結(jié)構(gòu)的幾何不變性）12、空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析（判定空間結(jié)構(gòu)的幾何不變性）13、彈性力學(xué)邊值問題的基本解法？根據(jù)彈性力學(xué)基本方程，只要給出邊界條件，理論上完全可以解出空間問題共十五個(gè)未知量，平面問題八個(gè)未知量。這種問題在數(shù)

5、學(xué)上叫做微分方程的邊值問題。三種基本解法： 按應(yīng)力求解：按應(yīng)力求解以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，先求應(yīng)力分量，再求其它未知量，是超靜定問題，需要補(bǔ)充變形協(xié)調(diào)條件。按位移求解：以位移分量為基本未知函數(shù)，此時(shí)應(yīng)通過物理方程和幾何方程將平衡微分方程改用位移分量表達(dá)。應(yīng)力邊界條件也可以用位移分量表達(dá)，按位移求解時(shí)，彈性力學(xué)問題可以包括位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件。混合求解：以一部分應(yīng)力分量為基本未知量，再以一部分位移分量為基本未知量，即建立變形協(xié)調(diào)方程，又建立內(nèi)力平衡方程，最后加以求解。14、什么是虛位移原理？虛位移原理：物體平衡時(shí)， 作用在物體上的所有外力在物體所能發(fā)生的任何一組虛位移上所作虛功的代數(shù)和等

6、于零。15、什么是虛功方程？矩陣表達(dá)式為式中*為虛位移列陣，F(xiàn)為外力列陣，*為虛應(yīng)變列陣，為應(yīng)力列陣。16、什么是位移變分方程，也稱拉格朗日變分方程？17、什么是極小勢能原理？對(duì)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，實(shí)際發(fā)生的位移使彈性體的勢能取極小值。極小勢能原理與虛功方程、拉格朗日變分方程是完全等價(jià)的。18、有限元法求解問題的基本步驟？1 建立幾何模型 2 連續(xù)體離散化 3單元分析 4整體分析和5邊界條件的處理6施加載荷7、有限元方程求解8結(jié)果后處理和分析19、主要的單元類型有哪些？桿狀單元：包括平面（空間）桿單元、梁單元平面單元：常見的平面單元有三角形單元和四邊形單元，矩形單元是經(jīng)常采用的特殊的四邊形單元。

7、彈性力學(xué)平面問題根據(jù)其應(yīng)力與應(yīng)變特點(diǎn)分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題，在進(jìn)行有限元分析時(shí)他們所采用的基本單元是相同的，區(qū)別僅在于彈性矩陣不同。 平面單元屬于二維單元，只能承受單元平面內(nèi)的分布力和集中力，不能承受面外載荷。薄板彎曲單元和薄板單元：薄板彎曲單元通常也有三角形單元和四邊形單元兩種，矩形單元為后者的特殊形式，通常三角形單元有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，四邊形單元有四個(gè)節(jié)點(diǎn)。主要承受橫向載荷和繞水平軸的彎矩。多面體單元：常用的三維多面體單元有四節(jié)點(diǎn)四面體單元和八節(jié)點(diǎn)六面體單元，六面體單元有規(guī)則六面體和不規(guī)則六面體。20、什么是等參單元？把單元形狀的變化和單元內(nèi)位移函數(shù)的變化用相同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)參數(shù)和相同的插值函

8、數(shù)進(jìn)行變換，即所謂等參變換，采用等參變換的單元稱為等參單元。 21、什么條件下可以按軸對(duì)稱問題處理？在一些實(shí)際問題中，如飛輪、轉(zhuǎn)軸、活塞、汽缸套等都是回轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)，如果約束條件和載荷都對(duì)稱于回轉(zhuǎn)軸，其應(yīng)力、應(yīng)變和位移也都對(duì)稱于回轉(zhuǎn)軸線，這類應(yīng)力應(yīng)變問題稱為軸對(duì)稱問題。22、如何構(gòu)建單元插值函數(shù)？在有限元分析中一般都采用多項(xiàng)式作為插值函數(shù)，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)由所選取的單元和單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)決定。23、掌握三角形三節(jié)點(diǎn)單元和四節(jié)點(diǎn)四邊形單元的插值函數(shù)和形函數(shù)的構(gòu)造和推導(dǎo)。三角形三節(jié)點(diǎn)單元：三角形插值函數(shù)：代入節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)1（a，0），點(diǎn)2（a，a），點(diǎn)3（0，0）， 解得：故 所以即：其中：寫成矩陣形式：其中：根

9、據(jù)根據(jù)平面問題幾何方程：其中：根據(jù)平面應(yīng)力問題的物理方程其中式中S=DB為應(yīng)力矩陣，D為彈性矩陣四節(jié)點(diǎn)四邊形單元設(shè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為：i（-a,-b）, j(a,-b), l(a,b), m(-a,b)四邊形插值函數(shù)： 單元內(nèi)任一點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系可以表達(dá)為可以推導(dǎo)出其形函數(shù)為： 上式如果令： 形函數(shù)可寫如下成無量綱形式 則：根據(jù)彈性力學(xué)平面問題幾何方程，其中，代入無量綱插值函數(shù)，其中：根據(jù)彈性力學(xué)平面問題的物理方程：代入無量綱形函數(shù)：24、形函數(shù)有什么特征？形函數(shù)應(yīng)有如下特征： (1) 本節(jié)點(diǎn)上為1，其它節(jié)點(diǎn)上為0，即(2) 在單元內(nèi)任一點(diǎn)各形函數(shù)之和等于1，即這一性質(zhì)反映單元的剛體位移。

10、(3) 單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊兩端節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，而與其他節(jié)點(diǎn)無關(guān)，這一性質(zhì)可以保證相鄰單元在公共邊界上位移的連續(xù)性。 25、為了保證解的收斂性，選用的位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足下列要求: a. 單元位移函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，至少應(yīng)等于單元的自由度數(shù)。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)。至于高次項(xiàng)要選取多少項(xiàng)，則應(yīng)視單元的類型而定。 b. 單元的剛體位移狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)當(dāng)全部包含在位移函數(shù)中。 c. 單元的位移函數(shù)應(yīng)保證在單元內(nèi)連續(xù)，以及相鄰單元之間的位移協(xié)調(diào)性。 26、如何進(jìn)行載荷移置？(1) 集中力。等效載荷為 由虛功原理得到：(2) 體力。等效載荷為由虛功原理有(3) 分布面力。等效載荷為由虛功原理

11、有 27、如果一個(gè)彈性結(jié)構(gòu)被分解為1000個(gè)20節(jié)點(diǎn)六面體單元，總共有1500個(gè)節(jié)點(diǎn)，其整體剛度矩陣為多少階矩陣？28、整體剛度矩陣有什么性質(zhì)？整體剛度矩陣K具有以下性質(zhì)： (1) 整體剛度矩陣是對(duì)稱的稀疏矩陣，矩陣中各個(gè)元素都集中分布于對(duì)角線附近，形成“帶狀”， 其余元素均為零。 (2) 由于單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)角線上的元素均大于零，由整體剛度形成的方式可知，整體剛度矩陣的主對(duì)角線元素必然大于零。 (3) 未經(jīng)約束條件處理的剛度矩陣是奇異矩陣。故在求解有限元方程時(shí)，需要根據(jù)約束條件，修正結(jié)構(gòu)剛度矩陣以消除奇異性。 29、如何消除整體剛度矩陣的奇異性？整體剛度矩陣的奇異性是由于剛體位移的存在，代入邊

12、界條件可以消除剛體位移，從而消除剛體矩陣的奇異性，最終使方程可解。30、如何處理邊界條件？（1）劃行劃列法當(dāng)某一位移為零時(shí)，如 （r 為整體編號(hào)），可將整體剛度矩陣中的第r 行和第r 列劃去，同時(shí)劃掉第r 行載荷列陣和位移列陣元素，對(duì)于多個(gè)零位移條件依次處理。（2）對(duì)角線元素置1法 當(dāng)給定位移為零時(shí)，如 （r為整體編號(hào)），在整體剛度矩陣除了讓主對(duì)角元素 外，整體剛度矩陣中的第r行和第r列元素均改為零，同時(shí)在整體載荷列陣中讓。這樣修正以后，解方程時(shí)。對(duì)于多個(gè)零位移邊界條件依次處理，全部修正完畢再進(jìn)行求解。這種方法不改變?cè)瓉矸匠痰碾A數(shù)和節(jié)點(diǎn)未知量的順序，便于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)。（3）對(duì)角線元素乘大數(shù)法

13、當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移為定值，如 ，類似對(duì)角線元素置1 法，不同之處在于對(duì)角元素Krr 乘以大數(shù)a （ a 可取1010 左右數(shù)量級(jí)），并將 Fr 用aKrruc代替既可。解方程可得 ，對(duì)于多個(gè)位移依次作上述修正。也可以看到對(duì)角線元素乘大數(shù)法對(duì)于零位移同樣適用，因此此方法可適用上面提到的兩種邊界條件，而且使用簡單，編程方便，在有限元邊界條件處理中被廣泛使用。 31、進(jìn)行有限元計(jì)算后處理的目的是什么？在完成有限元計(jì)算過程之后，對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行整理和后處理，以期獲得如下輸出：第一，要得到結(jié)構(gòu)中關(guān)鍵位置力學(xué)量的數(shù)值，如最大位移、最大主應(yīng)力和主應(yīng)變、等效應(yīng)力等。第二，得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的力學(xué)量的分布，如根據(jù)計(jì)算結(jié)果

14、可以直接繪制位移分布圖，結(jié)構(gòu)邊界上節(jié)點(diǎn)位移的連線形成結(jié)構(gòu)外形的改變；對(duì)于應(yīng)力也可以繪制應(yīng)力分布圖；以及典型切面上位移、應(yīng)力和應(yīng)變的分布等。第三， 后處理得到輸入量和輸出量之間的響應(yīng)關(guān)系。第四，最后選擇前后處理結(jié)果的輸出方式，如列表輸出、圖形輸出、計(jì)算機(jī)動(dòng)畫模擬等方式。32、如果有限元計(jì)算結(jié)果不符合實(shí)際情況或者計(jì)算進(jìn)行不下去，可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤有哪些？建模過程中的每個(gè)因素都可能造成計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤或計(jì)算困難。如果計(jì)算結(jié)果不符合實(shí)際情況或者計(jì)算進(jìn)行不下去，可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤有:單元類型不對(duì)、網(wǎng)格數(shù)量太少、材料模型錯(cuò)誤、約束和載荷的施加方式不對(duì)、接觸定義有問題、網(wǎng)格質(zhì)量差、計(jì)算方法不對(duì)等，33、有限元建模的準(zhǔn)則

15、是什么？（1) 有限元模型應(yīng)滿足平衡條件。即結(jié)構(gòu)的整體和任意一單元在節(jié)點(diǎn)上都必須保持靜力平衡。 （2) 滿足變形協(xié)調(diào)條件。交匯于一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的各單元在受力變形后也必須保持匯交于同一節(jié)點(diǎn)。（3) 滿足邊界條件和材料的本構(gòu)關(guān)系。邊界條件包括整個(gè)結(jié)構(gòu)的邊界條件和單元間的邊界條件。（4) 剛度等價(jià)原則。有限元模型的抗拉壓、抗彎曲、抗扭轉(zhuǎn)、抗剪切剛度應(yīng)盡可能與原來結(jié)構(gòu)等價(jià)。（5) 認(rèn)真選取單元，包括單元類型、形狀、階次，使之能夠很好地模擬幾何形狀、反映受力和變形情況。單元類型如桿單元、梁單元、平面單元、板單元或空間單元等，空間塊體又分四面體塊單元或六面體塊單元，六面體塊單元又分八節(jié)點(diǎn)六面體或二十節(jié)點(diǎn)六面體

16、等。選取單元時(shí)應(yīng)綜合考慮結(jié)構(gòu)的類型、形狀特征、應(yīng)力和變形特點(diǎn)、精度要求和硬件條件等因素。 （6) 應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、應(yīng)力分布情況、單元的性質(zhì)、精度要求及其計(jì)算量的大小等仔細(xì)劃分計(jì)算網(wǎng)格。（7) 在幾何上要盡可能地逼近真實(shí)的結(jié)構(gòu)體，其中特別要注意曲線與曲面的逼近問題。 （8) 仔細(xì)處理載荷模型，正確生成節(jié)點(diǎn)力，同時(shí)載荷的簡化不應(yīng)該跨越主要的受力構(gòu)件。 （9) 質(zhì)量的堆積應(yīng)該滿足質(zhì)心及慣性矩等效要求。 （10) 超單元的劃分盡可能單級(jí)化并使剩余結(jié)構(gòu)最小。34、如何處理下列情況的邊界條件？對(duì)于基于位移模式的有限元法，在結(jié)構(gòu)的邊界上必須嚴(yán)格滿足已知的位移約束條件abcdef35、為什么平面三角形單元又稱

17、為常應(yīng)變單元？由于采用了線性位移函數(shù)的緣故應(yīng)變矩陣B是常量，單元內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)變分量也都是常量，故這種單元稱為常應(yīng)變?nèi)切螁卧?6、減小解題規(guī)模的常用措施有哪些？（1）合理利用對(duì)稱性和反對(duì)稱性條件（2）合理利用周期性條件（3）降維處理和幾何簡化（4）合理采用子結(jié)構(gòu)技術(shù)（5）非線性問題線形近似化（6）多種載荷工況的合并處理（7）節(jié)點(diǎn)編號(hào)的優(yōu)化37、半帶寬d=（相關(guān)節(jié)點(diǎn)號(hào)的最大差值+1）×節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)38、掌握桿單元、梁單元的插值函數(shù)和形函數(shù)構(gòu)建與推導(dǎo)。（見ppt第五章）39、如何判定結(jié)構(gòu)是否為板殼問題？需要確定厚度與其它方位尺寸的比值，如果 1/80t1/10可以歸結(jié)為板（薄殼）問題，若介于1/10 1/5 之間屬于厚殼問題，若大于 1/5 則不屬于板殼結(jié)構(gòu)問題。40、如何描述多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程？質(zhì)量矩陣M，阻尼矩陣C，剛度矩陣K41、試推導(dǎo)單元一致質(zhì)量矩陣42、如何描述三角形單元集中質(zhì)量矩陣？43、試推導(dǎo)阻尼矩陣 44、在有限單元法中，等參數(shù)單元的主要優(yōu)點(diǎn)是什么?答案：(1) 在原結(jié)構(gòu)中可以采用不規(guī)則單元，易于適應(yīng)邊界面的形狀和改變單元的大?。?2) 將不規(guī)則單元變換為規(guī)則的母單元后，易于構(gòu)造位移模式。45、有限元列式的七個(gè)步驟： 寫出節(jié)點(diǎn)的力向量和位移向量表達(dá)式： 構(gòu)造合適的位