高等教育14克萊姆法則復(fù)習(xí)過程

1、高等教育14克萊姆法則n個(gè)未知量個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組個(gè)方程的線性方程組, 在在系數(shù)行列式系數(shù)行列式不為零不為零時(shí)的時(shí)的, 稱為稱為克萊姆克萊姆(Cramer)法則法則.設(shè)一個(gè)含有設(shè)一個(gè)含有n個(gè)個(gè)未知量未知量n個(gè)個(gè)方程的線性方程組方程的線性方程組11112211211222221122(*)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 11,2,nijjija xbin或表示為或表示為1.4 克萊姆克萊姆(Cramer)(Cramer)法則法則定理定理1設(shè)線性非齊次方程設(shè)線性非齊次方程組組(*)的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式11110nnnnaaDaa則則(*)

2、有有唯一解唯一解1212,nnDDDxxxDDD111,111,111,1,1jjnjnn jnn jnnaabaaDaabaa其中其中,( j1, 2, , n)即即:jjDxD( j1, 2, , n)證明證明: (1)是解是解. (2)解唯一解唯一.(1)將將jjxDD代入代入(*)左端左端,11nijjaD111()nnijkjkjka A bD 111()nnijkjkkja A bD 111()nijkjnkjka AbD 1ib DD (*)1nijkjja A 11,2,nijjija xbinbi ( i1, 2, , n),0,kiiDk 注注(j=1,2,n)1()ijj

3、jnDDa111,111,111,1,1jjnjnn jnn jnnaabaaDaabaa又又將將Dj按第按第j列展開列展開，得，得1()nkkjkb A(2)若有一組數(shù)若有一組數(shù)x1, x2 , xn滿足滿足(*), 則則121222211121111nnnnnna xa xaaaaaxaa 1111221121211222222211222nnnnnnnnnnnnnna xa xa xaaa xa xa xaaa xa xa xaa 121222212nnnnnnaabaabbaa11(0)DxDD1212211211212nnnnnnaaaaxaaaaaD1同理同理,1,2,jjDxjn

4、DDx1DxjDj注注:用克萊姆法則解線性方程組的條件用克萊姆法則解線性方程組的條件101,2,nijjja xin 或表示為或表示為齊次線性方程組齊次線性方程組:齊次線性方程組必有零解齊次線性方程組必有零解有否非零解有否非零解？111122121122221122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xaxa xaxa x (1)方程個(gè)數(shù)未知量個(gè)數(shù)方程個(gè)數(shù)未知量個(gè)數(shù) (2)系數(shù)行列式系數(shù)行列式D0方程個(gè)數(shù)方程個(gè)數(shù)未知量個(gè)數(shù)及未知量個(gè)數(shù)及D0的情形以后討論的情形以后討論定理定理2齊次線性方程組齊次線性方程組101,2,nijjja xin當(dāng)當(dāng) 時(shí)只有零解時(shí)只有零解, 沒有非零解沒

5、有非零解.定理定理3齊次線性方程組齊次線性方程組101,2,nijjja xin有非零解有非零解, 則則注注: 定理定理3說明說明D0是齊次線性方程組有非零解的是齊次線性方程組有非零解的必要條件必要條件. 后面將證明也是充分條件后面將證明也是充分條件.即：即：齊次線性方程組齊次線性方程組 有非零解有非零解101,2,nijjja xin0DD0D0(定理定理2 2的的逆否命題逆否命題)2151130602121476D075131306021207712同理同理 D1=81, D2=108, D3=27, D4=27 x1=3, x2=4, x3=1, x4=11234124234123425

6、83692254760 xxxxxxxxxxxxxx 例例1 解線性方程組解線性方程組解解:75 1321277 123530107723372=270=1123136131151510 12Dk12341234123412342313633153510121xxxxxxxxxxkxxxxxx例例2 k取何值時(shí)取何值時(shí), 線性方程組線性方程組解解:有唯一解有唯一解?11230242046606129k 1123024200220003k 6(2k)0k2時(shí)方程組有唯一解時(shí)方程組有唯一解例例3 問問 取何值時(shí)取何值時(shí), 齊次線性方程組齊次線性方程組, 解解:有非零解的充分必要條件有非零解的充分必

7、要條件D0有非零解有非零解?1111121D 11101021 (1) 由由D0得得10 或或1231231230020 xxxxxxxxx 112233112233112233()0()0()0nnnnnnab xa xa xa xa xab xa xa xa xa xa xab x 例例4 (03考研考研) 已知齊次線性方程組已知齊次線性方程組其中其中10,niia 試討論試討論a1,a2,an和和b滿足何種關(guān)系時(shí)滿足何種關(guān)系時(shí),(1)方程組僅有零解；方程組僅有零解；(2)方程組有非零解方程組有非零解.D0D0123123123123nnnnabaaaaabaaDaaabaaaaab解解2

8、31231231231ninininininininiabaaaababaaabaabaabaaab 每行元素之和每行元素之和相同，相同，2n列加至首列列加至首列(1)b0且且 時(shí)方程組僅有零解；時(shí)方程組僅有零解；10niiab 231000000000niniabaaabbb11()nniiab b1niiba (2) b0或或 時(shí)方程組有非零解時(shí)方程組有非零解.211121312112223221123111nnnnnnnnnxa xa xaxxa xa xaxxa xa xax 例例5 (96考研考研) 解方程組解方程組其中其中 aiaj (i, j =1,2,n) 2111121222

9、21333211111nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa解解1()jiij naa 0aiaj (ij)易見易見D1=D, D2=D3=Dn=0 x1=1, x2=x3=xn=0 方程組是否有解與在哪個(gè)數(shù)集上討論有關(guān)方程組是否有解與在哪個(gè)數(shù)集上討論有關(guān). 線性線性代數(shù)的許多問題在不同數(shù)集上討論可能有不同結(jié)代數(shù)的許多問題在不同數(shù)集上討論可能有不同結(jié)論論.為了明確一些結(jié)論成立的條件為了明確一些結(jié)論成立的條件. 引入數(shù)域概念引入數(shù)域概念:定義定義 設(shè)設(shè)F是一數(shù)集是一數(shù)集, . 若若F中任意兩個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)(可以相同可以相同)的和、差、積、商的和、差、積、商(除數(shù)不為除數(shù)不為0)仍然是仍然是F

10、中的數(shù)中的數(shù), 即即F對四則運(yùn)算封閉對四則運(yùn)算封閉, 則稱則稱F為一個(gè)數(shù)域?yàn)橐粋€(gè)數(shù)域.0,1FF 全體整數(shù)組成的集合不是數(shù)域全體整數(shù)組成的集合不是數(shù)域, 有理數(shù)集有理數(shù)集Q、實(shí)、實(shí)數(shù)集數(shù)集R和復(fù)數(shù)集和復(fù)數(shù)集C都是數(shù)域都是數(shù)域, 分別稱為有理數(shù)域、分別稱為有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域?qū)崝?shù)域和復(fù)數(shù)域. 本課程的數(shù)域本課程的數(shù)域F均指實(shí)數(shù)域均指實(shí)數(shù)域R或或復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域C, 其它數(shù)域在本課程中不進(jìn)行深入討論其它數(shù)域在本課程中不進(jìn)行深入討論.注：關(guān)于數(shù)域概念注：關(guān)于數(shù)域概念習(xí)題課習(xí)題課行列式計(jì)算方法小結(jié)：行列式計(jì)算方法小結(jié)： 利用行列式的定義；利用行列式的定義； 化三角形法；化三角形法； 拆行拆行(列列)法

11、；法；4. 按某一行按某一行(列列)或某或某k行行(列列)展開；展開；5. 數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)歸納法；6. 利用范德蒙行列式的結(jié)論；利用范德蒙行列式的結(jié)論； 7. 遞推法；遞推法； 8. 加邊法加邊法( (升階法升階法) )。 解解:0123012323012323012366(2)(2)(2)6( 2)( 2)( 2)6aaaaaaaaaaaaaaaa 232323111111( 1)( 1)122212( 2)( 2) =(-1-1)(2-1)(-2-1)(2+1)(-2+1)(-2-2)=72D0=576, D1=- -72, D2=- -144, D3=72a0=8, a1=- -1,

12、a2=- -2, a3=1思考題思考題 已知三次曲線已知三次曲線y=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3在在四個(gè)點(diǎn)四個(gè)點(diǎn)x=1, x=2處的值處的值f(1)= f(- -1)= f(2)=6， f(-2)=- -6，試求其系數(shù)，試求其系數(shù)a0, a1, a2, a3.D=y=f(x)=8- -x- -2x2+ +x3復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) Ch 1作業(yè)：作業(yè)：P33：10(2), 11,12, 13 做做練習(xí)卷練習(xí)卷(下次習(xí)題課帶來下次習(xí)題課帶來)11()nnijija a11+a12+a1n+a21+a22+a2n+an1+an2+ann+ 11()nnijjia a11+a21+an1+a12+a

13、22+an2+a1n+a2n+ann+ 返回下課復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) Ch 1作業(yè)：作業(yè)：P31：5(2), 6，7 做做練習(xí)卷練習(xí)卷(下次習(xí)題課帶來下次習(xí)題課帶來)作業(yè)：作業(yè)：P41(四川四川)20(2), 21(2)，22預(yù)習(xí)預(yù)習(xí) 3.1復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) Ch 1Cramer法則的優(yōu)點(diǎn):用方程的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)組成的行列式把解明顯地表達(dá)出來,這在分析問題時(shí)非常方便,理論上具有重要意義.缺點(diǎn):實(shí)際計(jì)算時(shí)需算許多行列式(n元算n+1個(gè)n階行列式)當(dāng)n較大時(shí),計(jì)算困難更大.例2 求四個(gè)平面)4 , 3 , 2 , 1(0idzcybxaiiii相交于一點(diǎn)的充分必要條件.解:平面方程可寫成)4 , 3 , 2 , 1(0

14、itdzcybxaiiii其中, 1t(看成以tzyx,為未知量,iiiidcba,為系數(shù)的齊次線性方程組)00004444333322221111tdzcybxatdzcybxatdzcybxatdzcybxa四平面相交于一點(diǎn) 有唯一的一組非零解) 1 ,(000zyx根據(jù) “ 齊次線性方程組有非零解 系數(shù)行列式值為零 ”即得：四平面相交于一點(diǎn)的充分必要條件為04444333322221111dcbadcbadcbadcba證明證明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 得得個(gè)個(gè)方方程程的的依依次次乘乘方方程程組組列列元元素素的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj再把再把 方程依次相加，得方程依次相加，得n,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa njDDxjj, 2 , 1 于是于是 2當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),方程組方程組(2)有惟一的一個(gè)解有惟一的一個(gè)解0 D由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知由代數(shù)余子式的性