立體幾何需注重結(jié)論與模型的學習

1、盧建武多年的實際情況表明：高中的學生初學立體幾何時，總感覺比較困難，甚至不知如何學起，這當然與剛接觸新生事物需有一個適應的過程有關(guān)，這是客觀規(guī)律，但若幾個月之后，還只是停留在記住了書上的公理、定理、推論上，而在應用方面沒有大的突破，那就不是單純的適應不適應的問題了，而是會不會學習的問題了.筆者認為：除了要記住課本上本身的公理、定理、推論并能基本運用外，適當?shù)赜涀⌒┏Ｒ姷慕Y(jié)論和模型，對我們解題很有幫助. 現(xiàn)將一些常見的結(jié)論和模型羅列如下，希對廣大的初學立體幾何者和這部分內(nèi)容學得相對較弱者有所裨益.一、結(jié)論：1、在四面體中，設(shè)頂點在底面上的射影為.若或與底面所成的角相等，則為底面的外心(外接圓的圓

2、心也即的三邊的垂直平分線的交點)；若，則為底面的垂心，同時也有(即四面體中若有兩組對棱相互垂直，則任何頂點在與之相對面上的射影都是該面三角形的垂心，且第三組對棱也相互垂直)；特殊地，若兩兩垂直，也有一樣的結(jié)論；若在的內(nèi)部，且到的三邊的距離相等或側(cè)面與底面所成的二面角相等，則為底面的內(nèi)心(的內(nèi)切圓的圓心也即三條內(nèi)角平分線的交點)；在運用這個結(jié)論時需注意：若沒有在的內(nèi)部這一限制，則還可能是的旁心(的旁切圓的圓心也即的兩條外角平分線和一條內(nèi)角平分線的交點).2、設(shè)在平面內(nèi)，點，若(或到的兩邊的距離相等)，則點在平面內(nèi)的射影在的平分線所在的直線上.如圖，連，分別作于，于，連，則由三垂線定理知. 在和中

3、，由，為公共斜邊知它們?nèi)龋?，從而，又，所以在的平分線所在的直線上.3、若兩個平面垂直，則其中一個面內(nèi)的任意一條直線在另一個平面上的射影必在兩個平面的交線上. 這個結(jié)論有助于我們?nèi)ふ乙粭l直線與一個平面所成的角，倘有這條直線在一個與這個平面垂直的平面內(nèi)，則它與兩個平面的交線所成的角就是直線和平面所成的角.4、直線和平面所成的角是直線和平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角. 證明如下：如圖，與平面斜交于，于，則為在內(nèi)的射影，為直線與平面所成的角，為內(nèi)過的任意一條直線，作于，連，則由三垂線定理知，在與中，而(當且僅當重合時取等號)，所以，即，結(jié)論得證.5、長方體中，設(shè)體對角線與從同一頂點出發(fā)的三條棱

4、所成的角分別為，則；若與從同一頂點出發(fā)的三個面所成的角分別為，則.二、模型1、設(shè)二面角的大小為，且. 這是一個包含有二面角的平面角、兩條異面直線的公垂線(距離)、其上任意兩點間的距離、所成的角等諸多條件的模型. 如圖：作，連，則由題意知：四邊形為矩形，為二面角的平面角，因為，由線面垂直的判定定理知平面，所以，故所成的角為.由余弦定理得，所以，且異面直線所成角的余弦為這個模型告訴我們：若兩條異面直線分別在一個二面角的兩個面內(nèi)且都和二面角的棱垂直，則可以很方便地求出它們上面任意兩定點間的距離，這任意兩點的連線與二面角的棱所成的角；若反過來考慮，還可在知道兩條異面直線上兩點間距離的條件下，求出二面角

5、的平面角(利用公式)；另外，在這個模型中，還存在線面的垂直和面面的垂直(平面，平面平面).實戰(zhàn)演練：在平面直角坐標系內(nèi)有兩點，它們的坐標分別為，現(xiàn)將坐標系沿軸折成的二面角，求折后兩點間的距離.由模型易得為二面角的平面角，平面，所以，由模型公式得.2、設(shè)二面角的大小為，作平面于，作于，連，則由三垂線定理知，所以是二面角的平面角. 在立體幾何中，二面角通常采用本模型的形式敘述，即用兩個共邊的三角形表述，在這種情形下，一般最適合用三垂線定理作出二面角的平面角，并由二面角的作法，附帶地出現(xiàn)了線面的垂直(平面)，從而可方便地作出點到平面的距離，只需作于，則由平面知，從而平面，于是就是到平面的距離.立體幾

6、何的綜合題通常有兩到三小問，其中又通常有求二面角和點面距離各一問，所以這個模型在解決立體幾何的綜合性問題時的作用很大，筆者認為學生記住它是必要的，而且要能夠熟練運用它.實戰(zhàn)演練：如圖，在長方體中，點在棱上運動. 證明：； 當為中點時，求點到平面的距離；等于何值時，二面角的大小為？只需考慮三垂線定理：在平面上的射影為與垂直即得證；在平時的教學當中，發(fā)現(xiàn)有相當多的學生只要碰到相類似的問題，馬上就用體積相等來求距離，這固然是求距離的一種方法，但總感覺效果不好，主要是在計算上稍嫌麻煩(筆者傾向于實在無計可施時可考慮這種方法). 實際上考慮到為中點，可以將到平面的距離轉(zhuǎn)化為到平面距離的一半，再繼續(xù)轉(zhuǎn)化為

7、到平面距離的一半，然后可考慮上述模型：作于，連，則，從而平面，故只需作于，則平面，就是到平面的距離，由已知條件不難求出，于是到平面的距離是.作于，連，則由三垂線定理知，所以是二面角的平面角，從而，所以，所以，于是，從而.小問的模型解法，相比體積法就要簡潔得多，也說明掌握立體幾何中一定的模型，對我們解題很有幫助.3、墻角是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常碰到的一種模型，它的幾何抽象是從同一點出發(fā)的三條兩兩垂直的射線，它在本質(zhì)上是長方體的一個角的延伸，因而它具有長方體的某些性質(zhì)特征. 關(guān)于長方體還有一個性質(zhì)，在平常的學習當中也應加強應用：連接長方體上下底面兩條異面對角線的四個頂點可以得到一個四面體，這個四面體的

8、特殊之處在于它的三組對棱對應相等，因而在平時的練習當中，若接觸到這樣一個特殊的四面體，可以將它補成一個長方體，從而利用長方體的性質(zhì)來考慮問題.實戰(zhàn)演練：三棱錐中，兩兩垂直，底面內(nèi)有一點. 若到三個側(cè)面的距離分別為，則_；若與所成的角分別為，則與所的角為_.考慮到兩兩垂直，所以自向平面、平面、平面引的垂線段應分別與、平行，如圖，分別設(shè)為，其中分別為垂足，于是構(gòu)造出了一個以為對角線的長方體，故；與所成的角即是長方體的對角線與長方體的從同一頂點出發(fā)的三條棱所成的角，由結(jié)論5知三個角的余弦的平方和為，從而知與所的角為.三棱錐的兩條棱，其余各棱長均為. 求此三棱錐內(nèi)切球半徑. 三棱錐即四面體，注意到這個四面體的對棱，因而它們可以分別作為一個長方體的三組相對面的面對角線，于是該四面體是長方體的六條面對角線組成的四面體，如圖所示：設(shè)四面體所在的長方體的長、寬、高分別為，則由，得，所以四面體的體積(長方體體積的)，又四面體的表面積為(每個面都是腰長為，底邊長為的等腰三角形)，所以該四面體的內(nèi)切球的半徑為.以上只是