第2章測量誤差理論與數據處理

1、21 測量誤差的基本概念211 有關誤差的概念1 真值A一個量在被觀測時，該量本身所具有的真實大小稱為真值。在不同的時間和空間，被測量的真值往往是不同的。在一定的時間和空間環(huán)境條件下，某被測量的真值是一個客觀存在的確定數值。要想得到真值，必須利用理想的測量儀器或量具進行無誤差的測量，由此可以推斷，真值實際上是無法得到的。這是因為“理想”的測量儀器或量具即測量過程的參考比較標準（或叫計量標準）只是一個純理論值，盡管隨著科技水平的提高，可供實際使用的測量參考標準可以愈來愈接近理想的理論定義值，但誤差總是存在的，而且在測量過程中還會受到各種主觀和客觀因素的影響，所以，做到無誤差的測量是不可能的。2

2、實際值A滿足規(guī)定準確度要求，用來代替真值使用的量值稱為實際值或叫約定真值。由于真值是無法絕對得到的，在誤差計算中，常常用一定等級的計量標準作為實際值來代替真值。實際測量中，不可能都與國家計量標準相比對，所以國家通過一系列的各級實物計量標準構成量值傳遞網，把國家標準所體現的計量單位逐級比較傳遞到日常工作儀器或量具上去，在每一級的比較中，都以上一級計量標準所測量的值當作準確無誤的值，一般要求高一等級測量器具的誤差為本級測量器具誤差的1/31/10。在實際值中，把由國家設立的盡可能維持不變的各種實物標準作為指定值或叫約定真值，例如指定國家計量局保存的鉑銥合金圓柱體質量原器的質量為1kg，指定國家天文

3、臺保存的銫鐘組所產生的特定條件下銫133原子基態(tài)的兩個超精細能級之間躍遷所對應的輻射的9192631770個周期的持續(xù)時間為1s（秒）等。3 標稱值測量器具上標定的數值稱為標稱值，如標準電阻上標出的1，標準電池上標出來的電動勢1.0186V，標準砝碼上標出的1kg等。標稱值并不一定等于它的真值或實際值，由于制造和測量水平的局限及環(huán)境因素的影響，它們之間存在一定的誤差，因此，在標出測量器具的標稱值時，通常還要標出它的誤差范圍或準確度等級，例如某電阻的標稱值為1k，誤差±1%，即意味著該電阻的實際值在990到1010之間；某信號發(fā)生器頻率刻度的工作誤差±1%±1Hz，

4、如果在額定條件下該儀器頻率刻度是100Hz，這就是它的標稱值，而實際值是100±100×1%±1Hz，即實際值在98到102之間。4 示值由測量器具指示的被測量的量值稱為測量器具的示值，也稱測量儀器的測量值或測得值。一般來說，測量儀器的示值和讀數是有區(qū)別的，讀數是儀器刻度盤上直接讀到的數字，對于數字顯示儀表，通常示值和讀數是一致的，對于模擬指示儀器，示值需要根據讀數值和所用的量程進行換算。例如以100分度表示量程為50mA的電流表，當指針在刻度盤上的50位值時，讀數是50，而示值應是25mA。5 測量誤差在實際測量中，由于測量器具的不準確，測量手段的不完善，測量環(huán)

5、境的影響，對客觀規(guī)律認識的局限性以及工作中的疏忽或錯誤等因素，都會導致測量結果與被測量真值不同。測量儀器與被測量真值之間的差別稱為測量誤差。測量誤差的存在具有必然性和普遍性，人們只能根據需要和可能，將其限制在一定的范圍內而不可能完全加以消除。不同的測量，對其測量誤差的大小，也就是測量準確度的要求往往是不同的。人們進行測量的目的，通常是為了獲得盡可能接近真值的測量結果，如果測量誤差超過一定的限度，測量工作及由此產生的測量結果將失去意義。在科學研究及現代化生產中，錯誤的測量結果有時還會使研究工作誤入歧途甚至帶來災難性的后果。我們研究誤差理論的目的，就是要分析誤差產生的原因及其發(fā)生規(guī)律，正確認識誤差

6、的性質，尋找減小或消除測量誤差的方法，學會測量數據的處理方法，使測量結果更接近于真值，在測量中，指導我們合理地設計測量方案，正確地選用測量儀器和測量方法，確保產品和研究課題的質量。212 測量誤差的表示方法1絕對誤差(1)定義 由測量所得到的被測量值x與其真值A之差，稱為絕對誤差，即x=x-A （2-1） 式中，x為絕對誤差。 前面已提到，真值A一般無法得到，所以用實際值A代替A，因而絕對誤差更有實際意義的定義是x=xA （2-2）絕對誤差表明了被測量的測量值與被測量的實際值之間的偏離程度和方向，對于絕對誤差，應注意以下兩點：第一，絕對誤差是有單位的量，其單位與測得值和實際值相同；第二，絕對誤

7、差是有符號的量，其符號表示出了測量值與實際值的大小關系，若測量值大于實際值，則絕對誤差為正值，反之為負值。在一般測量工作中，只要按規(guī)定的要求，達到誤差可以忽略不計，就可以認為該值接近于真值，并用它來代替真值。除了實際值以外，還可以用已修正過的多次測量的算術平均值來代替真值使用。（2） 修正值 與絕對誤差的絕對值大小相等，但符號相反的量值，稱為修正值，用C表示 C= x=Ax (2-3) 測量儀器的修正值可以通過上一級標準的校準給出，修正值可以是數值表格、曲線或函數表達式等形式。在日常測量中，利用其儀器的修正值C和該已檢儀器的示值x，可以求得被測量的實際值 A=x+C （2-4）例如用某電流表測

8、電流，電流表的示值為10mA，該表在檢定時10mA刻度處的修正值是+0.04mA，則被測電流的實際值為10.04mA。在自動測量儀器中，修正值還可以先編成程序貯存在儀器中，測量時儀器可以對測量結果自動進行修正。2相對誤差絕對誤差雖然可以說明測量結果偏離實際值的情況，但不能完全科學地說明測量的質量(測量結果的準確程度)。因為一個量的準確程度，不僅與它的絕對誤差的大小有關，而且與這個量本身的大小有關。當絕對誤差相同時，這個量本身的絕對值越大，測量準確程度相對越高；這個量本身的絕對值越小，測量準確程度相對越低。例如測量兩個電壓量，其中一個電壓為V=10V，其絕對誤差V=0.1V；另一個電壓為V=1V

9、，其絕對誤差V=0.1V。盡管兩次測量的絕對誤差皆為0.1V，但是我們不能說兩次測量的準確度是相同的，顯然，前者測量的準確度高于后者測量的準確度。因此，為了說明測量的準確程度，又提出了相對誤差的概念。絕對誤差與被測量的真值之比，稱為相對誤差(或稱為相對真誤差)，用表示=×100 (2-5)相對誤差是兩個有相同量綱的量的比值，只有大小和符號，沒有單位。（1） 實際相對誤差由于真值是不能確切得到的，通常用實際值A代替真值A來表示相對誤差，用表示=×100% (2-6)式中，為實際相對誤差。（2）示值相對誤差在誤差較小、要求不太嚴格的場合，用測量值x代替實際值A來表示相對誤差,

10、用表示=×100 (2-7)式中，稱為示值相對誤差或測得值相對誤差。當x很小時，xA，此時，。測得值相對誤差的概念在誤差合成中具有重要意義。(3)分貝誤差相對誤差的對數表示在電子學及聲學測量中，常用分貝來表示相對誤差，稱為分貝誤差。分貝誤差是用對數形式(分貝數)表示的一種相對誤差，單位為分貝（dB），用表示。下面以有源網絡電壓增益為例，引出分貝誤差的表示形式。設雙口網絡(如故大器或衰減器)的電壓增益實際值為A，電壓增益的測量值為A，其分貝值G=20lgA。其誤差為A= A-A，即A=A+A,則增益測得值的分貝值為 G=20lg（A+A）=20lg A1+ =20lgA+20lg1+設

11、電壓增益實際值A的分貝值為G，則G=20lgA，由此得到分貝誤差為= GG= 20lg1+=20lg（1+） (2-8)(2-8)式即為相對誤差的對數表現形式，式中，只與增益的相對誤差有關，由于是帶有正負符號的，因而也是有符號的。若，則（2-8）式可寫成=20lg（1+） （2-9）式(2-9)即為分貝誤差的一般定義式。若測量的是功率增益，分貝誤差定義為=10lg（1+） （2-10）例2-1 某電流表測出的電流值為96A，標準表測出的電流值為100A，求測量的相對誤差和分貝誤差。解： 測量的絕對誤差為 x=96100= 4A測量的實際相對誤差為 =×100%= 4%分貝誤差為 =2

12、0lg1+（0.04）= 從上面分貝誤差的公式和例子可以看出，當相對誤差為正值時，分貝誤差也為正值；反之亦然。3滿度相對誤差(引用相對誤差)前面介紹的相對誤差較好地反映了某次測量的準確程度，但是，在連續(xù)刻度的儀表中，用相對誤差來表示整個量程內儀表的準確程度就感到不便。因為使用這種儀表時，在某一測量量程內，被測量有不同的數值，若用式（2-5）計算相對誤差，隨著被測量的不同，式中的分母相應變化，求得的相對誤差也將隨著改變。因此，為了計算和劃分儀表的準確度等級，在用（2-5）式求相對誤差時，用電表的量程作為分母，從而引出了滿度相對誤差(引用相對誤差)的概念。實際中常用測量儀器在一個量程范圍內出現的最

13、大絕對誤差x與該量程的滿刻度值(該量程的上限值與下限值之差)x之比來表示，即=×100% （2-11）式中為滿度相對誤差(或稱引用相對誤差)。對于某一確定的儀器儀表，它的最大引用相對誤差是確定的。滿度相對誤差在實際測量中具有重要意義。(1)用滿度相對誤差來標定儀表的準確度等級。我國電工儀表就是按引用相對誤差之值進行分級的，是儀表在工作條件下不應超過的最大引用相對誤差，它反映了該儀表的綜合誤差大小。我國電工儀表共分七級：0 .1、0 .2、0. 5、1.0、l. 5、2 .5及5 .0，共七級。其中，準確度等級在0.2級以上的儀表屬于精密儀表,使用時要求較高的工作環(huán)境及嚴格的操作步驟，

14、一般作為標準儀表使用。如果儀表準確度等級為s級，則說明該儀表的最大滿度相對誤差不超過s，即|s。 例 2-2 某電流表的量程為100mA，在量程內用待定表和標準表測量幾個電流的讀數為表2-1表2-1 例 2-2的數據待定表x(mA)標準表A(mA)絕對誤差x(mA)從以上測量數據大致標定該儀表的準確度等級。解： 由x=x A計算出各點如表2-1因為 x=80 78=2mA x=100mA由式（2-11）求得該表的最大滿度相對誤差為 =×100%=×100%=2%所以該表大致為2.5級表。當然，在實際中，標定一個儀表的準確度等級是要通過大量的測量數據并經過一定的計算和分析后才

15、能完成。(2)用滿度相對誤差來檢定儀表是否合格。例 2-3 檢定一個1.5級100mA的電流表，發(fā)現在50mA處的誤差最大，為1.4mA，其它刻度處的誤差均小于1.4mA，問這塊電流表是否合格？解： 由式（2-11）求得該表的最大滿度相對誤差為=×100%=×100%=1.4%1.5%所以，這塊表是合格的。實際中，要判斷該電流表是否合格，應在整個量程內取足夠多的點進行檢定。（3） 指導我們在使用多量程儀表時，合理的選擇儀表的量程。由式(2-11)可知，滿度相對誤差實際上給出了儀表各量程內絕對誤差的最大值x=x （2-12）若某儀表的等級是s級，被測量的真值為A，那么測量的最

16、大絕對誤差xxs% （2-13）通常取 x=xs% (2-14)一般講，測量儀器在同一量程不同示值處的絕對誤差實際上未必處處相等，但對使用者來講，在沒有修正值可資利用的情況下，只能按最壞的情況來處理，即認為儀器在同一量程各處的絕對誤差是個常數且等于x，把這種處理叫做誤差的整量化。由式（2-13）可知，測量的最大相對誤差s% 即 s% (2-15)通常取 =s% （2-16）由式（2-14）可知，當一個儀表的等級s確定后，測量中的最大絕對誤差與所選儀表的上限x成正比，所以，在測量中，所選儀表的滿刻度值不應比真實值A大太多。同樣，在式（2-16）中，因Ax，可見當儀表等級s選定后, A越接近x時，

17、測量中相對誤差的最大值越小，測量越準確。因此，在用多量程儀表測量時，應合理地選擇量程，一般情況下應盡量使被測量的數值在儀表滿刻度的三分之二以上。在實際測量時，一般應先在大量程下，測得被測量的大致數值，然后選擇合適的量程再進行測量，以盡可能減小相對誤差。例 2-4 某1.0級電流表，滿度值 x=100A，求測量值分別為x=100A，x=80A，x=20A時的絕對誤差和示值相對誤差。解： 由式（2-14）得最大絕對誤差為x=xs%=100×（±1.0%）=±1A前面說過，絕對誤差是不隨測量值改變而變化的。而測得值分別為100A、80A、20A時的示值相對誤差是各不相同

18、的，分別為=×100%=×100%=×100%=±1%=×100%=×100%=×100%=±1.25%=×100%=×100%=×100%=±5%以上可見，在同一量程內，測得值越小，示值相對誤差越大。由此可知，在測量中，測量結果的準確度并不等于所用儀器的準確度。只有在示值與滿度值相同時，二者才相等（僅考慮儀器誤差而不考慮其它因素造成的誤差）。通常，測得值的準確度低于所用儀表的準確度。（4）在一定量的測量中，用滿度相對誤差指導我們合理選擇儀表的準確度等級。例 2-5 欲測量一

19、個10V左右的電壓，現有兩塊電壓表，其中一塊量稱為100V，1.5級；另一塊量程為15V，2.5級，問選用那一塊表好些？解： 用1. 5級量程為100V電壓表測量10V電壓時，最大相對誤差為=s%=×1.5%=15%用2. 5級量程為15V電壓表測量10V電壓時，最大相對誤差為=s%=×2.5=3.75通過計算得知，用2. 5級量程為15V電壓表測量10V電壓的準確度高于用1. 5級量程為100V電壓表測量10V電壓的準確度，且2. 5級量程為15V電壓表經濟實用，所以選擇2. 5級量程為15V電壓表。上例說明，如果選擇合適的量程，即使使用較低等級的儀表進行測量，也可以取得

20、比較高等級儀表還高的準確度。因此，在選用儀表時，不要單純追求儀表的級別，而應根據被測量的大小兼顧儀表的級別和測量上限，合理地選擇儀表。22 測量誤差的來源與分類221 測量誤差的來源為了減小測量誤差，提高測量結果的準確度，必須明確測量誤差的主要來源，并采取相應的措施減小測量誤差。測量誤差的主要來源有以下五個方面：1儀器誤差儀器誤差是由于測量儀器及其附件的設計、制造、裝配、檢定等環(huán)節(jié)不完善，以及儀器使用過程中元器件老化、機械部件磨損、疲勞等因素而使儀器設備帶有的誤差。例如，儀器內部噪聲引起的內部噪聲誤差；儀器相應的滯后現象造成的動態(tài)誤差；儀器儀表的零點漂移、刻度的不準確和非線性，讀數分辨率有限而

21、造成的讀數誤差以及數字儀器的量化誤差等都屬儀器誤差。為了減小儀器誤差的影響，應根據測量任務，正確地選擇測量方法和儀器，并在額定的工作條件下按使用要求進行操作使用等。2使用誤差使用誤差也稱操作誤差，是由于對測量設備操作使用不當而造成的。比如有些儀器設備要求測量前進行預熱而未預熱；有些測量設備要求實際測量前必須進行校準（例如普通萬用表測量電阻時應進行校零，用示波器觀測信號的幅度前應進行幅度校準等）而未校準等。減小使用誤差的方法就是要嚴格按照測量儀器使用說明書中規(guī)定的方法步驟進行操作使用。3影響誤差影響誤差是指由于各種環(huán)境因素(溫度、濕度，振動、電源電壓、電磁場等)與測量要求的條件不一致而引起的誤差

22、。影響誤差常用影響量來表征。所謂影響量，是指除了被測的量以外，凡是對測量結果有影響的量，即測量系統輸入信號中的非被測量值信息的參量。影響誤差可以是來自系統外部環(huán)境(如環(huán)境溫度、濕度、電源電壓等)的外界影響，也可以是來自儀器系統內部(如噪聲、漂移等)的內部影響，通常影響誤差是指來自外部環(huán)境困素的影響。當環(huán)境條件符合要求時，影響誤差可不予考慮，但在精密測量中，須根據測量現場的溫度、濕度、電源電壓等影響數值求出各項影響誤差，以便根據需要做進一步的處理。4理論誤差和方法誤差理論誤差是指測量所依據的理論不嚴密，或者由于對測量計算公式的近似等，致使測量結果出現的誤差稱為理論誤差。例如當用平均值檢波器測量交

23、流電壓時，平均值檢波器的輸出正比于被測正弦電壓的平均值，而交流電壓表通常以有效值U來定度，兩者理論間關系為U=K （2-17）式中K= ，稱為定度系數。由于和均為無理數，因此當用有效值定度時，只好取近似公式U1.11 (2-18)從而就產生了誤差，這種由于計算公式的簡化或近似造成的誤差就是一種理論誤差。由于測量方法不合理(如用低輸人阻抗的電壓表去測量高阻抗電路上的電壓)而造成的誤差稱為方法誤差。理論誤差和方法誤差通常以系統誤差的形式表現出來，在掌握了具體原因及有關量值后通過理論分析與計算，或者改變測量方法，這類誤差是可以消除或修正的。對于內部帶有微處理器的智能儀表，做到這一點是很方便的。5人身

24、誤差人身誤差是由于測量人員感官的分辨能力、反應速度、視覺疲勞、固有習慣、缺乏責任心等原因，而在測量中使用操作不當、現象判斷出錯或數據讀取疏失等而引起的誤差。比如 指針式儀表刻度的讀取，諧振法測量時諧振點的判斷等，都容易產生誤差。 減小或消除人身誤差的措施有：提高測量人員操作技能、增強工作責任心、加強測量素質和能力的培養(yǎng)、采用自動測試技術等。222 測量誤差的分類 雖然產生誤差的原因多種多樣，但按誤差的基本性質和特點，誤差可分為三類，即系統誤差、隨機誤差和粗大誤差。 1系統誤差在同一測量條件下，多次重復對同一量進行測量時，測量誤差的絕對值和符號保持不變，或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化 的誤差，

25、稱為系統誤差，簡稱系差。前者 為恒值系差，后者為變值系差。例如零位 誤差屬于恒值系差，測量值隨溫度的變化 而增加或減少產生的誤差屬于變值系差。 變值系差又可分為累進性系差、周期性系 差和按復雜規(guī)律變化的系差。圖2-1描 述了幾種不同系差的變化規(guī)律：直線a表 示恒值系差；直線b屬變值系差中的累進 性系差，這里表示遞增情況，也有遞減系 差；曲線c表示周期性系差；曲線d屬于 圖 2-1 系統誤差的特征按復雜規(guī)律變化的系差。 在我國新制訂的國家計量技術規(guī)范(JFl00l 1998通用計量術語及定義)中，系統誤差()的定量定義是：在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果x，x，x（n）的平均

26、值（數學期望）與被測量的真值A之差。即=- A (2-19)其中 = n (2-20) 式(219)表明，在不考慮隨機誤差影響的情況下，測量值的數學期望偏離真值的大小就是系統誤差，即系統誤差表明了一個測量結果的平均值偏離真值或實際值的程度。系統誤差越小，平均值越靠近真值，測量越正確。所以，系統誤差常用來表征測量結果正確度的高低。 需要說明的是，由于上述技術規(guī)范定義中的測量是在重復性條件下進行的，即測量條件不改變，故這里的是定值系統誤差。此外重復測量實際上只能進行有限次，測量的真值也只能用實際值代替，所以實際中的系統誤差也只是一個近似的估計值。系統誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成的，

27、這些因素主要有： （1)測量儀器方面的因素：儀器機構設計原理的缺陷；儀器零件制造偏差和安裝不當；元器件性能不穩(wěn)定等。如把運算放大器當作理想運放，而被忽略的輸人阻抗、輸出阻抗引起的誤差；刻度偏差及使用過程中的零點漂移等引起的誤差。 （2)環(huán)境方面的因素：測量時的實際環(huán)境條件(溫度、濕度、大氣壓、電磁場等)相對于標準環(huán)境條件的偏差，測量過程中溫度、濕度等按一定規(guī)律變化引起的誤差。 （3）測量方法的因素：采用近似的測量方法或近似的計算公式等引起的誤差。 （4)測量人員方面的因素：由于測量人員的個人特點，在刻度上估計讀數時，習慣偏于某一方向；動態(tài)測量時，記錄快速變化信號有滯后的傾向。系統誤差的主要特點

28、是，只要測量條件不變，誤差即為確切的數值，用多次測量取平均值的辦法不能改變和消除系差，而當條件改變時，誤差也隨著遵循某種確定的規(guī)律而變化，具有可重復性，較易修正和消除。2隨機誤差 在同一測量條件下(指在測量環(huán)境、測量人員、測量技術和測量儀器等相同的條件下)，多次重復對同一量值進行等精度測量時，每次測量誤差的絕對值和符號以不可預知的方式變化的誤差，稱為隨機誤差或偶然誤差，簡稱隨差。 在我國新制定的國家計量技術規(guī)范(JGl00l1998通用計量術語及定義)中，參照并采了1993年幾個國際權威組織提出的隨機誤差定義：隨機誤差()是測量結果x與在重復條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值

29、（數學期望）之差。即= x- (2-21)式中，按式（2-20）計算隨機誤差是測量值與數學期望之差，它表明了測量結果的分散性，經常用來表征測量精密度的高低。隨機誤差愈小，精密度愈高。 同樣，在實際中，由于測量次數有限，不可能進行無限多次測量，因此，實際中的隨機誤差只是一個近似的估計值。隨機誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關的大量因素共同造成，這些因素主要包括以下幾個方面：（1） 測量裝置方面的因素 儀器元器件產生的噪聲、零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等。（2） 環(huán)境方面的因素 溫度的微小波動、濕度與氣壓的微量變化、光照強度變化、電源電壓的無規(guī)則波動、電磁干擾、振動等。（3） 測量人員感

30、覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數不穩(wěn)定等。隨機誤差的特點是：雖然某一次測量結果的大小和方向不可預知，但多次測量時，其總體服從統計學規(guī)律。在多次測量中，誤差絕對值的波動有一定的界限，即具有有界性；當測量次數足夠多時，正負誤差出現的機會幾乎相同，即具有對稱性；同時隨機誤差的算術平均值趨于零，即具有抵償性。由于隨機誤差的這些特點，可以通過對多次測量取平均值的辦法來減小隨機誤差對測量結果的影響，或者用數理統計的辦法對隨機誤差加以處理。3粗大誤差在一定測量條件下，測量結果明顯偏離實際值所形成的誤差稱為粗大誤差，簡稱粗差，也稱疏失誤差。產生粗差的主要原因有： (1)測量操作疏忽和失誤，如測錯、讀錯、記錯以及

31、實驗條件未達到預定的要求而匆忙實驗等。 (2)測量方法不當或錯誤，如用普通萬用表電壓擋直接測量高內阻電源的開路電壓，用普通萬用表交流電壓擋測量高頻交流信號的幅值等。 (3)測量環(huán)境條件的突然變化， 如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。這類變化雖然也帶有隨機性，但由于它造成的示值明顯偏離實際值，因此將其列人粗差范疇。含有粗差的測量值稱為壞值或異常值，由于壞值不能反映被測量的真實性，所以在數據處理時，應予以剔除掉。4測量誤差對測量結果的影響測量中若發(fā)現粗大誤差，數據處理時應予以剔除，這樣要考慮的誤差就只有系統誤差和隨機誤差兩類。 將式(2-19)和式(2-2

32、1)等號兩邊分別相加,得+=A+ x= x A=x， i=l，2， ，n (2-22 )式中，x為各次測得值的絕對誤差。式(2-22)表明，各次測得值的絕對誤差等于系統誤差和隨機誤差的代數和。由式(2-22)可得 x= A+ (2-23) 或 A= x (2-24) 式(2-23)說明了測得值x為測量值的真值、系統誤差和隨機誤差的代數和，可用圖2-2表示。其中E(X)為多次測量的數學期望。圖2-2測量誤差對測量結果的影響從式（2-19）、（2-21）及（2-23）可以總結出以下幾點結論：（1） 從系統誤差大小看： E(X)A 說明測量越正確，即系統誤差反映了測量的正確度，或測量的正確度是系統誤

33、差大小的反映。（2） 從隨機誤差大小看： xE(X) 說明測量越精密，即隨機誤差反映了測量的精密度，或測量的精密度是隨機誤差大小的反映。（3） 從系統誤差大小和隨機誤差大小共同看：說明測量越準確（或越精確），即系統誤差和隨機誤差共同反映了測量的準確度（或精確度），或準確度是系統誤差和隨機誤差的綜合反映。正確度、精密度與準確度的概念也可用圖2-3所示的打靶結果來描述測量誤差的影響。子彈著靶點有三種情況：在圖（a）中，著靶點圍繞靶心均勻分散，但分散程度大，這種情況對應于測量中的系統誤差小，隨機誤差大，即正確度高，精密度低；在圖(b)中，子彈著靶點很集中，但著靶點的中心位置偏離靶心較遠，這種情況相當

34、于測量中測量值雖然很集中但由于系統誤差的影響偏離真值（或實際值）較遠，說明了系統誤差大，隨機誤差小，即正確度低，精密度高；在圖(c)中，著靶點既集中又距離靶心較近，這種情況對應于測量中的系統誤差和隨機誤差都小，即準確度高。圖 2-3 射擊誤差示意圖 值得注意的是，正確度、精密度與準確度都是定性概念，如要定量給出，則應用實驗標準偏差和測量不準確度等概念。定量分析將在下面幾節(jié)中進行。在任何一次測量中，系統誤差和隨機誤差一般都是同時存在的，而且兩者之間并不存在嚴格的界限。由于認識不足或受測試條件所限時，常把系統誤差當作隨機誤差，并在數據上進行統計分析處理。隨著人們對誤差來源及其變化規(guī)律認識的提高，就

35、有可能把以往因認識不到而歸為隨機誤差的某項誤差明確為系統誤差進行分析和處理。此外，系統誤差和隨機誤差之間在一定條件下是可以相互轉化的，對某一具體誤差，在一種場合下為系統誤差，在另外一種場合下有可能為隨機誤差，反之亦然。掌握了誤差轉換的特點，在有些情況下就可以將系統誤差轉化為隨機誤差，用增加測量次數并進行數據處理的方法減小誤差的影響；或者將隨機誤差轉化為系統誤差，用修正的方法減小其影響。測量誤差分為隨機誤差、系統誤差和粗大誤差三類，由于每類誤差的性質、特點各不相同，因此處理方法也不一樣。下面分別討論這三類誤差的特性和判別方法，以及怎樣減少或消除它們，并給出測量結果的處理步驟。 隨機誤差的分析與處

36、理 隨機誤差是在相同條件下對同一量進行多次測量時，誤差的絕對值和符號均發(fā)生變化，而且這種變化沒有確定的規(guī)律也不能事先預知。隨機誤差使測量數據產生分散，即偏離它的數學期望。雖然對單次測量而言，隨機誤差的大小和符號都是不確定的，沒有規(guī)律性，但是，在進行多次測量后，隨機誤差服從概率統計規(guī)律。我們的任務就是要研究隨機誤差使測量數據按什么規(guī)律分布，多次測量的平均值有什么性質，以及在實際測量中對于有限次的測量，我們如何根據測量數據的分布情況，估計出被測量的數學期望、方差以及被測量的真值出現在某一區(qū)間的概率等?？傊?，我們是用概率論和數理統計的方法來研究隨機誤差對測量數據的影響，并用數理統計的方法對測量數據進

37、行統計處理，從而克服或減少隨機誤差的影響。 1隨機變量的數字特征由于隨機誤差的存在，測量值也是隨機變量。在測量中，測量值的取值可能是連續(xù)的，也可能是離散的。從理論上講，大多數測量值的可能取值范圍是連續(xù)的，而實際上由于測量儀器的分辨力不可能無限小，因而得到的測量值往往是離散的。此外，一些測量值本身就是離散的。例如測量單位時間內脈沖的個數，其測量值本身就是離散的。實際中要根據離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的特征來分析測量值的統計特性。在概率論中，不管是離散型隨機變量還是連續(xù)型隨機變量都可以用分布函數來描述它的統計規(guī)律。但實際中較難確定概率分布，且不少情況下也不需求出概率分布規(guī)律，只需知道某些數字特

38、征就夠了。數字特征是反映隨機變量的某些特性的數值，常用的有數學期望和方差等。(1)數學期望 隨機變量(或測量值)的數學期望能反映其平均特性，其定義如下： 設離散型隨機變量X的可能取值為x，x，x，相應的概率為p，p，p，則X數學期望定義為(條件是絕對收斂)E(X)= (2-25) 若X為連續(xù)型隨機變量，其分布函數為F(x)，概率密度函數為p(x)，則數學期望定義為(條件是積分收斂)E(X)= (2-26) 數學期望反映了測量值的平均特性，在統計學中，數學期望與均值是同一個概念，無窮多次的重復條件下的重復測量單次結果的平均值即為數學期望值。(2)方差和標準偏差 方差是用來描述隨機變量的可能值與其

39、數學期望的分散程度，設隨機變量X的數學期望為E(X)，則X的方差定義為=D(X)=EXE(X) (2-27) 對離散型的隨機變量：=D(X)=p (2-28) 或 =D(X)=p (2-29) 當測量次數n時，用測量值出現的頻率代替概率p，則測量值的方差為=D(X)= (2-30) 對連續(xù)型的隨機變量：=D(X)=p(x)dx (2-31) 或 =D(X)= p(x)dx (2-32)式中，稱為測量值的樣本方差，簡稱方差，取平方的目的是，不論是正是負，其平方總是正的，這樣取平方后再進行平均才不會使正負方向的誤差相互抵消，且求和取平均后，使個別較大的誤差在式中所占的比例也較大，使得方差對較大的隨

40、機誤差反映較靈敏。 由于實際測量中都是帶有單位的（mV，V等）,因而方差是相應單位的平方，使用不甚方便，為了與隨機誤差的單位一致，引入了標準偏差的概念，標準偏差定義為= (2-33) 測量中常常用標準偏差來描述隨機變量X與其數學期望E(X)的分散程度，即隨機誤差的大小，因為它與隨機變量X具有相同量綱。反映了測量的精密度，小表示精密度高，測得值集中，大表示精密度低，測得值分散。2隨機誤差的分布（1） 正態(tài)分布在很多情況下，測量中的隨機誤差正是由對測量值影響較微小的、相互獨立的多種因素的綜合影響造成的，也就是說，測量中的隨機誤差通常是多種因素造成的許多微小誤差的總和。在概率論中，中心極限定理指出：

41、假設被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認為這個隨機變量服從正態(tài)分布，又叫做高斯分布。測量中隨機誤差的分布及在隨機誤差影響下測量數據的分布大多接近于服從正態(tài)分布。正態(tài)分布隨機誤差的概率密度函數為p()=exp (2-34) 測量數據X的概率密度函數為p(x)= exp (2-35)根據(2-26)和 (2-31)可分別求出服從正態(tài)分布的隨機誤差的數學期望E()和方差D()為E()=）d=0D()=E(0)=)d=同樣可求出服從正態(tài)分布的測量數據的數學期望) E(X)和方差D(X)E(X)=xp(x)dx= x expdx = D(X)=

42、Ex=(x)p(x)dx =(x) expdx=上面兩式說明：測量數據X的概率密度函數中的參數即為隨即變量的期望值，為其標準偏差。隨機誤差和測量數據對應的概率密度分布曲線分別如圖24中的(a)、(b)所示，可以看圖2-4 隨機誤差和測量數據的概率密度分布曲線(a) 隨機誤差 (b) 測量數據出，隨機誤差和測量數據的分布形狀相同，因為它們的標準偏差相同(都為)，只是橫坐標相差E(X)這一常數值。對于隨機誤差，其數學期望為零。由圖可見，隨機誤差具有以下規(guī)律：對稱性：絕對值相等的正誤差與負誤差出現的概率相同。單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的概率大。有界性：絕對值很大的誤差出現的概率接近于

43、零，即隨機誤差的絕對值不會超過一定界限。抵償性：當測量次數n時，全部誤差的代數和趨于零。標準偏差是表示測量數據和測量誤差分布離散程度的特征值。不同，分布曲線形狀不同，圖2-5中表示了不同(的三條曲線。由圖可見，值越小，則曲線形狀越尖銳，說明測量數據越集中，隨機誤差越??；越大，則曲線形狀越平坦，說明測量數據越分散，隨機誤差越大。(2)測量誤差的非正態(tài)分布測量中的隨機誤差除了大量滿足正態(tài)分布外，還有一些不滿足正態(tài)分布，統稱為非正態(tài)分布。常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。其中均勻分布的應用僅次于正態(tài)分布。表2-2列出了三種分布的概率密度函數、數學期望、標準偏差和適用條件?？梢钥闯?，

44、這三種分布都服從對稱性、有界性和低償性。表2-2 幾種常見的非正態(tài)分布分布類型均勻分布三角分布反正弦分布概率密度函數概率密度曲線數學期望(若a=-b，則為0)00標準偏差（若a=-b，則為）適用條件及應用舉例儀器中的刻度盤回差、調諧不準確及儀器最小分辨力引起的誤差等；在測量數據處理中，“四舍五入”的截尾誤差；當只能估計誤差在某一范圍內，而不知其分布時，一般可假定該誤差在內均勻分布兩個具有相同誤差限的均勻分布的誤差之和，其分布服從三角分布。如在各種利用比較法的測量中，作兩次相同條件下的測量，若每次測量的誤差是均勻分布，那么兩次測量的最后結果服從三角分布若被測量x與一個量成正弦關系，即，而本身又是

45、在之間是均勻分布的，那么x服從反正弦分布。如圓形刻度盤偏心而致的刻度誤差、具有隨機相位的正弦信號有關的誤差3有限次測量的數學期望和標準偏差的估計值前面所討論的被測量的數字特征都是在無窮多次測量的條件下求得的，但是在實際測量中只能進行有限次測量，就不能按式(2-25)式(2-33)準確地求出被測量的數學期望和標準偏差。下面討論如何根據有限次測量結果來估計被測量的數學期望和標準偏差。(1) 有限次測量的數學期望的估計值算術平均值若對一個被測量x進行n次等精度測量，其中取得x的次數為n，由概率論的貝努里定理可知：事件發(fā)生的頻度nn依概率收斂于事件發(fā)生的概率p，即當測量次數n時，可以用事件發(fā)生的頻度代

46、替事件發(fā)生的概率。這時，被測量x的數學期望為E(X)= 當 n時 （2-36）若不考慮測量值相同的情況，即當對一個被測量x進行n次等精度測量，而獲得n個測量數據x(i=1，2，n，x可相同)，取得x的次數都計為l，代人式(236)，則可得被測量x的數學期望為E(X)= 當 n時 （2-37）可見，被測量x的數學期望就是當測量次數n時，各次測量值的算術平均值。在實際等精度測量中，當測量次數n為有限次時，常用算術平均值作為被測量數學期望或被測量的估計值，用(X)表示，即(X)= （2-38）可以證明，算術平均值是被測量數學期望的無偏估計值和一致估計值。用算術平均值作為測量結果是否可以減小隨機誤差的

47、影響呢？我們可以通過計算算術平均值的標準偏差來回答這個問題。當測量次數n有限時，統計特征本質上是隨機的，所以，所有算術平均值本身也是一個隨機變量。根據正態(tài)分布隨機變量之和的分布仍然是正態(tài)分布的理論，也屬于正態(tài)分布。因為是等精度測量，假定測量是獨立的，那么一系列測量就具有相同的數學期望和方差，又根據概率論中“幾個相互獨立的隨機變量之和的方差等于各個隨機變量方差之和”的定理可推導出的方差為（）= (）=（）=（x）+(x)+(x)=n(x)=(x)或 （）= （2-39）式(2-39)說明，n次測量值的算術平均值的方差是總體或單次測量值的方差的ln，或者說算術平均值的標準偏差是總體或單次測量值的標

48、準偏差的1/倍。這是由于隨機誤差的抵償性，在計算的求和過程中，正負誤差相互抵消；測量次數越多，抵消程度越太，平均值離散程度越小，這是采用統計平均的方法減弱隨機誤差的理論依據。所以，用算術平均值作為測量結果，減少了隨機誤差的影響。(2) 用有限次測量數據估計測量值的標準偏差貝塞爾公式實際測量中通常以算術平均值代替真值，以測量值與算術平均值之差即剩余誤差（簡稱殘差）來代替真誤差，即=- （2-40）當時，對求和，則得到由式（2-40）又可得到根據=0及式（2-40）有 (2-41)式（2-41）稱為貝塞爾公式，要注意的是在推導貝塞爾公式的過程中仍然是根據方差的定義得出的，嚴格說來仍是在的條件下推導

49、得出的。在n為有限值時，用貝塞爾公式計算的結果仍然是標準偏差的一個估計值，用符號(x)或s(x)表示，即或 (2-42)由于，貝塞爾公式還可表示為 (2-43)可以證明，(x)是(x)的無偏估計值。根據式（2-39），也可以把作為平均標準偏差的估計值。下面列出前面所定義的各種標準偏差的符號公式及所表示的不同意義，以便在使用時不致于混淆。總體測量值標準偏差 測量值離散程度表征總體測量值標準偏差估計值 測量平均值標準偏差 平均值離散程度表征測量平均值標準偏差估計值 4 .測量結果的置信度(1).置信概率與置信區(qū)間由于隨即誤差的影響，測量值均會偏離被測量真值。測量值分散程度用標準偏差表示。一個完整的測量結果，不僅要知道其量值的大小，還希望知道該測量結果的可信賴的程度。下面從兩方面來分析測量的可信度問題。1）雖然不能預先確定即將進行的某次測量的結果，但希望知道該測量結果落在數學期望附近某一確定區(qū)間內的可能性有多大。由于均方差表示測量值的分散程度，常用標準偏差的