矩陣分析第史榮昌魏豐課后習題答案

1、1-1 證：用表示n階矩陣中除第行，第表示n階矩陣中除第行，第列元素與第行第列元素為1外，其余元素全為0的矩陣.顯然，都是對稱矩陣，有，是線性無關的，且任何一個對稱矩陣都可用這n+=個矩陣線性表示，此即對稱矩陣組成維線性空間.同樣可證所有n階反對稱矩陣組成的線性空間的維數(shù)為.評注:欲證一個集合在加法與數(shù)乘兩種運算下是一個維線性空間，只需找出個向量線性無關，并且集合中任何一個向量都可以用這個向量線性表示即可.1-2解:解出即可.1-3 解：方法一 設即故于是解之得即在下的坐標為.方法二 應用同構的概念，是一個四維空間，并且可將矩陣看做，可看做.于是有因此在下的坐標為.1-4 解：證：設即于是解之

2、得故線性無關.設于是解之得即為所求坐標.1-5 解：方法一 （用線性空間理論計算）又由于于是在基下的坐標為方法二 將根據(jù)冪級數(shù)公式按展開可得因此在基下的坐標為.評注：按照向量坐標定義計算，第二種方法比第一種方法更簡單一些.1-6 解：設將與代入上式得故過渡矩陣設將坐標代入上式后整理得評注：只需將代入過渡矩陣的定義計算出.1-7 解：因為由于秩，且是向量的一個極大線性無關組，所以和空間的維數(shù)是3，基為.方法一 設，于是由交空間定義可知解之得為任意數(shù)于是很顯然所以交空間的維數(shù)為1，基為.方法二不難知其中.又也是線性方程組的解空間.是線性方程組的解空間，所以所求的交空間就是線性方程組的解空間，容易求

3、出其基礎解系為，所以交空間的維數(shù)為1，基為.評注：本題有幾個知識點是很重要的.的基底就是.方法一的思路，求交就是求向量，既可由線性表示，又可由線性表示的那部分向量.方法二是借用“兩個齊次線性方程組解空間的交空間就是聯(lián)立方程組的解空間”，將本題已知條件改造為齊次線性方程組來求解.1-8解:(1):解出方程組的基礎解系,即是的基,解出方程組的基礎解系,即是的基;(2):解出方程組的基礎解系,即為的基;(3):設,則的極大無關組即是的基.1-9解:仿上題解.1-10解: 仿上題解.1-11 證：設用從左側成式兩端，由可得因為，所以，代入可得用從左側乘式兩端，由可得，繼續(xù)下去，可得，于是線性無關.1-

4、12 解：由1-11可知，個向量線性無關，它是所以在下矩陣表示為階矩陣評注：維線性空間中任何一組個線性無關的向量組都可以構成的一個基，因此是的一個基.1-13證:設設則可以證明1-14解：由題意知設在基下的矩陣表示是，則由于，故只有零解，所以的值域是線性空間.1-15解:已知(1)求得式中的過渡矩陣,則即為所求;(2)仿教材例1.5.1.(見<矩陣分析>史榮昌編著.北京理工大學出版社.)1-16解:設,則就是齊次方程組的解空間.1-17證:由矩陣的乘法定義知的主對角線上元素相等,故知的跡相等;再由1-18題可證.1-18證:對k用數(shù)學歸納法證。1-19證：設。1-20證：設。1-2

5、1解：設。1-22證：設。1-23解：仿線性代數(shù)教材例題。1-24 證：若即 所以 因此滿足的只能全為零，于是線性無關.1-25 證：容易驗證等式所以線性相關.1-26 證：先證：中的元素由于中是變量，所以欲使上式對于任何都成立的充分必要條件是于是線性無關. 對于中任何一個向量（多項式）均可由線性表出，這表明：是的基，于是是n維的. 不難驗證：也是 故在這組基下的坐標為1-27 解：的核空間就是的解空間，所以 作初等行變換后得因此的解為其中的基礎解系可以取為 或 它們都可以作為的核空間的基，核空間是二維的.1-28 解：設在所給基下的坐標為，故即于是有解之得所以在所給基下的坐標為.1-29 解

6、：設于是有解之得所以在已給基下的坐標為.1-30 解：因為故由到的過渡矩陣為1-31 解：將矩陣作初等行變換得上式表明由基到基的關系為（為什么？）所以由到的過渡矩陣為設在下的坐標為，即其中則于是1-32 解：由定理知是向量組的極大無關組，故它是的基，.設，即且，于是將的坐標代入上式，解之得于是所以的基為，維數(shù)為1.又解交空間的向量實質上就是求在中向量也能由線性表示的這部分向量，即確定使得秩秩此即于是 代入 所以的基為，.1-33 解：方程組與的交空間就是這兩個方程組的所有公共解所構成的空間，此即方程組，它就是所求的基，.1-34 解：不難看出是線性齊次方程組的基礎解系，方程組的解空間為.而是線性齊次方程組的基礎解系，方程組的解空間為.交空間實質上是與公共解的空間，即方程組的基礎解系為，此即的基，維數(shù)為1.所以，基為.1-35 解：于是所求矩陣為1-36 解：，于是所求矩陣為注對于線性映射：在基與基下的矩陣表示為1-37 解：于是所求矩陣為1-38 解：核子空間就是求滿足，由于.故于是 所以所求的坐標應是齊次方程組 的解空間，求的它的基礎解系為 因此核子空間的基是.注：的基不是.而是.為什么？的基是.的值域1-39 解：不難求得