高中數學競賽專題講座重要不等式

1、解答不等式問題往往沒有固定的模式，證法因題而異，多種多樣，不等式問題的趣味性和靈活性決定了它在數學競賽中的地位。當然，熟悉并掌握一些常用的解決不等式問題的方法技巧是很有必要的，除比較法、放縮法、反證法、分析法、綜合法等基本方法外，數學歸納法、變量代換（含局部、整體、三角、復數代換等）、函數方法（利用單調性、凸性、有界性及判別方法等）、構造法（構造恒等式、數列、函數等）、調整法等在數學競賽中也是常用的。要多做題，多總結，融會貫通，舉一反三，才能提高解決、研究不等式問題的能力.一. 有關結論1、平均值不等式設是非負實數，則2、柯西（Cauchy）不等式設，則等號成立當且僅當存在，使上述兩個不等式在

2、數學競賽中應用極為廣泛，好的、難的不等式問題往往只需用它們即可解決，而無需過分追求所謂更“高級”的不等式，這是需要注意的。3排序不等式設是的一個排列，令.則證:若,由.設，則可見按上述方法調整后，的值不增，若此時在中，仿上又可得，最多經過步調整以后，若在中，將其中的與互換，得到，則，故由于，利用上面結論，得綜上，命題獲證。排序不等式可簡述為：“反序和亂序和同序和”。4琴生不等式若是區(qū)間上的凸函數，則對任意的點有等號當且僅當時取得。證:當時，命題顯然成立。假設時命題成立，當時，令則又令當且僅當時取等號。綜上所述，對一切正整數，命題成立。另外，絕對值不等式等也是較為常用的。二. 典例解析例1 設，

3、求證：證:令，則分兩種情形：（1）時，.（2）時，.點評: 注意到，故先作代換，使的表達形式更簡單，放縮較為大膽，但要注意時能取到符號，放縮不能過頭，最后回到平均值不等式。例2記，求證：證:欲證式由柯西不等式，有又由柯西不等式，有.欲證不等式成立。點評:本題有一定的難度，第一步代數變形是基本功，將化為若干項之和，便于處理.第二、三步對柯西不等式的兩種不同的運用堪稱范例，值得回味。例3 設，證明：證:我們證明事實上，而，故成立.同理，.因此，故原不等式左邊成立.下面證明原不等式右邊：，記，則，當時，因此在時是增函數，.當時，因此在是上凸函數，由Jesen不等式，. 又知,結合在遞增，,由可得，所

4、以.綜上所述，故原不等式獲證.例4設，滿足求證：證:記，則設且是的一個排列，且使又設.則，故不妨設（否則，若，取，此時仍滿足題設，且，不影響結論的一般性）。由排序不等式，有即欲證不等式成立。點評:絕對值符號內的各項分正負來處理是一個關鍵，注意到，再通過適當的放縮即可證得結論。例5 設，求證：證:注意到函數在上是增函數，當時，故只需證明：，其中即證.由于.從而，欲證不等式成立。例6試確定所有的正常數，使不等式對滿足的非負數均成立。解: 全部解，其中取及，便得及下面證明：對滿足的非負實數都成立。只需證明關于的齊次式：對滿足的非負實數都成立。令式左邊.由柯西不等式，.又均為非負實數，.結合，式左邊.

5、故獲證。綜上，所求全部解點評:先取特殊值（如中值、邊值）得參數的范圍，再證明在這個范圍內不等式成立，這是含參不等式的處理方法。例7 正實數滿足條件：，.證明：對于任意確定的，如果，則.證:由已知條件及柯西不等式，得.令，顯然有，由已知，得又對于固定的，有，.又，由柯西不等式，得；兩個不等式相加，得所以，由定義及，有從而，即.原命題獲證。二. 練習題1設，求證：證: 欲證式由柯西不等式， 注意到又.故, 由 欲證式成立.點評:這種帶條件的三元分式不等式很常見，用柯西不等式來證的較多，要適當選擇和，便于運用柯西不等式2已知ABC的外接圓半徑為R，半周長為p，面積為S. 求的最大值.解:.因為在內為

6、上凸函數，故當時，取得最大值3設是一個無窮項的實數列，對于所有正整數存在一個實數，使得且對所有正整數成立，證明：證: 對于，設為的一個排列且滿足：（柯西不等式）.故評注: 這里抓住整體性質，利用不等式處理問題是常用的思想方法。 4對任意a,b,cR+，證明：（a2+2）（b2+2）（c2+2）9（ab+bc+ca）.證: 原不等式a2 b2 c2 +2+4+8 9.由抽屜原理，不妨設a和b同時大于等于1，或同時小于等于1。則c2（a2-1）（b2-1）0.即a2 b2 c2+ c2a2 c2+ b2 c2由均值不等式，有以及.2+3+67. 又由知2+ a2 b2 c2+=2+a2 b2 c2+a2+ b2+ a2c2+ b2c2+2=(a2+ b2)+ (a2c2+1)+( b2c2+1)2a b+2ac+2bc,2+ a2 b2 c2+2a b+2ac+2bc.+得a2 b2 c2 +2+4+8 9.即原不等式成立。評注: 這是一道美國數學奧林匹克試題。這里用抽屜原理構造了一個局部不等式，結合算術幾何平均值不等式給