高考數(shù)學難點突破_難點04__三個“二次”及關(guān)系

1、難點4 三個“二次”及關(guān)系三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學數(shù)學的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關(guān).本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法.難點磁場已知對于x的所有實數(shù)值，二次函數(shù)f(x)=x24ax+2a+12(aR)的值都是非負的，求關(guān)于x的方程=|a1|+2的根的取值范圍.案例探究例1已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=bx，其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,cR).(

2、1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點A、B；(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍.命題意圖：本題主要考查考生對函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運用能力.屬于題目.知識依托：解答本題的閃光點是熟練應用方程的知識來解決問題及數(shù)與形的完美結(jié)合.錯解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數(shù)”.技巧與方法：利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化.(1)證明：由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,a>b>c,a>0,c<0c2>0,

3、>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點.(2)解：設方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=,x1x2=.|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0a>ac>c,解得(2,)的對稱軸方程是.(2,)時，為減函數(shù)|A1B1|2(3,12),故|A1B1|().例2已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.命題意圖：本題重點考查方程的根的分布問題

4、，屬級題目.知識依托：解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義.錯解分析：用二次函數(shù)的性質(zhì)對方程的根進行限制時，條件不嚴謹是解答本題的難點.技巧與方法：設出二次方程對應的函數(shù)，可畫出相應的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得.(2)據(jù)拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組(這里0<m<1是因為對稱軸x=m應在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過)錦囊妙計1.二次函數(shù)的基本性質(zhì)(1)二次函數(shù)的三種表示法：y=ax2+bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a

5、(xx0)2+n.(2)當a>0,f(x)在區(qū)間p,q上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q).若<p,則f(p)=m,f(q)=M;若p<x0,則f()=m,f(q)=M;若x0<q,則f(p)=M,f()=m;若q,則f(p)=M,f(q)=m.2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布及條件.(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0;(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r (3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)·f(q)&

6、lt;0,或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p,q)內(nèi)成立.(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(p<q).3.二次不等式轉(zhuǎn)化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是：(,),+a<0且f()=f()=0;(2)當a>0時，f()<f() |+|<|+|,當a<0時，f()<f()|+|>|+|;(3)當a>0時，二次不等式f(x)>0在p,q恒成立或(4)f(x)>0恒成立殲滅難點訓練一、選擇題1.()若不等式(a2)x2+2(a2)x4<0對一切xR恒成立，則a

7、的取值范圍是( )A.(,2B.2,2C.(2,2D.(,2)2.()設二次函數(shù)f(x)=x2x+a(a>0),若f(m)<0,則f(m1)的值為( )A.正數(shù)B.負數(shù)C.非負數(shù)D.正數(shù)、負數(shù)和零都有可能二、填空題3.()已知二次函數(shù)f(x)=4x22(p2)x2p2p+1,若在區(qū)間1，1內(nèi)至少存在一個實數(shù)c,使f(c)>0,則實數(shù)p的取值范圍是_.4.()二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為正，且對任意實數(shù)x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)<f(1+2xx2),則x的取值范圍是_.三、解答題5.()已知實數(shù)t滿足關(guān)系式 (a>0且a1)(1)令t=ax,

8、求y=f(x)的表達式；(2)若x(0,2時，y有最小值8，求a和x的值.6.()如果二次函數(shù)y=mx2+(m3)x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，試求m的取值范圍.7.()二次函數(shù)f(x)=px2+qx+r中實數(shù)p、q、r滿足=0,其中m>0,求證：(1)pf()<0;(2)方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)恒有解.8.()一個小服裝廠生產(chǎn)某種風衣，月銷售量x(件)與售價P(元/件)之間的關(guān)系為P=1602x,生產(chǎn)x件的成本R=500+30x元.(1)該廠的月產(chǎn)量多大時，月獲得的利潤不少于1300元？(2)當月產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？參考答案難點

9、磁場解：由條件知0,即(4a）24(2a+12)0,a2(1)當a1時，原方程化為：x=a2+a+6,a2+a+6=(a)2+.a=時，xmin=,a=時，xmax=.x.(2)當1a2時，x=a2+3a+2=(a+)2當a=1時，xmin=6,當a=2時，xmax=12,6x12.綜上所述,x12.殲滅難點訓練一、1.解析：當a2=0即a=2時,不等式為40,恒成立.a=2,當a20時，則a滿足,解得2a2,所以a的范圍是2a2.答案：C2.解析：f(x)=x2x+a的對稱軸為x=,且f(1)>0,則f(0)>0,而f(m)0,m(0,1),m10,f(m1)>0.答案：A

10、二、3.解析：只需f(1)=2p23p+9>0或f(1)=2p2+p+1>0即3p或p1.p(3, ).答案：(3，）4.解析：由f(2+x)=f(2x)知x=2為對稱軸，由于距對稱軸較近的點的縱坐標較小，|12x22|1+2xx22|,2x0.答案：2x0三、5.解：(1）由loga得logat3=logty3logta由t=ax知x=logat，代入上式得x3=,logay=x23x+3，即y=a (x0).(2)令u=x23x+3=(x)2+ (x0),則y=au若0a1,要使y=au有最小值8，則u=(x)2+在(0，2上應有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.若a>

11、;1,要使y=au有最小值8，則u=(x)2+,x(0,2應有最小值當x=時，umin=,ymin=由=8得a=16.所求a=16,x=.6.解：f(0)=1>0(1)當m0時，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點且分別在y軸兩側(cè)，符合題意.(2）當m>0時，則解得0m1綜上所述，m的取值范圍是m|m1且m0.7.證明：(1),由于f(x)是二次函數(shù)，故p0,又m>0,所以，pf()0.(2)由題意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r當p0時，由(1）知f()0若r>0,則f(0)>0,又f()0,所以f(x)=0在(0，)內(nèi)有解;若r0,則f(1)=p+q+r=p+(m+1)=()+r=>0,又f()0,所以f(x)=0在(,1)內(nèi)有解.當p0時同理可證.8.解：(1）設該廠的月獲利為y,依題意得y=(1602x)x(500+30x)=