特殊行列式及行列式計(jì)算方法總結(jié)

1、特殊行列式及行列式計(jì)算方法總結(jié)一、 幾類特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、對(duì)角行列式（教材P7例5、例6）2. 以副對(duì)角線為標(biāo)準(zhǔn)的行列式3. 分塊行列式（教材P14例10）一般化結(jié)果： 4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4種特殊行列式的結(jié)果需牢記！ 以下幾種行列式的特殊解法必須熟練掌握！二、 低階行列式計(jì)算 二階、三階行列式對(duì)角線法則 （教材P2、P3）三、 高階行列式的計(jì)算【五種解題方法】1) 利用行列式定義直接計(jì)算特殊行列式；2) 利用行列式的性質(zhì)將高階行列式化成已知結(jié)果的特殊行列式；3) 利用行列式的行（列）擴(kuò)展定理以及行列式的性質(zhì)，將行列式降階進(jìn)行計(jì)算適用于行列式的某一行或

2、某一列中有很多零元素，并且非零元素的代數(shù)余子式很容易計(jì)算；4) 遞推法或數(shù)學(xué)歸納法；5) 升階法（又稱加邊法）【常見的化簡行列式的方法】1. 利用行列式定義直接計(jì)算特殊行列式例1 （2001年考研題）分析：該行列式的特點(diǎn)是每行每列只有一個(gè)元素，因此很容易聯(lián)想到直接利用行列式定義進(jìn)行計(jì)算。解法一：定義法解法二：行列式性質(zhì)法利用行列式性質(zhì)2把最后一行依次與第n-1,n-2,2,1行交換（這里n=2001），即進(jìn)行2000次換行以后，變成副對(duì)角行列式。解法三：分塊法利用分塊行列式的結(jié)果可以得到解法四：降階定理展開按照每一行分別逐次展開，此處不再詳細(xì)計(jì)算。2. 利用行列式的性質(zhì)將高階行列式化成已知結(jié)果

3、的特殊行列式例2分析：該行列式的特點(diǎn)是1很多，可以通過和來將行列式中的很多1化成0.解：例3 ，分析：該類行列式特點(diǎn)是每行的次數(shù)遞減，的次數(shù)增加。特點(diǎn)與范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性質(zhì)將D化成范德蒙行列式。解：練習(xí)：（11-12年 IT專業(yè)期末考試題）若實(shí)數(shù)各不相等，則矩陣的行列式_3. 利用行列式的行（列）擴(kuò)展定理以及行列式的性質(zhì)，將行列式降階進(jìn)行計(jì)算例4分析：該行列式特點(diǎn)是處于主對(duì)角線，在后的一個(gè)位置，最后一行中是第一個(gè)元素，是最后一個(gè)元素。解：按第一列展開：練習(xí)：（11-12年期中考試題）4. 行（列）和相等的行列式例5分析：該行列式的特點(diǎn)是主對(duì)角線上元素為，其余位置上都是。可

4、將第2,3，n列加到第1列上。（類似題型：教材P12例8，P27 8(2)）解：5. 箭頭形（爪行）行列式例6分析：該類行列式特點(diǎn)是第一行、第一列及主對(duì)角上元素不為0，其余位置都為0.解此類行列式方法，是將行列式化成上三角行列式。解：分別從第2,3,n列提出因子2,3，n，然后將第2,3,n列分別乘以-1，再加到第1列上。注：爪形行列式非常重要，很多看似復(fù)雜的行列式通過簡單變化以后都可以化成爪形行列式進(jìn)行計(jì)算！練習(xí)：1) 教材習(xí)題P28: 8(6)2) （11-12年期末考試題）3) （11-12年IT期末考試題）例7分析：該類行列式特點(diǎn)是每一行只有主對(duì)角線上的元素與第一個(gè)元素不同。解：6.

5、遞推法或數(shù)學(xué)歸納法該方法用于行列式結(jié)構(gòu)具有一定的對(duì)稱性，教材P15例11就是遞推法的經(jīng)典例題。利用同樣的方法可以計(jì)算教材P27 8(4)。7. 升階法通常計(jì)算行列式都采用降階的方法，是行列式從高階降到低階，但是對(duì)于某些行列式，可以通過加上一行或一列使得行列式變成特殊行列式，再進(jìn)行計(jì)算。例8 （教材P28 8(6)）, 分析：該題有很多解法，這里重點(diǎn)介紹升階法。因?yàn)樾辛惺街杏泻芏?，因此可以增加一行1，使得行列式變成比較特殊或者好處理的行列式。注意：行列式是方形的，因此在增加一行以后還要增加一列，以保持行列式的形狀。為了使行列式的值不改變，因此增加的列為1,0,0,0.例9 （教材P27 6(4)）分析：此行列式可以應(yīng)用性質(zhì)6將行列式化為上三角行列式，