學而思七上--第2講--絕對值幾何意義突破(共13頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上領(lǐng)先中考培優(yōu)課程 MATHEMATICS 2絕對值幾何意義突破 知識目標 目標一熟練絕對值式子的幾何意義距離，理解最值的含義目標二掌握幾何意義求多個絕對值之和的最小值的方法目標三掌握一般的絕對值式子求最值、定值的方法一零點分段法思維引入最值的含義 知識導(dǎo)航 最大值與最小值統(tǒng)稱為最值， 一個代數(shù)式一般能取到無數(shù)個值，我們把其中最大的值叫做最大值，最小的值叫做最小值，例如： 當x等于任意數(shù)時，代數(shù)式能取到無數(shù)個值但其中最小的值是0因此可以說,僅當x2時取得最小值為0；此時可以無窮大因此它沒有最大值 當1x3時，2x3能取到無數(shù)個值，但當x1時2x 3取得最小值為1；當x3

2、時 ， 2x3取得最大值為3這里也可以描述為當lx3時,1 2x 33練習最值的含義的理解1. 的最小值是 ，當x 時它取得最小值； 一的最大值是 ，當x 時它取得最大值； 當x 時，(13x)2 2取得最小值為 ； 當x 時，3一取得最大值為 ；2.先化簡，再求它的最值，并說明相應(yīng)的x的取圍3 先化簡，再求它的最值，并說明相應(yīng)的x的取值范圍. 總結(jié)歸納 雖然“最值”這個概念是代數(shù)層面上的，通過代數(shù)計算來找最值是最本質(zhì)的方法，但通過上面的練習不難發(fā)現(xiàn)，如果純通過代數(shù)計算來找最值，有時過程會比較繁瑣，計算量也較大，耗時又易錯. 初中知識兩大主線幾何與代數(shù)各成體系又相輔相成，例如數(shù)軸就是用形來表示

3、數(shù)，后面學習坐標系與函數(shù)后會有更多數(shù)與形的結(jié)合現(xiàn)階段，絕對值的代數(shù)運算意義和它在數(shù)軸上表示距離的幾何意義，就架起了數(shù)與形的橋梁靈活運用絕對值的代數(shù)意義與幾何意義，融會貫通，就能使二者相得益彰，不僅能為解題帶來很大幫助，這種思維間的轉(zhuǎn)換對以后的學習也大有裨益 本講要學習的主要就是僅含絕對值的式子求最值的方法絕對值的幾何意義模塊一 絕對值的幾何視角距離知識導(dǎo)航通過前面的學習我們對絕對值的代數(shù)意義已經(jīng)很熟悉 ，這 讓我們看到一個含絕對值式子的第一反應(yīng)就是，我們可以把它拆開例如，當這個式子出現(xiàn)在我們眼前，它就被我們強迫癥般的在腦海中變成了誠然，這種利用代數(shù)意義進行的轉(zhuǎn)換在做絕對值化簡時是必要且實用的但

4、在做最值類題型時反而繞了，轉(zhuǎn)換為距離更簡實際上，前面我們已經(jīng)多次接觸了絕對值的幾何意義，上一講更是大量用到了絕對值來表示數(shù)軸上點的距離，因此當我們看到要“表示數(shù)軸上的距離”時會不自覺的想到“可以用絕對值來表示”反過來，我們也應(yīng)該認識到，當一個絕對使式子出觀時，它也代表著距離例如，表示數(shù)軸上數(shù)a對應(yīng)的點到原點的距離，的幾何意義是數(shù)軸上表示m的點與表示n的點之間的距離. 所以，當這個式子出現(xiàn)在我們眼前，它還應(yīng)該被我們強迫癥般的在腦海中變成“這表示數(shù)軸上x對應(yīng)的點與1對應(yīng)的點之間的距離”練習 幾何視角1. 的幾何意義是數(shù)軸上表示1的點與表示2的點之間的距離，則 ；2的幾何意義是數(shù)軸上表示 的點與表示

5、 的點之間的距離： 1的幾何意義是數(shù)軸上表示 的點與表示 的點之間的距離是 ：3. 的幾何意義是表示 的點與表示 的點之間的距離，且； 的幾何意義是表示 的點與表示 的點之間的距離，； 4的幾何意義是數(shù)軸上表示 點與表示 點之間的距離；若2，則x ；5 當x1時， ，當x時， .例1(1)數(shù)軸上四個點的位置關(guān)系如右圖，且它們表示的數(shù)分別為p,q，r，s若 則 (2)有理數(shù)a、b、c、d各自對應(yīng)著數(shù)軸上X、Y、Z、R四個點，且它們滿足以下三個條件： 比，都大； c是a、b、c、d中第二大的數(shù)則點X、Y、Z、R從左到右依次是 .練滿足成立的條件是( )A ab0 Bab 1 C. ab 0 D.

6、ab1模塊二 絕對值之和求最小值知識導(dǎo)航求的最小值；即數(shù)軸上x與1對應(yīng)的點之間的距離，即數(shù)軸上x與2對應(yīng)的點之間的距離， 把這兩個距離在同一個數(shù)軸上表示出來，然后把距離相加即可得原式的值.設(shè)A、B、P三點對應(yīng)的數(shù)分別是1、2、x.當lx2時，即P點在線段AB上，此時； 當x2時，即P點在B點右側(cè)，此時 PAPBAB2PBAB； 當x 1時，即P點在A點左側(cè)，此時PAPBAB2PAAB；綜上可知，當lx2時（P點在線段AB上），取得最小值為1此結(jié)論可以推廣：若已知以ab，則當axb時，取得最小值為ba.題型一 兩個絕對值相加求最小值例2（1）當x滿足 時,取得最小值為 ； 當x滿足 時,取得最小

7、值為 ； 當x滿足 時，取得最小值為 （2）當1x6時，的最小值為 ,最大值為 .（3）當取得最小值時，試化簡 總結(jié)歸納 絕對值的最值問題多以選填題的形式考察，上述絕對值幾何意義的方法能迅速求解，但此法不能作為大題的解題步驟，所以一旦要求寫大題步驟，只能使用零點分段法化簡，分別求出每一段的取值范圍，最后得到最值練（1）當x滿足 時，取得最小值為 ； 當x滿足 時取得最小值為 （2）已知x為整數(shù)，且滿足,則x的所有可能值之和為 .（3）求的最小值，并寫出相應(yīng)的x的范圍 挑戰(zhàn)壓軸題 （2014武昌七校七上期中壓軸題）數(shù)軸上兩點間的距離等于這兩點所對應(yīng)的數(shù)的差的絕對 值，例：如圖所示，點A、B在數(shù)軸

8、上分別對應(yīng)的數(shù)為a、b，則A、B兩點間的距離表示為，根據(jù)以上知識解題：(1) 若數(shù)軸上兩點A、B表示的數(shù)為x、1. A、B之間的距離可用含x的式子表為 ；若該兩點之間的距離為2,那么x值為 .(2) 的最小值為 ，此時x的取值范圍是 ； 已知，求x2y的最大值和最小值.拓已知，求xy的最值題型二 多個絕對值相加求最小值以四個絕對值之和為例，求的最小值； 設(shè)A、B、C、D、P五點對應(yīng)的數(shù)分別為1、2、3、4、x，在數(shù)軸上畫出各點，排好序之后由遠及近依次兩兩一組求和。 當1x4時，PAPD413，取得最小值； 當2x3時，PBPC 321，取得最小值； 所求的，即上面兩式與之和，如果這兩式能同時取

9、得最小值，即PAPD與PBPC同時最小，那么它們的和必然也取得最小值 故當2x3時，的最小值為(41)(32)4再以三個絕對值之和為例，求的最小值； 設(shè)A、B、C、P四點對應(yīng)的數(shù)分別為0、1、2、x 當0x2時，取得最小值； 當xl時，取得最小值； 所求的PAPBPC即上面兩式之和，如果這兩式和能同時取得最小值，即PAPC與PB同時最小，那么它們的和必然也取得最小值故僅當xl時，的最小值為(2 0)02若求更多的偶數(shù)個或奇數(shù)個絕對值之和，可以用同樣的方法求其最小值例3（1）當x滿足 時，取得最小值為 ； 當x滿足 時，取得最小值為 ；當x滿足 時，取得最小值為 ； (2)當x滿足 時，取得最小

10、值為 ； 當x滿足 時，取得最小值為 ；（3）當x滿足 時，取得最小值為 ；當x當x滿足 時，取得最小值為 ； （4）若0a10,則當x滿足 時，的最小值是 ；總結(jié)歸納奇數(shù)個x取“中間點”若，當x滿足 時，取得最小值；最小值為.偶數(shù)個x取“中間段” 若，當x滿足 時，取得最小值； 最小值為.練 (1)當x滿足 時，取得最小值為 ； 當x滿足 時，取得最小值為 . (2)求的最小值，并寫出相應(yīng)的x的范圍拓求的最值； 求的最值.模塊三 絕對值之差求最值 知識導(dǎo)航求的最大值：設(shè)A、B、P三點對應(yīng)的數(shù)分別為l、2、x，當1x2時，即P點在線段AB上，此時PAPB，其值在1到1之間，其中，當xl時，PA

11、PBl，當x2時PAPB1,當lx2時，1PAPB1.當x2時，即P點在B點右側(cè)，此時PAPBAB1 當xl時，即P點在A點左側(cè)，此時PAPB1 綜上可得：當xl時（P點在A點左側(cè)）取得最小值為l： 當x2時（P點在B點右側(cè)）取得量大值為1 用絕對值代數(shù)意義展開亦可知 此結(jié)論可以推廣： 的最大值為最小值為，至于當x滿足什么條件時分別取最大、最小值則可以畫數(shù)軸分析或把絕對值展開計算例4 （1）用絕對值的幾何意義求的最值.(2) 用“零點分段法”化簡，求出最值，并說明相應(yīng)的x的取值范圍(3) 求的最值 練（2012武昌七校七上期中） 當x在何范圍時，有最大值，并求出最大值.當x在何范圍時，有最大值

12、，并求出它的最大值代數(shù)式最大值是 模塊四 定值問題 知識導(dǎo)航 定值即指代數(shù)式的值恒為某一個數(shù) 例如用“零點分段法”化簡可得.可見當x2時的值恒為1即定值為1；當xl時的值恒為1，即定值為1 再如，令s ，化簡可得s，可見對于2xl范圍內(nèi)的任意x值，s的值恒為常數(shù)1，我們就說當2x1時s為定值綜上可知，要讓某式有定值，必須使它在某一條件下的取值與x無關(guān)因此，定值問題的核心任務(wù)是，找到x的某個取值范圍，使得代數(shù)式中的x正好可以相互抵消 例5 (1)如果對于某一給定范圍內(nèi)的x值，p為定值，則此定值為 ，相 應(yīng)的x的范圍是 （2）如果對于某一給定范圍內(nèi)的x值，p為定值，則此定值為 (3)如果對于某一給

13、定范圍內(nèi)的x值，p 為定值，則此定值為 ， 相應(yīng)的x的范圍是 .練如果對于某一給范圍內(nèi)的x值，m為定值，則此定值為 ，相應(yīng)的x的范圍是 . 總結(jié)歸納 定值問題雖然也可以用絕對值的幾何意義轉(zhuǎn)化為距離來求解，但它并不是此類題型的本質(zhì)解法，僅在x的系數(shù)都為l時此法較為便捷產(chǎn)生定值的根本原因是x相互抵消了，因此定值問題的本質(zhì)解法是用類似“零點分段法”的思路，將式子中的每個絕對值拆開，配x的系數(shù)使它為0，從而迅速找到相應(yīng)的x的范圍，并求出定值.當然，上述方法都針對的是選填題，能迅速找到答案如果是需要寫過程的大題，無論是求最值還是定值，都只能用“零點分段法，分類討論求解例6 (1) 若的值恒為常數(shù)，則x應(yīng)

14、滿足怎樣的條件？此常數(shù)的值為少？（2）（2014武昌七校中）如果對于某一特定范圍內(nèi)x的任意允許值， s 的值恒為一常數(shù)，剛此常數(shù)值為（ ）. A.0 B.2 C4 D.6(3) 已知對于某一特定范圍內(nèi)a的任意允許值，的值恒為一常教 則此常數(shù)值為( ) A. 12 B.2 C12 D12或12(4)如果對于某一特定范圍內(nèi)x的任意允許值，s的值恒為一常數(shù)，則相應(yīng)的x的取值范圍是 .練 若的值是一個定值，求a的取值范圍.拓（2012外校七上期中）已知x為正數(shù)，且對于x在某一范圍內(nèi)任意取值，代數(shù)式 的值恒為定值，試求出x的取值范圍及這個定值第2講 絕對值幾何意義突破（課后作業(yè)）1.不相等的有理數(shù)a、b

15、、c在數(shù)軸對應(yīng)的點分別為A、B、C，如果， 那么點A、B、C在數(shù)軸上的位置關(guān)系是( ) A點A在點B、C之間 B.點B在點A、C之間 C點C在點A、B之間 D.以上三種情況均有可能2 已知0 p20，當px20時，的最小值是( ) A. 40 B0 C. 20 D一個與p有關(guān)的代數(shù)式3. 如果對于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值，p 的值恒為一常數(shù)，則此值為( ) A.1 B0 C1 D1或14. 如果對于某一給定范圍內(nèi)的x值，p為定值，則此定值為 相應(yīng)的x的范圍是 5根據(jù)絕對值的幾何意義可知：，它在數(shù)軸上的意義是表示3的點與原點之間 的距離；又如式子，它的幾何意義是表示8的點與表示3的點之間的距離，那么： （1）在數(shù)軸上的意義是 ； （2）的最小值為 ； （3）的最小值為 .6. 如果對于某一特定范圍內(nèi)x的任意允許值，S的 值恒為一常數(shù)，則此常為 ，相應(yīng)的x的取值范圍是 .7. 已知a為整數(shù)，且滿足，則a的值為 .8. （