三角函數(shù)公式大全及其推導方法

1、三角函數(shù)公式大全及其推導1.三角函數(shù)的定義2.額外的定義3.簡便計算公式證明:證完4.任意三角形的面積公式CA如 Figure II,證完6.海倫公式v證明：如 Figureii,7.正弦定理22rsinr sinr cosr cos2 . 2 r sin2 . 2 r sin2r2sinsin2 r cos2 cosc 22r coscos.2 sin.2 sin2sin sin2 cos2 cos2coscos2 rsin22 cos.2 2 sincos2 r112 sin sincos cos2 r22sin sincos cos2r21sin sincos cos2sinsin2co

2、scosvv由余弦公式可得:綜上得：cossin sin cos cosvv(2) 兩角和的余弦(3) 兩角和的正弦(4) 兩角差的正弦(5) 兩角和的正切(6) 兩角差的正切9. 兩倍角公式10. 積化和差公式11. 和差化積公式設(shè)：A= a B= a 3設(shè)：coscos 2sin 212. 其他常用公式13.特殊的三角函數(shù)值0 01530456075邑9012643122sin0J 6 f21丘V 6/2142224cos1耳亞1品2042224tan02 73逅1432 43N/A314.關(guān)于機器算法在計算機中，三角函數(shù)的算法是這樣的，其中x用弧度計算推導公式：(a+b+c)/(sinA

3、+sinB+sinC)=2R(其中，R為外接圓半徑)由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起來 a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC) 帶入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R 兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(

4、tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA"CosA對數(shù)的性質(zhì)及推導用A表示乘方，用log(a)(b表示以a為底，b的對數(shù)*表示乘號， / 表示除號定義式：若 aAn=b(a>0 且 a 1)則 n=log(a)(b)基本性質(zhì)：1.aA(log(a)(b)=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)

5、=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(MAn)=nlog(a)(M)推導1.這個就不用推了吧，直接由定義式可得(把定義式中的n=log(a)(b)帶入aAn=b)2.MN=M*N由基本性質(zhì) 1(換掉 M 和 N)aAlog(a)(MN)=aAlog(a)(M)*aAlog(a)(N)由指數(shù)的性質(zhì)aAlog(a)(MN)=aAlog(a)(M)+log(a)(N)又因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.與 2 類似處理MN=M/N由基本性質(zhì) 1(換掉 M 和 N)aAlog(a)(M/N)=aAlog(a)(M)/aAl

6、og(a)(N)由指數(shù)的性質(zhì)aAlog(a)(M/N)=aAlog(a)(M)-log(a)(N)又因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N) 4.與 2 類似處理MM=M5由基本性質(zhì) 1(換掉 M)aAlog(a)(MA n)=aAlog(a)(M)5由指數(shù)的性質(zhì)aAlog(a)(MAn)=aAlog(a)(M)*n又因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log(a)(MAn)=nlog(a)(M)其他性質(zhì)：性質(zhì)一：換底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推導如下N=aAlog(a)(N)a=bAlog(b)(a)綜合兩式可得N

7、=bAlog(b)(a)Alog(a)(N)=bAlog(a)(N)*log(b)(a)又因為 N=bAlog(b)(N)所以b件log(b)(N)=byiog(a)(N)*log(b)(a)所以log(b)(N)=log(a)(N)*log(b)(a)®步不明白或有疑問看上面的 所以 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性質(zhì)二：(不知道什么名字)log(aA n)(bAm)=m/n*log(a)(b)推導如下由換底公式lnx是log(e)(x),e稱作自然對數(shù)的底log(aAn)(bAm)=ln(aAn)/ln(bAn)由基本性質(zhì) 4 可得log(aAn)(b

8、Am)=n*ln(a)/m*ln(b)=(m/n)*ln(a)/ln(b)再由換底公式log(aAn)(bAm)=m/n*log(a)(b)(性質(zhì)及推導完)公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)證明如下:由換底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)-取以 b 為底的對數(shù)，log(b)(b)=1=1/log(b)(a)還可變形得 :log(a)(b)*log(b)(a)=1平方關(guān)系：sin A2(oa+cosA2(c)=1tan 八2(»+仁secA2(McotA2(M+仁 cscA2( a商的關(guān)系：tan o=sin acos ocot o=co

9、s o/sin a倒數(shù)關(guān)系：tan a-coto=1sin a-csco=1 cosasec=1萬能公式：sin a2tan( a2)/1+tanT( a2)coso=1-tanA2(o/2)/1+tanT( o/2)tan a=2tan(o/2)/1-tanT( c/2)常用的誘導公式有以下幾組：公式一：設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin (2kn + a)=sinacos( 2k n + a)8Satan (2kn + a)4anacot (2kn + a)韋Ota公式二：設(shè)a為任意角，na的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin (n + a)=sin aco

10、s (n + a)=COSatan (n + a)4an aCOt (n + a)=GOt a公式三：任意角a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin ( a) sin aCOS (a)COS atan(a)tanaCOt(a)COta公式四：利用公式二和公式三可以得到n - a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin (n a) n aCOS (n a)=OSatan (n a)=anaCOt (n a)=ot a公式五：利用公式一和公式三可以得到 2na與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin (2n a)=inaCOS (2 n a)8Satan (2 n a)=4an aCOt (2 n a)=Ot a

11、公式六：n2 ±口及3 n2 ±口與口的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin (d2 + a)=COSacos (n/2 +a)=sin atan (n/2 +a)=cotacot (n/2 + a)=tanasin (d2 a)=COSacos (n/2 a)=sinatan (n/2 a)=cotacot (n/2 a)Hanasin (3 d2 + a)=cosacos ( 3d2 +a)=sinatan (3 n2 + a)=cotacot (3 t/2 + a)=ta n asin (3 n2 a)=COSacos (3 n2 a)=sin atan (3/2 a)=co

12、tacot (3 42 a)Han a(以上k Z)一般的最常用公式有 :Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)平方關(guān)系：sin A2(0l+cosA2(c)=1 tan 八2(»+仁secA2(M8護2(滬仁 cscA2( a積的關(guān)系：sin atan o*cos

13、acosa=cot o*sin atana=sin o*secacot a=cos o*cscaseco=tan o*cscaCSCo=SeCo*COt a倒數(shù)關(guān)系：tan a-coto=1sin a-csco=1cosasec=1直角三角形 ABC 中,角 A 的正弦值就等于角 A 的對邊比斜邊 ,余弦等于角 A 的鄰邊比斜邊正切等于對邊比鄰邊三角函數(shù)恒等變形公式兩角和與差的三角函數(shù)：COS(o+ ®=COSa8S0Sin a-s耐C0S(a®=C0Sa8Sf+sin a-S"Bsin (a土)=s in acosBcosasi nBtan(o- 3=(tan

14、o-tan B)/(1-tan a-tan®tan(a B)=(tan atan ®/(1+tan a-tan ®輔助角公式：As in aBcos o=(AA2+BA2)A(1/2)s in( a+t)，其中sin t=B/(AA2+BA2F(1/2)Cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)倍角公式：sin(2»=2sin a-coso=2/(tan o+cot aCos(2a)=CosA2(a)-sinA2(a)=2CosA2(a)-1=1-2sinA2(a)tan(2a)=2tan a/1-tanA2( a)三倍角公式：sin(3»=

15、3sin a4si門八3("cos(3a=4cos3( M-3cosa半角公式：sin(a2)= ±V (1-coso)/2)cos(a2)= ±V (l+cosM/2)tan(q/2)= ±V(1-cos()/(1+cos c)=sino/(1+cos c)=(1-coso)/sin a降幕公式sinA2(M=(1-cos(2M)/2=versin(2 a/2cosA2(a=(1+cos(2 a)/2=vercos(2 c)/2tanA2(M=(1-cos(2c)/(1+cos(2 o)萬能公式：sin(=2tan(/2)/1+ta門八2( o/2)c

16、oso=1-tanA2(o/2)/1+ta門八2( o/2)tan o=2tan(o/2)/1-ta門八2( c/2)積化和差公式：sin a-cosf=(1/2)sin( (+ ®+sin(厭 ® cosasinf=(1/2)sin( a ®-sin(a 3C0SaC0Sf=(1/2)C0S( a+ ®+COS( a ®sin a-sinp=-(1/2)cos( o+ 3-cos(a®和差化積公式：sina+sin3=2sin(a+3)/2C0s(a-3)/2 sina-sin3=2Cos(a+3)/2sin(a-3)/2Cosa+

17、Cos 3=2Cos(a+ 3)/2Cos( a- 3)/2Cosa-Cos3=-2sin(a+3)/2sin(a-3)/2其他：sin a+sin( a+2 dn)+sin( a+2 /2/n)+sin( a+2 n3/n)+ +sin a+2 /(n-1)/n=0cosa+cos(o+2 nn)+cos( a+2 n2/n)+cos( a+2 n3/n)+ +cos a+2 n(n-1)/n=0 以及sinA2(M+sinT(a2n3)+sinT( a+2 d3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等內(nèi)容高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰

18、勒級數(shù)易得):sin x=eA(ix)-eA(-ix)/(2i)cosx=eA(ix)+eA(-ix)/2 tan x=eA(ix)-eA(-ix)/ieA(ix)+ieA(-ix)泰勒展開有無窮級數(shù)，eAz=exp(z)= 1+z/1 ! +乙八2/2 !+ .+ zAn/n !+此時三角函數(shù)定義域已推廣至整個復數(shù)集。三角函數(shù)作為微分方程的解：對于微分方程組y=-y”;y=y”，有通解Q,可證明Q=Asi nx+Bcosx，因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。補充：由相應的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。特殊三角函數(shù)值a0'30'45

19、'60'90'sin a01/2V 2/2 V 3/21cosaV 3/2 V 2/21/20tana0V3/31 V3None+ zA3/3 !+ zA4/4!雙曲函數(shù)， 其擁cotaNoneV31V3/30三角函數(shù)的計算冪級數(shù)c0+c1x+c2x2+.+c nxn+.=刀 cnxn(n=O.a)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+c n(x-a) n+.=Z cn (x-a) n(n=0.產(chǎn))它們的各項都是正整數(shù)幕的幕函數(shù)，其中c0,c1,c2,及a都是常數(shù),這種級數(shù)稱為冪級數(shù) .泰勒展開式 (冪級數(shù)展開法 ):f(x)=f(a)+f'(a)/1!*

20、(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+.實用冪級數(shù)：ex=1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+.ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+.(|x|<1)sinx=x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-<x<)cosx=1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-<x<)arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.(|x|<1)arccosx= n(x+1/2*x3/3

21、+1*3/(2*4)*x5/5+.)(|x|<1)arctanx=x-xA3/3+xA5/5-.(x < 1)sinhx=x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-<x<)coshx=1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-<x<)arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-.(|x|<1)arcta nhx=x+xA3/3+xA5/5+.(|x|<1)傅立葉級數(shù) (三角級數(shù) )f(x)=a0/2+ 刀(n=O.a )(a ncos nx+b nsinnx

22、)aO=1/ n"n.-n(f(x)dxan=1/ nj(n：n(f(x)cosnx)dxbn=1/ n"n.-n(f(x)sinnx)dx注意：正切也可以表示為“ Tg”如：TanA=TgASin2a=2SinaCosaCos2a=CosaA2-Si naT=1-2Si naA2=2CosaA2-1Tan2a=2Tana/1-TanaA2眾所周知，在數(shù)學和物理中，三角函數(shù)是一個重要的工具，以下是一些推導公式，希望對大家有作用平方關(guān)系：sin2( a+cosA2( a=1 cosA2a=(1+cos2a)/2tanA2( o)+1=secA2( asinA2a=(1-cos

23、2a)/2cotA2( M+仁cscA2( a 積的關(guān)系：sin a=tan a*cos aos acot asin aan o=sin o*secacot a=cos acsc oseca=tan a*csc acsc a=sec a*cot a 倒 數(shù)關(guān)系：tan a-cota=1sin a-csco=1cos a-seca=1直角三角形 ABC中， 角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊，余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對邊比鄰邊,三角函數(shù)恒等變形公式兩角和與差的三角函數(shù)： cos(a+ 3=COS acos0s in a-s in 伍OS(a3=COS a-cos j>s in a-

24、s in 傳in (a 土)=sin a-cos3±cosa-si n 3an( a+ ®=(tan atan ”(1-tan a-tan j)tan(a- ®=(tan atan ®/(1+tan a-tan 3 三角和 的三角函 數(shù)：sin(a+ 供 Y=s in acosBcosYcos a-s in p-cosy+cos a-cos 3s in 丫sin a-s in 3-s in Yos(a+ 供 Y=cos a-cos 3-cos-cos a-s in 3-s inysin acosps inysin a-s in 3-costa n(a+供

25、Y=(ta na+tan 3輔助角公式 ：其中a+Bcos a=(AA2+BA2)A(1/2)cos(+tan ytan a-tan 3-tan-)/(1-tan a-tan tan3-tantan y-tan a Asin a+Bcos a=(AA2+BA2)A(1/2)sin( a+t),sin t=B/(AA2+BA2)A(1/2)cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)ta nt=B/AAs inat),ta nt=A/Bsin(2 a)=2sin a-cosa=2/(tan a+cot c)cos(2 a)=cosA2( a_sin人2( a=2cosA2( a-1=1-2si門

26、人2( atan(2 a=2t an «/1-ta門人2( a 三倍角公式：sin(3o)=3sin a-4sinA3(acos(3o)=4cosA3(a)-3cosa半角公式：sin(a2)= ±V (1-cos"/2)cos( a2)= ±V (1+cos o)/2)tan( a2)= ±V (1-cosc)/(1+cos a)=sin a(1 + coso)=(1-cos a)/sin a 降幕公式sin人2( a=(1-cos(2 a)/2=versin(2 o)/2cosA2( a=(1+cos(2 a)/2=covers(2 a)/

27、2ta門人2( a=(1-cos(2 a)/(1 +cos(2a) 萬能公式sin a=2tan( 2)/1+ta門人2( 2)cos a=1-ta門人2( o/2)/1+ta門人2( a2)tan a=2tan( a2)/1-ta門人2( o/2)積化和差公式sin a-cos 3=(1/2)s in( a+ 3+si n( a 3cosasi n 3=(1/2)s in( a+ ®-s in (a3cosacos3=(1/2)cos( a 3 )+cos( a 3)sinasin 3=-(1/2)COS( a+ 3)-cos( a- 3)- 和 差 化 積 公 式 ： sin a

28、+sin 3=2sin( a+ ®/2cos( a ®/2sin a-sin 3=2cos( a 3>/2sin( a ®/2cos a+cos 3=2cos( a 3/2c os( a 3>/2COS aCOS3=-2sin( a+ 3/2sin( a 3/2-推導公式tan a-cot a=2/sin2 aan acot a=-2cot2 a+cos2 a=2cosA2 a1-cos2o=2sin人2 a+sin a=(sin a2+cos 2)人2 -其他：sin a+sin( a+2nn)+sin(a+2n2/n)+sin(a+2n3/n)+

29、+sin a+2n(n-1)/n=0cosa+cos(a+2nn)+cos(a+2 n2/n)+cos( a+2 n*3/n)+ +cos a+2 /(n-1)/n=0以及sinA2( a+si門人2( a-2 n3)+si門人2( a+2 n3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2 x+.+cos nx=sin(n+1)x+s inn x-s in x/2s inx證 明：左 邊=2s in x(cosx+cos2x+.+cos nx)/2s in x=s in 2x-0+s in 3x-s in x+s in4 x-s in 2x+.+sinn x-s in(n-2)x+s in(n+1)x-s in(n-1)x/2s inx(積化和差)=s in(n+1)x+s inn x-s in x/2s inx= 右邊等 式得證 sinx+sin2x+.+sinnx=- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx證明： 左邊=-2s in xs in x+s in 2x+.+s inn x