貝葉斯公式的幾個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、第 27 卷第 2 期大 學(xué) 數(shù) 學(xué)V ol .27 , .22011 年 4 月COLLEGE M A TH EM A TICSApr .2011貝葉斯公式的幾個(gè)應(yīng)用楊 靜1 ,陳 冬1 ,程小紅2(1.北京聯(lián)合大學(xué)基礎(chǔ)部, 北京 100101 ; 2 .首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院, 北京 100080) 摘 要介紹了貝葉斯公式的一些應(yīng)用實(shí)例及分析 , 以使在教學(xué)中能幫助學(xué)生更深入地理解該公式. 關(guān)鍵詞貝葉斯公式;應(yīng)用;案例 中圖分類號(hào) O 211 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 C 文章編號(hào)1672-1454(2011)02-0166-04在一般的概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)中 ,都會(huì)涉及到貝葉斯公式 .遺憾的是, 多數(shù)

2、教材對(duì)該公式的探討都點(diǎn)到為止.同時(shí),教材中所涉及到的應(yīng)用又都過于單調(diào).據(jù)此, 本文擬對(duì)由貝葉斯公式得到的結(jié)論作更深入的探討以及提供更多類型的應(yīng)用.通過貝葉斯公式, 我們看到, 某些看似合理的結(jié)論卻往往蘊(yùn)含著不合理.1 貝葉斯公式貝葉斯公式是英國(guó)學(xué)者托馬斯 貝葉斯(Thomas Bayes , 1702 -1761)最早發(fā)現(xiàn)的, 首次發(fā)表在 1763 年 ,當(dāng)時(shí)貝葉斯已經(jīng)去世 , 其結(jié)果沒有受到應(yīng)有的重視.1774 年 , 法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(P .-s . Laplace , 1749 -1827)再一次總結(jié)了這一結(jié)果 .此后 ,人們逐漸認(rèn)識(shí)到這個(gè)著名概率公式的重要性.現(xiàn)在,它已在疾病診斷、安

3、全監(jiān)控、質(zhì)量控制、安全部門的招募、藥劑檢測(cè)等方面發(fā)揮著重要的作用.貝葉斯公式 若事件B1 ,B2 , ,Bn 是樣本空間的一個(gè)劃分, P(B i)0 (i =1 ,2 , , n ),A 是任一事件且 P(A)0 , 則有P(BjA)=P(Bj )P(AB j ) (j =1 ,2 , , n ),(1)P(A)其中 , P(A)可由全概公式得到 .即nP(A)= P(B i)P(AB i).i =1本文主要應(yīng)用貝葉斯公式的一種簡(jiǎn)單情形,即對(duì)任意兩個(gè)事件 A 和 B ,根據(jù)貝葉斯公式有P(B A)=P(B)P(A B), P(A)其中(2)(3)P(A)=P(B)P(AB)+P(B )P(AB

4、).(4)這里 ,事件 B 的概率通常是根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析得到的 ,叫作先驗(yàn)概率,而 P(B A)是在獲得新的信息后對(duì)先驗(yàn)概率作出重新的認(rèn)識(shí) ,稱為后驗(yàn)概率 1 .后驗(yàn)概率體現(xiàn)了已有信息帶來的知識(shí)更新, 經(jīng)常用來分析事件發(fā)生的原因 . 收稿日期 2008-05-26 基金項(xiàng)目 “ 十一五” 國(guó)家課題“ 我國(guó)高校應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式研究”數(shù)學(xué)類子課題項(xiàng)目(F IB070335 -A 2-15-C)第 2 期楊靜 ,等:貝葉斯公式的幾個(gè)應(yīng)用1672 貝葉斯公式的應(yīng)用1 .疾病診斷 .貝葉斯公式在疾病診斷方面的應(yīng)用很多 ,一般教材多采用這方面的例子.在此, 我們引入兩個(gè)案例.并通過第一個(gè)案例, 對(duì)最后

5、的結(jié)果進(jìn)行詳盡的討論 .資料顯示, 某項(xiàng)艾滋病血液檢測(cè)的靈敏度(即真有病的人檢查為陽性)為 95 %, 而對(duì)沒有得病的人這種檢測(cè)的準(zhǔn)確率(即沒有病的人檢查為陰性)為 99 %.美國(guó)是一個(gè)艾滋病比較流行的國(guó)家, 估計(jì)大約有千分之一的人患有這種病.為了能有效地控制、減緩艾滋病的傳播 ,幾年前有人建議對(duì)申請(qǐng)新婚登記的新婚夫婦進(jìn)行這種血液檢查 .該計(jì)劃提出后 ,征詢專家意見,遭到專家的強(qiáng)烈反對(duì) ,計(jì)劃沒有被通過.現(xiàn)在我們用貝葉斯公式分析專家為何反對(duì)通過這項(xiàng)計(jì)劃.設(shè) A =檢查為陽性,B =一個(gè)人患有艾滋病.根據(jù)文中敘述可知 ,P(B)=0 .001 ,P(A B)=0 .95 ,P(B )=1 -0

6、.001 =0 .999 ,P(A B )=1 -0 .99 =0 .01 .由(4)得P(A)=0 .001 0 .95 +0 .999 0 .01 =0 .01094 .根據(jù)公式(3),得到P(B A)=0 .001 0 .95 0 .087 . 0 .01094也就是說 ,被檢測(cè)患有艾滋病而此人確實(shí)患有該病的概率大約為 0 .087 .這個(gè)結(jié)果使人難以接受 ,好像與實(shí)際不符.從資料顯示來看 ,這種檢測(cè)的精確性似乎很高.因此 ,一般人可能猜測(cè), 如果一個(gè)人檢測(cè)為陽性 ,他患有艾滋病的可能性很大 ,估計(jì)應(yīng)在 90 %左右, 然而計(jì)算結(jié)果卻僅為 8 .7%.如果通過這項(xiàng)計(jì)劃,勢(shì)必給申請(qǐng)登記的新

7、婚夫婦帶來不必要的恐慌 .因?yàn)榧s有 91 .3%的人并沒有患艾滋病.為什么會(huì)出現(xiàn)與直覺如此相悖的結(jié)果呢? 這是因?yàn)槿藗兒雎粤艘恍┗A(chǔ)信息,就是患有艾滋病的概率很低,僅為千分之一.因此,在檢測(cè)出呈陽性的人中大部分是沒有患艾滋病的 .具體的說, 若從該地隨機(jī)抽取 1000 個(gè)居民, 則根據(jù)經(jīng)驗(yàn)概率的含義, 這 1000 個(gè)居民中大約有 1 人患有艾滋病 ,999 人未換艾滋病 .檢查后 ,大約有 1 0 .95 +999 0 .01 =10 .94 個(gè)人檢查為陽性,而在這個(gè)群體中真正患有艾滋病卻僅有 1 人 .因此有必要進(jìn)行進(jìn)一步的檢測(cè) .但是 ,我們也應(yīng)該注意到 ,這項(xiàng)檢測(cè)還是為我們提供了一些新

8、的信息.計(jì)算結(jié)果表明 ,一個(gè)檢測(cè)結(jié)果呈陽性的人患有艾滋病的概率從最初的 0 .001 增加到了 0 .087 ,這是原來患有艾滋病概率的 87 倍.進(jìn)一步的計(jì)算, 我們得到一個(gè)檢查呈陰性而患有艾滋病的概率為P(B A)=P(B)P(A B)=0 .001 0 .05 0 .00006 .P(A )0 .98906因此 ,通過這項(xiàng)檢測(cè), 檢查呈陰性的人大可放寬心 , 他患有艾滋病的概率已從千分之一降低到十萬分之六 .我們?cè)倥e一個(gè)心理學(xué)研究中常被引用的例子:參加常規(guī)檢查的 40 歲婦女患乳腺癌的概率是 1 %. 如果一個(gè)婦女有乳腺癌, 則她有 80 %的概率將接受早期胸部腫瘤 X 射線檢查 .如果

9、一個(gè)婦女沒有患乳腺癌 ,也有 9 .6%的概率將接受早期胸部腫瘤X 射線檢查.在這一年齡群的常規(guī)檢查中某婦女接受了早期胸部腫瘤 X 射線檢查, 問她實(shí)際患乳腺癌的概率是多少? 2心理學(xué)家關(guān)心的是, 一個(gè)不懂貝葉斯原理的人對(duì)上述問題進(jìn)行直覺推理時(shí)的情形是什么樣的 ,并將他們的判斷結(jié)果與貝葉斯公式計(jì)算的結(jié)果作比較來研究推理過程的規(guī)律.結(jié)果 ,95 %的內(nèi)科醫(yī)生的判斷介于 70 %80 %,遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離正確答案 .設(shè) B =患有乳腺癌, A =早期胸部腫瘤 X 射線檢查.由資料知 P(B)=0 .01 , P(B )=0 .99 , P(A B)=0 .8 , P(A B )=0 .096 .由上面公式

10、(4), 有P(A)=P(B)P(A B)+P(B )P(A B )=0 .01 0 .8+0 .99 0 .096 =0 .10304 .利用上面公式(3),有P(B A)=0 .01 0 .8 =0 .0776 . 0 .10304168大 學(xué) 數(shù) 學(xué)第 27 卷由此可知 ,在這一年齡群的常規(guī)檢查中某婦女接受了早期胸部腫瘤 X 射線檢查, 她實(shí)際患乳腺癌的概率是 0 .0776 .2 .說謊了嗎 ?測(cè)謊儀是用來檢測(cè)一個(gè)人是否說謊的儀器,經(jīng)常用于征兵、安全部門的篩查、偵破、訴訟等領(lǐng)域 .定義事件 T =“檢測(cè)為一個(gè)人在說謊”, L =“一個(gè)人真正在說謊” .根據(jù)經(jīng)驗(yàn) , P(T L)=0 .

11、88 , P(T L ) =0 .86 .看起來 ,測(cè)謊儀比較精確 .假設(shè)在一次試驗(yàn)中, 檢測(cè)出被測(cè)對(duì)象在說謊.按照上面所給資料 ,也許很多人都認(rèn)為這個(gè)人說謊的概率會(huì)很高, 也許在 0 .87 左右 .然而 , 在安全部門的招募篩查中, 大多數(shù)人都是誠(chéng)實(shí)的, 假設(shè) P(L) =0 .01 , 根據(jù)公式(4),有P(T)=P(L)P(TL)+P(L )P(T L )= 0 .01 0 .88 +0 .99 0 .14= 0 .1474 .應(yīng)用公式(3),有P(L)P(TL) 0 .01 0 .88P(LT)=P(T)= 0 .14740 .06 .從計(jì)算結(jié)果來看 ,94 %的檢測(cè)都是錯(cuò)誤的 .如

12、果測(cè)謊試驗(yàn)導(dǎo)致被檢測(cè)者逮捕或被指控 ,后果該有多么嚴(yán)重! 這也顯示了在一般人群中使用這種篩查的危險(xiǎn)性 .如果檢驗(yàn)用在嫌疑犯身上,危險(xiǎn)性將大大降低.一般嫌疑犯說謊的概率都很高 ,假設(shè) P(L)=0 .5 , 這時(shí)我們得到 P(L T)=0 .86 ,這個(gè)概率還是可以接受的 .3 .訴訟.1981 年 3 月 30 日 ,一個(gè)大學(xué)退學(xué)學(xué)生欣克利(Jo hn Hinckley Jr .)企圖對(duì)里根總統(tǒng)行刺.他打傷了里根、里根的新聞秘書以及兩個(gè)保安.在 1982 年宣判他時(shí), 欣克利的辯護(hù)律師以精神病為理由作為其無罪的辯護(hù) 3 .作證的醫(yī)師告訴法院當(dāng)給被診斷為精神分裂癥的人以 CA T 掃描時(shí) ,掃描

13、顯示 30 %的案例為腦萎縮 ,而給正常人以 CA T 掃描時(shí) ,只有 2 %的掃描顯示腦萎縮.欣克利的辯護(hù)律師試圖拿欣克利的 CA T 掃描結(jié)果為證據(jù),爭(zhēng)辯說因?yàn)樾揽死膾呙栾@示了腦萎縮, 他極有可能患有精神病, 從而應(yīng)免受到法院的起訴.讓我們嘗試用貝葉斯方法對(duì)欣克利是否患有精神病作出判斷.一般地 ,在美國(guó)精神分裂癥的發(fā)病率大約為 1 .5%.設(shè) A =CAT 掃描顯示腦萎縮;B =做掃描的人患有精神病.根據(jù)上文的敘述可知,P(B)=0 .015 ,P(A B)=0 .3 ,P(B )=1 -0 .015 =0 .985 ,P(A B )=0 .02 .由上面公式(4),得P(A)=0 .0

14、15 0 .3 +0 .985 0 .02 =0 .0242 ,再由公式(3),有P(B A)=0 .015 0 .3 =0 .186 . 0 .0242這意味著即使欣克利的掃描顯示了腦萎縮,他也只有 18 .6%的可能患有精神病, 因此 CA T 掃描無法作為其無罪的證據(jù) .4 .企業(yè)資質(zhì)評(píng)判 .在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下, 一些大的建筑工程都實(shí)行招投標(biāo)制.在發(fā)包過程中, 對(duì)參加招標(biāo)的施工企業(yè)的資質(zhì)(含施工質(zhì)量信譽(yù)等)進(jìn)行調(diào)查和評(píng)定是非常重要的 .設(shè) B =被調(diào)查的施工企業(yè)資質(zhì)不好, A =被調(diào)查的施工企業(yè)資質(zhì)評(píng)定為不好.由過去的資料知 P(A B)=0 .97 , P(A B )=0 .95 .現(xiàn)已

15、知,在被調(diào)查的施工企業(yè)當(dāng)中有 6 %確實(shí)資質(zhì)不好,我們來看一下評(píng)定為資質(zhì)不好的施工企業(yè)確實(shí)資質(zhì)不好的概率.由上面公式(4),有P(A)=P(B)P(A B)+P(B )P(A B )=0 .06 0 .97 +0 .94 0 .05 =0 .105 .第 2 期楊靜 ,等:貝葉斯公式的幾個(gè)應(yīng)用169利用上面公式(3),有P(B A)=0 .06 0 .97 =0 .55 .0 .105由此可知, 被評(píng)為資質(zhì)不好的施工企業(yè)中 ,真正不好的約占 55 %,也就是說 ,誤評(píng)的可能性相當(dāng)大.所以不能對(duì)評(píng)為不好的企業(yè)輕易下不發(fā)包的結(jié)論 .為了使發(fā)包工作公正合理地進(jìn)行 ,一般應(yīng)從其他方面對(duì)這些企業(yè)進(jìn)行深入

16、了解 ,再作決定.3總結(jié)在教學(xué)中應(yīng)提醒學(xué)生以下兩個(gè)方面 .第一、必須注意事件的基礎(chǔ)概率, 即事件的先驗(yàn)概率 .基礎(chǔ)概率小的事件 ,即使某種條件概率 ,如 P(A Bi)較高 ,其出現(xiàn)的概率仍然是較小的 .如現(xiàn)實(shí)生活中中獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)就是小概率事件.第二、應(yīng)該對(duì)信息的外部表征作理性的分析 ,不應(yīng)被一些表面特征所迷惑 ,如條件概率的高低并不決定某一事件出現(xiàn)概率的高低 . 參 考 文 獻(xiàn) 1余家林.概率論及試驗(yàn)統(tǒng)計(jì) M .北京:高等教育出版社, 2001, 22 . 2 K ahneman D , et al .Judg eme nt unde r uncertainty :H euristics and

17、 biases M .Cambridg e :Cambridg e Univ ersity P ress, 1982 :249 . 3陳偉.欣克利行刺案與美蘇冷戰(zhàn)結(jié)束 J .書屋, 2005(10):65 -72.Some Applications of Bayesian FormulaY ANG J ing1 ,CHE N Dong 1 ,CHE NG X iao-hong2(1 .De partment o f Basic Subjects, Beijing Unio n U niv erstiy , Beijing 100101 , China ; 2.Elementary Educa tional Co lleg e , Capital No rmal