第二章推理與證明

1、銅是固體銅是固體鋁是固體鋁是固體金是固體金是固體銀是固體銀是固體第一個數(shù)為第一個數(shù)為2第二個數(shù)為第二個數(shù)為4第三個數(shù)為第三個數(shù)為6第四個數(shù)為第四個數(shù)為8猜想猜想:第第n個數(shù)個數(shù)為為2n.猜想：猜想：一切金一切金屬都是屬都是固體固體.部分部分個別個別整整 體體一一 般般歸納推理的基礎(chǔ)歸納推理的基礎(chǔ)歸納推理的作用歸納推理的作用歸納推理歸納推理觀察、分析觀察、分析發(fā)現(xiàn)新事實(shí)、發(fā)現(xiàn)新事實(shí)、獲得新結(jié)論獲得新結(jié)論由部分到整體、由部分到整體、個別到一般的推理個別到一般的推理注意注意歸納推理的結(jié)論不一定成立歸納推理的結(jié)論不一定成立na1annnaaa11nan1 ; 11 a;211112 a;4131131

2、4 a;31211213 ana)(,21211111 naaaannn1 na2.2.人們仿照魚類的外型和它們在人們仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理水中沉浮的原理, ,發(fā)明了潛水艇發(fā)明了潛水艇. .1.1.古代工匠魯班類比帶齒的草葉古代工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒和蝗蟲的牙齒, ,發(fā)明了鋸發(fā)明了鋸類比推理的作用類比推理的作用四面體四面體（各面均為（各面均為三角形三角形）球球線線幾何中常見的類比對象幾何中常見的類比對象三角形三角形圓圓代數(shù)中常見的類比對象代數(shù)中常見的類比對象平面幾何平面幾何立體幾何立體幾何點(diǎn)點(diǎn)直角三角形直角三角形C C90902 2條直角邊條直角邊a a，b b和和1

3、 1條斜邊條斜邊c c3個面兩兩垂直的四面體個面兩兩垂直的四面體PDFPDFPDEPDEEDFEDF9090三個兩兩垂直的面三個兩兩垂直的面S S1 1，S S2 2，S S3 3和和1 1個個“斜面斜面” ” S S例題例題3：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理， 試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想。試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想。ABCbac2322212ssss Ms1s3PEF的面積為的面積為SPEs2Fabc2322212ssss ,212121,2222322caacDMDMcaDMEFacscaEF由題知PEF的面積為的面積為S222222bcaacPDDMP

4、M )(222222222222222222222414141414121cbbacabcacacabcaaccaPMEFS )()()()(232221sss 2322212ssss 下面證明猜想是否成立：下面證明猜想是否成立：cDFbDPaDE,證明：設(shè)過過D點(diǎn)作點(diǎn)作DMEF,垂足為垂足為M，連接，連接PM，則，則PMEFPEFMacb1S2S3S 變式練習(xí)：在三角形變式練習(xí)：在三角形ABC中有結(jié)論：中有結(jié)論：AB+BCAC，類似地在四面體，類似地在四面體P-ABC中中有有 .PABCS1S2S3PAB的面積為的面積為SSSSS 321n猜想：猜想：f(n)=1+nx(n-1)=n2-n+

5、1析析:f(1)=1, f(2)=1+2x1, f(3)=1+3x2, f(4)=1+4x3, f(5)=1+5x4(1) (2) (3) (4) (5)2、（、（05湖南）湖南） xAxfNnxfxfxfxfxfxfxfxfxxfnnsin.)(),(),()()()(),()(),()(,sin)( 200512312010則則設(shè)設(shè)xBsin. xC cos.xDcos. C)(cos)()(,sin)()(,cos)()(,sin)()(,cos)(sin)(xfxxfxfxxfxfxxfxfxxfxfxxxfx）（解解：xxfxfxfxfncos)()()(,

6、)( 11501420054則則為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)是是以以故故可可猜猜測測從具體問從具體問題出發(fā)題出發(fā)觀察、分析、觀察、分析、比較、聯(lián)想比較、聯(lián)想歸納、歸納、類比類比提出提出猜想猜想通俗地說，合情推理是指通俗地說，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理歸納推理歸納推理類比推理類比推理3、課外思考題：、課外思考題：PA B CPABCVV（04廣東）圖廣東）圖(1)有關(guān)系有關(guān)系則由圖則由圖(2)有關(guān)系有關(guān)系, P A B A B P A B C A C B (1) (2) PBPABPAPSSPABBAP 3、課外思考題：、課外思考題：PCPBPACPBPAP 分析：圖分析：圖(1)有關(guān)有關(guān)系系則圖則圖(2)有有PBPABPAPPPBPAPBPAPSSPABBAP sinsin2121PCPBPACPBPAP 2121sin2131sin21313131hCPAPCPAhA