用Mathematica求偏導數與多元函數的極值

1、§10 用Mathematica求偏導數與多元函數的極值10.1 用Mathematica作三維函數圖在多元函數微積分中，作圖可以使得問題更為直觀，易于理解。這里首先給大家介紹“用Mathematica作三維函數圖”。1 常用的三維繪圖函數Plot3Dfx,y,x,a,b,y,c,d,可選項: 作的圖形。ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,a,bv,c,d: 作三維參數方程的圖形。Showf1,f2,f3,: 將多個圖形組合重新顯示。2 常用的可選項Plot3D函數有許多可選項可以用來修飾三維圖形的外觀?？梢越柚诳蛇x項改變圖形的外觀，以便于觀察。表10

2、-1 常用的可選項可選項默認值說明AxesTrue是否繪制坐標軸AxeslableNone坐標軸的名稱。zlabel為z軸的label,即z軸的標注，labelxlabel,ylabel,zlabel分別為軸，軸,軸的標注AspectRatio1作圖高、寬比例，可以說明為任意值BoxedTrue繪制外框。定義False則不繪制外框Displayfunction$Displayfunction顯示圖形模式，定義Identity不顯示圖形PlotRangeAutomatic方向的繪圖范圍ShadingTrue表面不上色或留白ViewPoint1.3,-2.4,2觀測點(眼睛觀測的位置)選擇合適的觀

3、測點在也有助于觀察圖形，下面是典型的ViewPoint值：943 / 14表10-2 典型的ViewPoint值ViewPoint值觀測點的位置1.3,-2.4,2默認觀測點0,-2,0從前方看0,0,2從上往下看0,-2,2從前方上面往下看0,-2,-2從前方下面往上看-2,-2,0從左前方看2,-2,0從右前方看例10.1 畫出函數圖形，并使圖形表面不上色。解 In1:= Plot3DSinSqrtx2+y2,x,0,2Pi,y,0,2PiOut1= -SurfaceGraphics-In2:= Show%,Shading->FalseOut2= -SurfaceGraphics-例

4、10.2 畫出函數圖形，并使調整圖形觀測點觀察圖形是否對稱。解 In1:= Plot3DSinx*y,x,0,2Pi,y,0,2Pi,AxesLabel->“x”, “y”, “z”O(jiān)ut1= -SurfaceGraphics-In2:= Show%,ViewPoint->1,-1,2Out2= -SurfaceGraphics-例10.3 畫一單位雙曲面。解 首先，寫出單位雙曲面的參數方程x=Coshu*Cosvy=Coshu*Sinvz=uIn1:=ParametricPlot3DCoshu*Cosv,Coshu*Sinv,u,u,0,Pi,v,-Pi,Pi,AxesLabel

5、->“x”, “y”, “z”O(jiān)ut1= -Graphics3D-例10.4 畫出函數圖形。解 In1:=ParametricPlot3D2Sinu*Cosv,3Sinu*Sinv,4Cosu,u,0,Pi,v,-Pi,Pi,AxesLabel->x, y, zOut1= -Graphics3D-In2=: Show%,ViewVertical->1,0,0Out2=-Graphics3D-例10.5 畫出由與所圍的立體圖形。解 In1:= a1=Plot3Dx+2y,x,0,2,y,0,2,DisplayFunction->Identity; a2=Parametri

6、cPlot3D1+Cosu,Sinu,v,u,0,2Pi,v,0,3.5,DisplayFunction->Identity;a3=Plot3D0,x,-1,2,y,-1,2,DisplayFunction->Identity;Showa1,a2,a3,AxesLabel->x, y,AspectRatio->Automatic,PlotRange->0,4,DisplayFunction->$DisplayFunctionOut1= -Graphics3D-9.2 用Mathematica求偏導數與多元函數的極值函數實際上給出了偏導數，在這個表達式中，假設

7、n個不是x的函數，在Mathematica中，它有一個函數，它代表的是全微分，在這個函數中，所以的變量都有聯系。在Mathematica的說明中，代表了，而則代表了?？梢哉J為表示了“全微分”。例如：1. 下面給出了一個全微分，其中n是x的函數，則代表了。 2. 下面是一個全微分。其中代表了。 注：在Mathematica中，還是有些微分函數用于直接計算的，如下表所示： 表10-3 部分的微分函數 函數及其表達式函數功能說明關于的偏微分或關于等的混合偏微分或關于的階偏微分函數的全微分關于變量的全微分例10.6 求下列函數對x的偏導數1. ； 2. ；3. ； 4. u=。解In1:= DLogx

8、+Sqrtx2+y2 ,x; Simplify% (*通常Mathematica不自動化簡微分結果，要借助于Simplify函數*)Out1= In2: = DArcTanh(x+y)/(1-x*y),x;Simplify%Out2= In3: = DESiny/x,x; Simplify%Out3= In4: = D(x/y)z,x; Simplify%Out4= 例10.7 設，求， ，。解 In1:= Clearz,x,y; zx,y:=x3*Siny+y3Sinx; /*定義二元函數.*/ Dzx,y,yOut1= In2:= Dzx,y,y/.x->1,y->1 /*給函

9、數的變量賦值.*/Out2= In3:= Dzx,y,x,2Out3= In4:= Dzx,y,x,3,y,3Out4= 例10.8 設，求，。解 In1:= xu_,v_:=u/v; yu_,v_:=3u-2v; zx_,y_:=xu,v2*Logyu,v; Dzx,y,u; Simplify%Out1= In2:= Dzx,y,v;Simplify%Out2= In3:= Dzx,y,v,2;Simplify% Out3= 例10.9 設，其中函數二階可導，具有二階連續(xù)的偏導數，求，。解 In1:= Df2x-y+gx,x*y,xOut1= In2:= Df2x-y+gx,x*y,x,2O

10、ut2=In3:= Df2x-y+gx,x*y,x,yOut3= 其中，。例10.10 已知函數，證明。解 In1:= z=x*y+x*Fy/x; Dz,x*x+y*Dz,y-z-x*y; Simplify%Out1= 0例10.11 求由下列方程所確定的隱函數和導數或偏導數：1， 求。2，求，。解 In1:= eq1=LogSqrtx2+yx2= = ArcTanhyx/x; Deq1,x; Solve%,y x; Simplify%Out1= In2:= Dx=ux*Cosvx/ux,y=ux*Sinvx/ux,x; SimplifySolve%,u x,vxOut2= In3:= Dx=

11、uy*Cosvy/uy,y=uy*Sinvy/uy,y; SimplifySolve%,u y,vyOut3= 例10.12 求下列極值問題：1函數.2求函數，在上的最大最小值.解 1 In1:= Clearx,y,z,a,b,c,d,t;fx_,y_:=x3+3*x*y2-15x-12y;a=Dfx,y,x,2;b=Dfx,y,x,y;c=Dfx,y,y,2;d=a*c-b2;t=SloveDfx,y= =0,x,Dfx,y= =0,y,x,y;l=LengthtlFori=1,i<=1,i+,Printti;d1=d/.ti;a1=a/.ti;z=fx,y/.ti;Whichd1&g

12、t;0&&a1<0,Print“fmax=”,z,d1>0&&a1>0,Print“fmin=”,z,d1= =0,Print“No Sure”,z,d1= =0,PrintNo Out1= x->-2,y->-1 fmax=28 x->-1,y->-2 Nox->1,y->2Nox->-2,y->-1fmin=-282 先求在圓域內的最大最小值:In2:= fx_,y_:=x2+y2-12x+16y;t=SolveDfx,y= =0,x,Dfx,y= =0,y,x,y Out2= x->6

13、,y->-8 (*駐點*)In3:= x2+y2-25/.t1Out3=75該駐點在圓外，圓內無駐點，故不取極值。下面考慮圓上的最值。這是在約束條下的條件極值,用Lagrange乘數法求解。In4:= Clearx,y,F,t;Fx_,y_,t_:=fx,y+t(x2+y2-25);s=SolveDfx,y,t=0,Dfx,y,t=0,y,DFx,y,t= =0,t,x,y,tOut4=t->-3,x->-3,y->4,t->1,x->3,y->-4In5:= Fx,y/.s1Out5=25In6:= Fx,y/.s2Out6=-75練習10.11 求下列函