231平面向量基本定理

1、靈感不過是靈感不過是“頑強(qiáng)的勞動(dòng)而獲得頑強(qiáng)的勞動(dòng)而獲得的獎(jiǎng)賞的獎(jiǎng)賞” 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): :共線向量基本定理：共線向量基本定理： 向量向量 與向量與向量 共線共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù) 使得使得(0)a a bab1e2e OCABMNa11eOM22eON 設(shè)設(shè) 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量， 是這一平面內(nèi)的任一向量，是這一平面內(nèi)的任一向量，問：與問：與 之間有怎樣的關(guān)系？之間有怎樣的關(guān)系？21,eea21,eea2211eeONOMa1e2e1e2e12 . aee 當(dāng) 與 或 共線時(shí)aa1220aee 1 120aee ？怎怎樣樣構(gòu)構(gòu)造造平

2、平行行四四邊邊形形況況時(shí)時(shí)，的的位位置置如如下下圖圖兩兩種種情情改改變變 aa1e2eAOCBNMO Oa1e2eCABNM1 12212(0,0)aee 1 12212(0,0)aee ？怎怎樣樣構(gòu)構(gòu)造造平平行行四四邊邊形形況況時(shí)時(shí)，的的位位置置如如下下圖圖兩兩種種情情改改變變 a1e2eaAOBNMC C1 12212(0,0)aee 一、平面向量基本定理一、平面向量基本定理:如果如果 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量量 有且只有有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)一對(duì)實(shí)數(shù) ,使使21ee、a21、2211eea12 .e e

3、其中 ， 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量 一組基底的 ?思考1 平面內(nèi)用來表示一個(gè)向量的基底有多少組（有無數(shù)組）（有無數(shù)組）BAOMa1e2eOMaABxy基底不唯一，關(guān)鍵是不共線?；撞晃ㄒ?，關(guān)鍵是不共線。12,? 思考2、若基底選取不同 則表示同一向量的實(shí)數(shù)是否相同BAOMa1e2eOMaABxy2123eea yxa423 mnnma23 基底給定時(shí)，分解形式唯一，基底給定時(shí)，分解形式唯一，即即 唯一確定唯一確定21，探究定理內(nèi)涵:1. 基底基底 、 條件：條件：1e2e不共線向量不共線向量2.基底組數(shù)：基底組數(shù)：無數(shù)組無數(shù)組123.定理中定理中 、 的值是否唯一的值是否唯一?基底給定時(shí)，分

4、解形式唯一基底給定時(shí)，分解形式唯一. 1，2是被唯一確定的數(shù)量。是被唯一確定的數(shù)量。強(qiáng)調(diào)平面向量基本定理強(qiáng)調(diào)平面向量基本定理:如果如果 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線不共線向量，向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 有且只有有且只有一一對(duì)實(shí)數(shù)對(duì)實(shí)數(shù) ,使使21ee 、a21、2211eea？若若 與與 中中只有一個(gè)為零，只有一個(gè)為零，情況會(huì)是怎樣？情況會(huì)是怎樣？21特別的，若特別的，若 a = 0 ，則有且只有，則有且只有 ：可使可使 0 =11e2e2+.21= 0練習(xí)：下列說法是否正確？練習(xí)：下列說法是否正確？1.在平面內(nèi)只有一對(duì)基底在平面內(nèi)只有一對(duì)基

5、底.2.在平面內(nèi)有無數(shù)對(duì)基底在平面內(nèi)有無數(shù)對(duì)基底.3.零向量不可作為基底零向量不可作為基底.4.平面內(nèi)不共線的任意一平面內(nèi)不共線的任意一 對(duì)向量對(duì)向量,都可作為基底都可作為基底. 已知平行四邊形已知平行四邊形ABCD中中,M,N分別是分別是BC,DC的中點(diǎn)且的中點(diǎn)且 ，用，用 表示表示 . bADaAB ,ba,ANAM,ADBCMNbaBMABAM解：DNADANbaADABBCAB212121abABADDCAD212121例例1（利用基底（利用基底來表示向量）來表示向量）二、向量的夾角二、向量的夾角:OABba兩個(gè)非零向量兩個(gè)非零向量 ， ab和和 的的夾角夾角ab夾角的范圍：夾角的范圍：180 OABab90 OAB ab注意注意:起點(diǎn)相同起點(diǎn)相同(0180 )AOB叫做向量叫做向量0 OABab同向同向反向反向a與與b垂直垂直,記作記作ab 例例:如圖，等邊三角形中，求如圖，等邊三角形中，求 (1)AB與與AC的夾角；的夾角； (2)AB與與BC的夾角。的夾角。ABC60C0