中考壓軸題突破：幾何最值問題大全(將軍飲馬、造橋選址、胡不歸、阿波羅尼斯圓等)20622

1、中考壓軸題突破：幾何最值問題大全（將軍飲馬、造橋選址、胡不歸、阿波羅尼斯圓等）一、基本圖形最值問題在幾何圖形中分兩大類：定點到定點：兩點之間，線段最短；定點到定線：點線之間，垂線段最短。 由此派生：定點到定點：三角形兩邊之和大于第三邊；定線到定線：平行線之間，垂線段最短；定點到定圓：點圓之間，點心線截距最短（長）；定線到定圓：線圓之間，心垂線截距最短；定圓到定圓：圓圓之間，連心線截距最短（長）。舉例證明：定點到定圓：點圓之間，點心線截距最短（長）。已知O半徑為r，AO=d，P是O上一點，求AP的最大值和最小值。證明：由“兩點之間，線段最短”得APAO+PO，AOAP+PO，得d-rAPd+r，

2、AP最小時點P在B處，最大時點P在C處。即過圓心和定點的直線截得的線段AB、AC分別最小、最大值。(可用“三角形兩邊之和大于第三邊”，其實質(zhì)也是由“兩點之間，線段最短”推得）。上面幾種是解決相關(guān)問題的基本圖形，所有的幾何最值問題都是轉(zhuǎn)化成上述基本圖形解決的。2、 考試中出現(xiàn)的問題都是在基本圖形的基礎(chǔ)上進行變式，如圓與線這些圖形不是直接給出，而是以符合一定條件的動點的形式確定的；再如過定點的直線與動點所在路徑不相交而需要進行變換的。類型分三種情況：（1）直接包含基本圖形；（2）動點路徑待確定；（3）動線（定點）位置需變換。（一）直接包含基本圖形例1.在O中，圓的半徑為6，B=30，AC是O的切線

3、，則CD的最小值是 。簡析：由B=30知弧AD一定，所以D是定點，C是直線AC上的動點，即為求定點D到定線AC的最短路徑，求得當CDAC時最短為3。（二）動點路徑待確定例2.，如圖，在ABC中，ACB=90，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動點（不與點B重合），將BCP沿CP所在的直線翻折，得到BCP，連接BA，則BA長度的最小值是。簡析：A是定點，B是動點，但題中未明確告知B點的運動路徑，所以需先確定B點運動路徑是什么圖形，一般有直線與圓兩類。此題中B的路徑是以C為圓心，BC為半徑的圓弧，從而轉(zhuǎn)化為定點到定圓的最短路徑為AC-BC=1。 例3.在ABC中，AB=AC=5，cosABC=3/

4、5，將ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到ABC，點E是BC上的中點，點F為線段AB上的動點，在ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)過程中，點F的對應(yīng)點是F，求線段EF長度的最大值與最小值的差。簡析：E是定點，F(xiàn)是動點，要確定F點的運動路徑。先確定線段AB的運動軌跡是圓環(huán)，外圓半徑為BC，內(nèi)圓半徑為AB邊上的高，F(xiàn)是AB上任意一點，因此F的運動軌跡是圓環(huán)內(nèi)的任意一點，由此轉(zhuǎn)化為點E到圓環(huán)的最短和最長路徑。E到圓環(huán)的最短距離為EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E到圓環(huán)的最長距離為EF1=EC+CF1=3+6=9，其差為7.2。（三）動線（定點）位置需變換線段變換的方法：（1）等值變換：翻折、平移；（2）比例變

5、換：三角、相似?！痉圩儞Q類】典型問題：“將軍飲馬”例4.如圖，AOB=30，點M、N分別是射線OA、OB上的動點，OP平分AOB，且OP=6，當PMN的周長最小值為 。簡析：動線段（或定點）應(yīng)居于動點軌跡的兩側(cè)，本題的三條動線段PM、MN、PN在OA、OB的內(nèi)側(cè)。所以本題的關(guān)鍵是把定線段變換到動點軌跡的兩側(cè)，從而把三條動線段PM、MN、PN轉(zhuǎn)化為連接兩點之間的路徑。如圖，把點P分別沿OA、OB翻折得P1、P2，PMN的周長轉(zhuǎn)化為P1M+MN+P2N，這三條線段的和正是連接兩個定點P1、P2之間的路徑，從而轉(zhuǎn)化為求P1、P2兩點之間最短路徑，得PMN的周長最小值為線段P1P2OP6。例5.如圖

6、，在銳角ABC中，AB=4，BAC=45，BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是 。簡析：本題的問題也在于動線段BM、MN居于動點軌跡AD的同側(cè)，同樣把點N沿AD翻折至AC上，BM+MNBM+MN，轉(zhuǎn)化為求點B到直線AC的最短路徑，即BNAC時，最小值為2。【平移變換類】典型問題：“造橋選址”例6.如圖，m、n是小河兩岸，河寬20米，A、B是河旁兩個村莊，要在河上造一座橋，要使A、B之間的路徑最短應(yīng)該如何選址（橋須與河岸垂直）？簡析：橋長為定值，可以想像把河岸m向下平移與n重合，同時把點A向下平移河寬，此時轉(zhuǎn)化成n上的一點到A、B的路徑之和最短，即轉(zhuǎn)

7、化為定點A到定點B的最短路徑。如下圖：思路是把動線AM平移至AM，AN+BN即轉(zhuǎn)化為求定點A與定點B之間的最路徑。本題的關(guān)鍵是定長線段MN把動線段分隔，此時須通過平移把動線段AN、BN變?yōu)檫B續(xù)路徑，也可以把點B向上平移20米與點A連接。例7.如圖，CD是直線y=x上的一條定長的動線段，且CD=2，點A（4，0），連接AC、AD，設(shè)C點橫坐標為m，求m為何值時，ACD的周長最小，并求出這個最小值。解析：兩條動線段AC、AD居于動點所在直線的兩側(cè)，不符合基本圖形中定形（點線圓）應(yīng)在動點軌跡的兩側(cè)。首先把AC沿直線CD翻折至另一側(cè)，如下圖：現(xiàn)在把周長轉(zhuǎn)化為AC+CD+AD，還需解決一個問題：動線段A

8、C與AD之間被定長線段CD阻斷，動線段必須轉(zhuǎn)化成連續(xù)的路徑。同上題的道理，把AC沿CD方向平移CD的長度即可，如下圖。現(xiàn)在已經(jīng)轉(zhuǎn)化為AD+AD的最短路徑問題，屬定點到定點，當AD與AD共線時AD+AD最短，即為線段AA的長。【三角變換類】典型問題：“胡不歸”例8.如圖，A地在公路BC旁的沙漠里，A到BC的距離AH23，AB219，在公路BC上行進的速度是在沙漠里行駛速度的2倍。某人在B地工作，A地家中父親病危，他急著沿直線BA趕路，誰知最終沒能見到父親最后一面，其父離世之時思念兒子，連連問：“胡不歸，胡不歸！”（怎么還不回來），這真是一個悲傷的故事，也是因為不懂數(shù)學而導致的。那么，從B至A怎樣

9、行進才能最快到達？簡析：BP段行駛速度是AP段的2倍，要求時間最短即求BP/2+AP最小，從而考慮BP/2如何轉(zhuǎn)化，可以構(gòu)造含30角利用三角函數(shù)關(guān)系把BP/2轉(zhuǎn)化為另一條線段。如下圖，作CBD=30，PQBD，得PQ=1/2BP，由“垂線段最短”知當A、P、Q共線時AP+PQAQ最小。【相似變換類】典型問題：“阿氏圓”“阿氏圓”：知平面上兩點A、B，則所有滿足PA/PB=k且不等于1的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓，如下圖所示，其中PO：BOAO：POPA：PBk。例9.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB與

10、x軸交于點E，以點E為圓心，ED長為半徑作圓，點M為E上一動點，求 1/2AM+CM 的最小值。簡析：本題的主要問題在于如何轉(zhuǎn)化1/2AM，注意到由條件知在M的運動過程中，EM：AE1：2保持不變，從而想到構(gòu)造相似三角形，使之與AEM的相似比為1：2，這樣便可實現(xiàn)1/2AM的轉(zhuǎn)化，如下圖取EN：EM1：2，即可得EMNEAM，再得MN=1/2AM，顯然，MN+CM的最小值就是定點N、C之間的最短路徑。之后便是常規(guī)方法先求N點坐標，再求CN的長。【解法大一統(tǒng)】萬法歸宗：路徑成最短，折線到直線。（所求路徑在一般情況下是若干折線的組合，這些折線在同一直線上時即為最短路徑）基本圖形：動點有軌跡，動線居兩邊。（動點軌跡可以是線或圓，動線指動點與定點或定線、定圓的連線，動線與折線同指）核心方法：同側(cè)變異側(cè)，分散化連續(xù)。（動