高考數(shù)學(xué)立體幾何解答題目

1、.立體幾何解答題 C1、已知三棱柱，底面三角形為正三角形，側(cè)棱底面， ，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)() 求證：直線平面；（）求平面和平面所成的銳二面角的余弦值1、法一（）取的中點(diǎn)為，連接， 則，且，3分 則四邊形為平行四邊形， 則，即平面6分 （）延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接， 則即為平面與平面的交線， 且， 則為平面和平面所成的銳二面角的平面角8分 在中，12分 法二 取中點(diǎn)為，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，2分（）則，設(shè)平面的法向量為，則，即4分令，則，即，所以，故直線平面6分（）設(shè)平面的法向量，則12分2、如圖,在矩形ABCD中，AB5，BC3，沿對(duì)角線BD把ABD折起，

2、使A移到A1點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A1作A1O平面BCD，垂足O恰好落在CD上（1）求證：BCA1D；（2）求直線A1B與平面BCD所成角的正弦值解：（1）因?yàn)锳1O平面BCD，BC平面BCD，BCA1O，因?yàn)锽CCD，A1OCDO，BC面A1CD因?yàn)锳1D面A1CD，BCA1D（6分）（2）連結(jié)BO，則A1BO是直線A1B與平面BCD所成的角因?yàn)锳1DBC，A1DA1B，A1BBCB，A1D面A1BCA1C面A1BC，A1DA1C在RtDA1C中，A1D3，CD5，A1C4根據(jù)SA1CDA1D·A1CA1O·CD，得到A1O，在RtA1OB中，sinA1BO所以直線A1B與平面BCD所

3、成角的正弦值為（12分）3、如圖，PA平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng) （）點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由； （）證明：無(wú)論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PEAF； （）當(dāng)BE等于何值時(shí)，二面角P-DE-A的大小為45°思路點(diǎn)撥：本題是一個(gè)開(kāi)放型問(wèn)題，考查了線面平行、線面垂直、二面角等知識(shí)，考查了同學(xué)們解決空間問(wèn)題的能力。（）利用三角形的中位線及線面平行的判定定理解決；（）通過(guò)證明即可解決；（）作出二面角的平面角，設(shè)出BE的長(zhǎng)度，然后在直角三角形DCE 中列方程求

4、解BE的長(zhǎng)度。本題也可利用向量法解決。解: 解法一:（）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，與平面平行-1分在中，、分別為、的中點(diǎn)， 又平面，而平面 平面 4分（）證明:,，又,又， -6分又,點(diǎn)是的中點(diǎn),8分（）過(guò)作于，連，又，則平面,則是二面角的平面角，10分與平面所成角是，設(shè)，則，在中，得 12分解法二:（向量法）（）同解法一4分（）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則 8分（）設(shè)平面的法向量為，由，得：，而平面的法向量為,二面角的大小是,所以=，得 或 （舍） 12分歸納總結(jié)：無(wú)論是線面平行（垂直）還是面面平行（垂直），都源自于線與線的平行（垂直），這種“高維”向“低維”轉(zhuǎn)化的思想方法，在解題時(shí)非常重要

5、，在處理實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，可以先從題設(shè)條件入手，分析已有的平行（垂直）關(guān)系，再?gòu)慕Y(jié)論入手分析所要證明的平行（垂直）關(guān)系，從而架起已知與未知之間的橋梁。 而空間向量是解答立體幾何問(wèn)題的有利工具，它有著快捷有效的特征，是近幾年高考中一直考查的重點(diǎn)內(nèi)容。4、如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，在棱上（I）當(dāng)時(shí)，求證平面（II）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求直線與平面所成角的大小解：（）在平行四邊形中，由，易知，2分又平面，所以平面,，在直角三角形中，易得，在直角三角形中，又，可得.，5分又，平面6分（）由（）可知,，可知為二面角的平面角， ，此時(shí)為的中點(diǎn). 8分過(guò)作,連結(jié),則平面平面,作,則平面,連結(jié)

6、,可得為直線與平面所成的角因?yàn)?所以.10分在中，直線與平面所成角的大小為.12分解法二：依題意易知，平面ACD以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC、AD、SA分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則易得，（）由有，3分易得，從而平面ACE6分 ()由平面，二面角的平面角.又，則 E為的中點(diǎn)， 即 ,8分設(shè)平面的法向量為則，令,得，10分從而，所以與平面所成角大小為12分5、如圖，在三棱柱中，頂點(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，且（）證明：平面平面； （）求棱與所成的角的大?。唬ǎ┤酎c(diǎn)為的中點(diǎn)，并求出二面角的平面角的余弦值證明：（）面, -1分 又， 面， -3分面， 平面平面；-4分（）以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

7、，則， -6分，故與棱BC所成的角是 -8分（）因?yàn)镻為棱的中點(diǎn)，故易求得 -9分 設(shè)平面的法向量為，則,由 得 令，則 -11分 而平面的法向量=(1,0,0)，則 -12分ABDEC由圖可知二面角為銳角故二面角的平面角的余弦值是 -13分 6、已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點(diǎn)沿直線BD將BCD翻折成，使得平面平面ABD（）求證：平面ABD；（）求直線與平面所成角的正弦值；（）求二面角的余弦值證明：（）平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8， 沿直線BD將BCD翻折成 可知CD=6，BC=BC=10，BD=8，即， 故 2分 平面平面

8、，平面平面=，平面， 平面ABD 5分（）由（）知平面ABD，且，如圖，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 6分ABDECxyz則，E是線段AD的中點(diǎn)，在平面中，設(shè)平面法向量為， ，即，令，得，故 8分設(shè)直線與平面所成角為，則 9分 直線與平面所成角的正弦值為 10分（）由（）知平面的法向量為， 而平面的法向量為， ， 因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為7、如圖，四棱錐的底面是直角梯形，和是兩個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn) ()求證：平面； ()求證：平面； ()求直線與平面所成角的正弦值解：（）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則F，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，為的交點(diǎn)， ， ，在三角形中，4分

9、，平面； 5分()方法1：連接，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，平面，平面，平面. 9分F方法2：由()知平面，又，所以過(guò)分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知得：，則，.平面，平面，平面； 9分() 設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角，則，即，解得，令，則平面的一個(gè)法向量為，又則，直線與平面所成角的正弦值為. 14分8、如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為，,.將菱形沿對(duì)角線折起，使，得到三棱錐.（）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證:平面；（）求二面角的余弦值；M（）設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得，并證明你的結(jié)論.（）證明：因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)，所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以是

10、的中位線，. 1分因?yàn)槠矫?平面,所以平面. 3分ABCODxyzM（）解：由題意，因?yàn)?，所以? 4分又因?yàn)榱庑?，所以?建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以 6分設(shè)平面的法向量為，則有即：令，則，所以. 7分因?yàn)?所以平面. 平面的法向量與平行，所以平面的法向量為. 8分，因?yàn)槎娼鞘卿J角，所以二面角的余弦值為. 9分（）解：因?yàn)槭蔷€段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，所以， 10分則，由得，即，11分解得或， 12分所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或. 13分（也可以答是線段的三等分點(diǎn)，或）9、如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，ABEF，EAB=90º，AB=2，AD=AE=EF=1，平面AB

11、FE平面ABCD。（1）若點(diǎn)O為線段AC的中點(diǎn)，求證：；（2）求平面與平面所夾的角。 10、如圖，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側(cè)面底面ABCD，O是BC的中點(diǎn)。（1）求證：平面ABCD； （2）求證： （3）若二面角DPAO的余弦值為，求PB的長(zhǎng)。（）證明：因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，又側(cè)面PBC底面ABCD，平面，面PBC底面ABCD，所以平面 4分()證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系， 設(shè),則， 因?yàn)?，所以，?8分()解：設(shè)平面和平面的法向量分別為， 注意到， 由，令得， 由令得， 所以，解之得，所以為所求12分11、ABCDEA1B1

12、C1(第11題圖)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中 (1)若BB1=BC，B1CA1B，證明：平面AB1C平面A1BC1；(2)設(shè)D是BC的中點(diǎn)，E是A1C1上的一點(diǎn)，且A1B平面B1DE，求的值解：(1)因?yàn)锽B1=BC，所以側(cè)面BCC1B1是菱形，所以B1CBC1 3分又因?yàn)锽1CA1B ，且A1BBC1=B，所以BC1平面A1BC1， 5分又B1C平面AB1C ，所以平面AB1C平面A1BC1 7分(2)設(shè)B1D交BC1于點(diǎn)F，連結(jié)EF，則平面A1BC1平面B1DEEF因?yàn)锳1B/平面B1DE， A1B平面A1BC1，所以A1B/EF 11分所以又因?yàn)?，所?14分12、如圖甲，在平

13、面四邊形ABCD中，已知,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)()求證：DC平面ABC；圖甲在圖乙()求BF與平面ABC所成角的正弦；()求二面角BEFA的余弦（）證明：在圖甲中且 ，即 (1分)在圖乙中，平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDCBDAB底面BDC，ABCD (3分)又，DCBC,且DC平面ABC (4分)（）解法一：E、F分別為AC、AD的中點(diǎn)EF/CD，又由（1）知，DC平面ABC，EF平面ABC，垂足為點(diǎn)EFBE是BF與平面ABC所成的角 (5分)在圖甲中，, ,設(shè)則,， (7分)在RtFEB中，即BF

14、與平面ABC所成角的正弦值為 (8分)解法二：如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖示，設(shè)，則， (5分)可得,，, (6分)設(shè)BF與平面ABC所成的角為，由（1）知DC平面ABC (8分)（）解法一：由（）知 FE平面ABC，又BE平面ABC，AE平面ABC，F(xiàn)EBE，F(xiàn)EAE，AEB為二面角BEFA的平面角 (10分)在AEB中，即所求二面角BEFA的余弦為 (12分)解法二：由（）知,，；則， (9分)設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，；解得； 即， (11分)即所求二面角BEFA的余弦為 (12分)13、在直角梯形ABCD中，AB/CD，AB=2BC=4，CD=3，E為AB中點(diǎn)，