一點簡單的天文小計算

1、一點簡單的天文小計算一、如何測量行星的自轉(zhuǎn)周期現(xiàn)在隨著天文望遠鏡的普及，越來越多的天文愛好者有了優(yōu)良的“利器” 。同時，城市光害也越來越嚴重，行星的觀測或許占了絕大部分。值得慶幸的是，行星的觀測是相當有趣的。但我不想光看熱鬧，除了做觀測記錄之外，我還想通過自己的觀測測量行星的自轉(zhuǎn)周期。測量行星自轉(zhuǎn)周期的方法是多樣的， 如每天在嚴格的同一時間觀測， 發(fā)現(xiàn)特征與中軸線的角度，然后求解。比較精確的像通過光譜然后利用多普勒效應(yīng)求出自轉(zhuǎn)速度，進而求出自轉(zhuǎn)周期等。但有一些是比較難以實行的，例如每天在嚴格的同一時間觀測，你今天在某時刻看到某特征區(qū)域，第二天再在同一時刻觀測，發(fā)現(xiàn)陰天了，或是無法看出特征到達的

2、位置是否跟昨天一樣，而使測量的誤差大大增加。不過我在去年暑假自己想到了一種方法，成功地測出了木星自轉(zhuǎn)周期，然后又在 11 月份較好地測出了火星自轉(zhuǎn)周期。方法如下。圖 1如圖 1 所示， O 表示行星， C 是行星正對觀測者的位置，O 半徑為 R。觀測者在觀測到某個比較突出的特征，距離中軸線OC 的角距 A C 可測出；再到了相距較遠的T2T1 時刻時刻（當然，目標別轉(zhuǎn)到背后去了），又可測出目標距中軸線OC 的角距 B C?，F(xiàn)在令 A C=a ， B C=b ， T2 T1=T，自轉(zhuǎn)周期為T 。從簡單的幾何關(guān)系可看出，有：+=arcsin（a R ）± arcsin （ b R） ,倘

3、若目標在T2 時刻仍在與T1 時刻時目標在中軸線的同一側(cè)，即在T1 與 T2 時刻均在行星中軸線的東側(cè)或西側(cè)，則上述等式中的“±”取“”。顯然得到周期T=36 0° / （+）×T=360 °×T /arcsin （ a R）±arcsin （ b R） 。倘若取多次測量的平均值，則較為精確些。舉個例子吧， 我在 2005年 11 月 26 日凌晨對火星進行了觀測，這天視寧度極佳。18 ：33UT時，火星上的SinusMeridion正好處在中軸在線（實際稍偏西一點，但差別很?。?，而且顏色比較深，易于定位。到了19 ： 18 時候，

4、SinusMeridion往西轉(zhuǎn)了一點，通過比較火星視直徑，并且腦海中反復對比我曾經(jīng)看到的天王星視直徑大小，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)動的長度比2 要小一點點，這種資料的獲得真得感謝視寧度與我的經(jīng)驗。通過比對，確定長度在1.5 到2 之間，取個平均值得到1.75 。這一天，火星視直徑為18 。代入公式，得到自轉(zhuǎn)周期為：T=36 0° / （ +）×T=360 °× （ 19 ：18 18 ：33 ） / arcsin （ 1.75 18 ） =24h05m故求得火星自轉(zhuǎn)周期為24 小時 05 分，而真實的是24 小時 37 分余，快了32 分鐘，這并不是一個滿意的結(jié)果，但在

5、考慮1.75 這個值并不十分精確，是通過經(jīng)驗和對比火星視直徑得到的，而且當時火星的自轉(zhuǎn)軸并非與視線方向垂直，而是南極側(cè)向我們。因此獲得這個結(jié)果還算過得去，況且這只是單一的測量結(jié)果，而非平均值，大誤差并不奇怪。下面再舉一個例子，由于利用照片，結(jié)果更加精確。以下圖片是利用香港同好Daniel Chang于 2006年 5 月 25 日拍攝的木星（圖2 ，已經(jīng)征得Daniel Chang同意）。圖2以大紅斑西側(cè)橢圓頂點為目標。14 ：44.0UT時，攝了一張木星照片， 通過測量圖上點的坐標，得到 O 與 E 點橫坐標之差為 x1=460 349=111像素， R1與 O 橫坐標之差為 x2=4604

6、57=3像素； 15 ： 20.0UT 時，又攝得一張木星照片，測量坐標，得到E 與 O 的橫坐標之差為x3=456344=112 像素， R2 與 O 橫坐標之差為 x4=456 412=44像素。代入公式計算，由于兩時刻目標均在中軸線同側(cè)，故式取減號。求得木星自轉(zhuǎn)周期：T=36 0° / （+ ）× T=360°× T / arcsin（ x4 x3 ） arcsin （ x2 x1 ） =360°×（ 15 ： 20.014 ：44.0 ） /arcsin （ 44 112 ）arcsin （ 3 111 ） =10h00.45

7、m而該緯度自轉(zhuǎn)周期真實值為 09h56m ，快了 4 分鐘，算上測量誤差，結(jié)果還是可以的。如果單純目視，這種測量方法的局限性很大，只能測量木星和火星，像對于金星，由于自轉(zhuǎn)周期極緩，不能用此法，而對于土星等無特別明顯特征的行星，此法成功的概率甚小。倘若使用測量拍攝的照片，范圍就廣了，測量的行星自轉(zhuǎn)周期會更精確，而這對于測量土星自轉(zhuǎn)周期應(yīng)該也是可行的。以上即為我的測量方法。如果同好們還有什么好的測量周期方法，可以探討探討嘛！二、關(guān)于金星凌日的一點小計算近日利用所學知識，計算了一下金星凌日的周期。圖3在圖 3 中， 是太陽，直徑NS 所垂直的大圓是地球公轉(zhuǎn)軌道平面；直徑 垂直的大圓是金星公轉(zhuǎn)軌道平面

8、。兩大圓交于A ，B，交角為 。一垂直地球平面的大圓交金星平面于，交地球平面于 。弧 =， =d。因為金星軌道平面與地球軌道平面有=3.3944的°夾角，而金星凌日的發(fā)生條件是在離升降交點左右各的黃經(jīng)內(nèi)。已知太陽在地球上看的角直徑近似的為凌日只能發(fā)生在離太陽±15的黃緯內(nèi)，用度表示為±0.25，°即 d=0.25 °。30 ,故金星由球面三角易知， sin =tgdctg。代入數(shù)值，求得 =4° 13 07.59。說明金星凌日發(fā)生時 , 從地球上觀測到金星離升降交點角距不能超過 4° 13 07.59。將其換成日心坐標 ,見

9、圖 4, 是太陽 ,V,E 分 別 是 金 、 地 公 轉(zhuǎn) 軌 道 .Sv=0.723332AU,S E=1AU. 已 求 得 , 現(xiàn) 求 .由 正 弦 公 式sin /Sv=sin E=sin(180/Sv- - )/SE,求得 =1° 37 06.48 .故知 ,從太陽上看 ,金星凌日發(fā)生時金星離升降交點角距不超過 1° 3706.48 .圖 4下面計算金星的會合周期。有公式 1/P=1/Pv-1/PE,Pv=224.7007 天， PE=365.2422 天，求得 P=583.9568954 天。假設(shè)上一次金星凌日發(fā)生在某次會合中， 那么現(xiàn)在計算下一次的間隔。 在一個

10、會合周期中， 地球轉(zhuǎn)了 P/P E=1.598820989 圈，金星轉(zhuǎn)了 P/Pv=2.598820989 圈。可知，每次金地會合都比上一次前進 0.598820989 圈，那么幾倍這個數(shù)字幾乎可得整數(shù)呢？第一個數(shù)字是 5。5×0.598820989=2.994104944 3 圈。這就是說 ,在過了 5 倍會合周期后，金地兩顆行星幾乎又回到了同一起跑在線，但 2.994104944 比 3 少了 3-2.994104944=0.00589505595 圈，差了這么多圈還能發(fā)生凌日嗎 ?下面計算一下它的角度。這么多圈走過的距離是也就是說 ,比上次凌日退了2°07 19.99

11、2 .=360°×(2.994104944-3)= -2° 07 19.992 ,假設(shè)上次凌日是在極限值即剛好滿足在升交點以東(或降交點以西)1° 37 06.48 , 凌日只能發(fā)生在升交點以西 (或降交點以東 )2× 1° 37 06.48 =3° 14 12.96的范圍內(nèi)， 2° 07 19.992 3°1412.96,所以這次凌日完全可能發(fā)生。由此可求得兩次凌日間隔E× 583.9568954/365.2422=7.994104945年 .已知上次金星凌日大約于2004年 6月 8日北京T

12、=5 × P/P=5時間 13h15min 開始 ,那么下次是：2004+6/12+(8+13.167/24)/366+7.994104945=2012.517471即 2012 年 6 月 6 日 6h50min 。而真實時間是 2012 年 6 月 6 日 6h10min 前后，由于沒有考慮金星軌道是橢圓且存在偏心率以及周圍行星對它產(chǎn)生的攝動等復雜問題,相差40min的數(shù)據(jù)是完全可以接受的。那么 ,如果再過 5 倍會合周期的時間 ,金地會合再退 2° 0719.992 ,則有 2× 2° 07 19.992 3° 14 12.96 ,超過了

13、凌日發(fā)生限度 ,故在發(fā)生完了 8 年間隔的一組金星凌日后 ,決不可能隔了一個八年后有來一次金星凌日 (PS: 別灰心 ,在夢境中成立 !) 。剩下的幾組周期也是這么推，但由于誤差的累積，精確度大大減小，有興趣的同好可以試試，這里不再贅述。至于水星凌日我想應(yīng)該復雜些，因為它的偏心率更大，想以此類推恐怕也粗略了點。三、通過觀測行星星等估算行星半徑在夜晚，我們可能會看見位于黃道旁的行星，除了有少數(shù)幾顆不能用或很難用肉眼看見之外，其余的可說是璀璨奪目。在觀測行星時我突發(fā)了一個奇想：能否利用在地球上觀測到的行星星等求出行星的半徑？于是我便試了一下，發(fā)現(xiàn)似乎可以。過程如下，不過先反過來推。設(shè)地球表面太陽的

14、照度為F，地日距離為s；地球上觀測到行星星等為mp，行星對地照度為F，行星距太陽距離為 L，半徑為 r ，行星距地球距離為 （ L s）行星表面得到的照度為 F，反照率為 。則有： F/F (s/L)2F / F× （ Ls） /r 2故： FF××r/ （ L s） 2 × (s/L) 2 星等公式普森公式對大家都很熟悉了：m2.5 lg Fm m，現(xiàn)在令 p。則有：m p 2.5lg( F / F0) 2.5lgF/ F0 ××r/（ L s） 2×(s/L) 2由于現(xiàn)在是反過來推，即、 r 、 L、 s 都已知，似乎還

15、有一個 F是未知數(shù)，實則不然。設(shè)地球上觀測的太陽目視星等為m； 0 等星照度為F=-26.70。故有：m 0 -2.5lg（F/F0 ）則： F10(-m/2.5) × F0于是, F0可以消掉了 :m p 2.5lg ×10(-m /2.5)×r/ （ L s） 2 ×(s /L) 2 現(xiàn)在舉一個例子。以求木星星等為例。將木星半徑r=71398km，木星反照率為 0.58，木日距離為5.203AU ， 則m j = 2.5lg0.58× 10(26.7/2.5) ×(71398km/4.203AU)2 ×(1AU/5.203AU)2=-2.34, 而真實值在 2.4等上下。好，這說明用距離求星等是可行的，所以反過來用星等求半徑也可行：r 10 (m /2.5-mp /2.5)×(L/s)2×（ L s)2/ 再舉一個例子。 2003UB313 發(fā)現(xiàn)時距離地球97AU，發(fā)現(xiàn)時目視星等 17.8等，估算其半徑。假設(shè)反照率為 1，將數(shù)據(jù)代入公式：r 10 2(-26.7/2.5-17.8/2.5)×982× 972=1790km，也就是說