八下期末復(fù)習(xí)：二次根式、平行四邊形、勾股定理、一次函數(shù)

1、二次根式全章復(fù)習(xí)【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時(shí)，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；（2）； （3）.要點(diǎn)詮釋：（1） 一個(gè)非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即（），如（）.（2） 中的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來進(jìn)行化簡(jiǎn).（4）與的異同；不同點(diǎn)：中可以取任何實(shí)數(shù)，而中的必須取非負(fù)數(shù)；=，=（）.；相同點(diǎn)：被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)取非負(fù)數(shù)時(shí)，=.3. 最簡(jiǎn)二次根式1）被開方

2、數(shù)是整數(shù)或整式； 2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.如等都是最簡(jiǎn)二次根式.要點(diǎn)詮釋：最簡(jiǎn)二次根式有兩個(gè)要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式 幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類二次根式. 要點(diǎn)詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.知識(shí)點(diǎn)二、二次根式的運(yùn)算1. 乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：要

3、點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時(shí)只能為正數(shù)）.如.2.加減法 將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.【典型例題】類型一、二次根式的概念與性質(zhì)1 x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？ (1)； (2)；舉一反三：【變式】已知，求的值.2.把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，得( ).A B C D 舉一反三：【變式】.3. 實(shí)數(shù)在

4、數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖： 化簡(jiǎn).舉一反三：【變式】ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，則= . 類型二、二次根式的運(yùn)算4計(jì)算： (1)；(2).舉一反三：【變式】計(jì)算5.已知a、b、c為ABC的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn) 6 若，化簡(jiǎn).舉一反三：【變式】當(dāng).平行四邊形全章復(fù)習(xí)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行四邊形1定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行且相等； （2）對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)； （3）對(duì)角線互相平分； （4）中心對(duì)稱圖形.3面積：4判定：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（4）兩組對(duì)角分別相

5、等的四邊形是平行四邊形； （5）兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形（6）一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；（7）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點(diǎn)詮釋：平行線的性質(zhì)：（1）平行線間的距離都相等；（2）等底等高的平行四邊形面積相等.要點(diǎn)二、矩形1定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個(gè)角都是直角；（3）對(duì)角線互相平分且相等；（4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3面積：判定：（1) 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.要點(diǎn)詮釋：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）

6、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半要點(diǎn)三、菱形1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）兩條對(duì)角線互相平分且垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；（4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3面積：4判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)四、正方形1. 定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.2性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行；（2）四個(gè)角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對(duì)角線互相垂直平分且相等

7、，對(duì)角線平分對(duì)角；（5) 兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；（6）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3面積：邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)對(duì)角線對(duì)角線4判定：（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對(duì)角線相等的菱形是正方形；（4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.【典型例題】類型一、平行四邊形1、如圖，點(diǎn)D是ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合）以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點(diǎn)P、E在直線AB的同側(cè)），如果BDAB，那么PBC

8、的面積與ABC面積之比為（） A B C D舉一反三：【變式】已知ABC中，AB3，AC4，BC5，分別以AB、AC、BC為一邊在BC邊同側(cè)作正ABD、正ACE和正BCF，求以A、E、F、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積類型二、矩形2、如圖，O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD上的點(diǎn)，且AEBFCGDH（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，且DGAC，OF2，求矩形ABCD的面積舉一反三：【變式】如圖，O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，把AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G依次連接形成四邊形DEFG（1）四邊形DE

9、FG是什么四邊形，請(qǐng)說明理由；（2）若四邊形DEFG是矩形，點(diǎn)0所在位置應(yīng)滿足什么條件？說明理由3、在RtABC中，ACB=90，BC=4過點(diǎn)A作AEAB且AB=AE，過點(diǎn)E分別作EFAC，EDBC，分別交AC和BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)F，D若FC=5，求四邊形ABDE的周長(zhǎng)類型三、菱形4、如圖，平行四邊形ABCD中，ABAC，AB1，BC對(duì)角線AC，BD 相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn).（1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請(qǐng)說明理由；

10、如果能，說明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)舉一反三：【變式】已知:如圖所示，BD是ABC的角平分線，EF是BD的垂直平分線，且交AB于E，交BC于點(diǎn)F.求證:四邊形BFDE是菱形.5、在口ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=2AB，點(diǎn)E、F分別是OA、BC的中點(diǎn)連接BE、EF（1）求證：EF=BF；（2）在上述條件下，若AC=BD，G是BD上一點(diǎn)，且BG：GD=3：1，連接EG、FG，試判斷四邊形EBFG的形狀，并證明你的結(jié)論類型四、正方形6、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且EDF45將DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到DCM（1）求證：EFFM；

11、（2）當(dāng)AE1時(shí)，求EF的長(zhǎng)舉一反三：【變式】如圖（1），正方形ABCD和正方形CEFG有一公共頂點(diǎn)C，且B、C、E在一直線上，連接BG、DE（1）請(qǐng)你猜測(cè)BG、DE的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？并說明理由（2）若正方形CEFG繞C點(diǎn)向順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，如圖（2），BG和DE是否還存在上述關(guān)系？若存在，試說明理由；若不存在，也請(qǐng)你給出理由 勾股定理全章復(fù)習(xí)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）2.勾股定理的應(yīng)用 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用

12、勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；（3）求作長(zhǎng)度為的線段.要點(diǎn)二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長(zhǎng)為；（2）驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系，若，則ABC是以C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形. 3.勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯

13、數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.常見的勾股數(shù)：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.觀察上面的、四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長(zhǎng)的直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）要點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).【典型例題】類型一

14、、勾股定理及逆定理的應(yīng)用1、如圖所示，直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AD，AB，BC，E是AB上一點(diǎn)，且AE，求點(diǎn)E到CD的距離EF舉一反三：【變式】如圖所示，在ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，已知AB13，AD12，AC15，BD5，求DC的長(zhǎng)類型二、勾股定理與其他知識(shí)結(jié)合應(yīng)用2、如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC400米，BD200米，CD800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家試問在何處飲水，所走路程最短？最短路程是多少？舉一反三：【變式】如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點(diǎn)E，AE3，EB1，在AC上有一點(diǎn)P，使EPBP最短求EPBP的最小值

15、3、如圖所示，等腰直角ABC中，ACB90，E、F為AB上兩點(diǎn)(E左F右)，且ECF45，求證：.4、已知：如圖，ABC中，CAB120，AB4，AC2，ADBC，D是垂足，求AD的長(zhǎng)類型三、本章中的數(shù)學(xué)思想方法1.轉(zhuǎn)化的思想方法：我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪牵蜻M(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決5、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DEDF，若BE12，CF5求線段EF的長(zhǎng).舉一反三：【變式】已知凸四邊形ABCD中，ABC30，ADC60，ADDC，求證：2.方程的思想方法6、如圖所示，已知A

16、BC中，C90，A60，求、的值.一次函數(shù)全章復(fù)習(xí)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、函數(shù)的相關(guān)概念 一般地，在一個(gè)變化過程中. 如果有兩個(gè)變量 與，并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說 是自變量，是的函數(shù). 是的函數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，那么叫做當(dāng)自變量為時(shí)的函數(shù)值. 函數(shù)的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象法.要點(diǎn)二、一次函數(shù)的相關(guān)概念一次函數(shù)的一般形式為，其中、是常數(shù)，0.特別地，當(dāng)0時(shí)，一次函數(shù)即（0），是正比例函數(shù).要點(diǎn)三、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)1、函數(shù)的圖象如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象. 要點(diǎn)詮釋：直

17、線可以看作由直線平移|個(gè)單位長(zhǎng)度而得到（當(dāng)0時(shí)，向上平移；當(dāng)0時(shí)，向下平移）.說明通過平移，函數(shù)與函數(shù)的圖象之間可以相互轉(zhuǎn)化.2、一次函數(shù)性質(zhì)及圖象特征掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（對(duì)比正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)）要點(diǎn)詮釋：理解、對(duì)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的影響：（1）決定直線從左向右的趨勢(shì)（及傾斜角的大小傾斜程度），決定它與軸交點(diǎn)的位置，、一起決定直線經(jīng)過的象限 （2）兩條直線：和：的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定：與相交；，且與平行；，且與重合；（3）直線與一次函數(shù)圖象的聯(lián)系與區(qū)別一次函數(shù)的圖象是一條直線；特殊的直線、直線不是一次函數(shù)的圖象.要點(diǎn)四、用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程、方程組、不等式方程（組）、不等式問題函

18、數(shù) 問 題從“數(shù)”的角度看從“形”的角度看求關(guān)于、的一元一次方程0（0）的解為何值時(shí)，函數(shù)的值為0？確定直線與軸（即直線0）交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 求關(guān)于、的二元一次方程組的解為何值時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的值相等？確定直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)求關(guān)于的一元一次不等式0（0）的解集為何值時(shí)，函數(shù)的值大于0？確定直線在軸（即直線0）上方部分的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍【典型例題】類型一、函數(shù)的概念1、下列說法正確的是： （ ） .變量滿足，則是的函數(shù)；.變量滿足，則是的函數(shù)； .變量滿足，則是的函數(shù)； .變量滿足，則是的函數(shù).類型二、一次函數(shù)的解析式2、某出版社出版一種適合中學(xué)生閱讀的科普讀物，若該讀物首次出版印刷的印數(shù)不少于5000冊(cè)時(shí)，投入的成本與印數(shù)間的相應(yīng)數(shù)據(jù)如下：印數(shù)（冊(cè)）500080001000015000成本（元）28500360004100053500（1）經(jīng)過對(duì)上表中數(shù)據(jù)的探究，發(fā)現(xiàn)這種讀物的投入成本（元）是印數(shù)（冊(cè)）的一次函數(shù)，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式（不要求寫出的取值范圍）；（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印該讀物多少冊(cè)？舉一反三：【變式】已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，求該直線的函數(shù)解析式類型三、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)3、若直線（