實(shí)驗(yàn)一特殊函數(shù)與圖形37346

1、精品文檔第一周特殊函數(shù)與圖形一、問題背景與實(shí)驗(yàn)?zāi)康闹腞iemann函數(shù)大家都很熟悉了，但是關(guān)于它的圖像你是否清楚呢？除了最上面那幾點(diǎn)，其他都很難畫吧？你想不想看看下面那些“擠在一起”的點(diǎn)是怎樣分布的呢？還有幾何中的馬鞍面、單葉雙曲面等是怎樣由直線生成的，是不是也想目睹一下呢？這些，都離不開繪圖.實(shí)際上繪圖一直是數(shù)學(xué)中的一種重要手段，借助圖形，往往可以化繁為簡(jiǎn)，使抽象的對(duì)象得到明白直觀的體現(xiàn).比如函數(shù)的基本性質(zhì)，一個(gè)圖形常可以使之一目了然，非常有效.它雖不能代替嚴(yán)格的分析與證明，但在問題的研究過程中，可以幫助研究人員節(jié)約相當(dāng)一部分精力.止匕外，它還可以使計(jì)算、證明、建模等的結(jié)果得到更明白易懂

2、的表現(xiàn)，有時(shí)，這比科學(xué)論證更有說服力.同時(shí)，數(shù)學(xué)的教學(xué)與學(xué)習(xí)過程也離不開繪圖.借助直觀的圖形，?？梢允钩鯇W(xué)者更容易接受新知識(shí).如數(shù)學(xué)分析中有不少函數(shù)，其解析式著實(shí)讓人望而生畏，即使對(duì)其性質(zhì)作了詳盡的分析，還是感到難明就里；但如果能看到它的圖形，再配合理論分析，則問題可以迎刃而解.又如在幾何的學(xué)習(xí)中，會(huì)遇到大量的曲線與曲面，也離不開圖形的配合.傳統(tǒng)的手工作圖，往往費(fèi)力耗時(shí)，效果也不盡理想.計(jì)算機(jī)恰恰彌補(bǔ)了這個(gè)不足，使你可以方便地指定各種視角、比例、明暗，從各個(gè)角度進(jìn)行觀察.本實(shí)驗(yàn)通過對(duì)函數(shù)的圖形表示和幾個(gè)曲面（線）圖形的介紹，一方面展示它們的特點(diǎn)，另一方面，也將就Matlab軟件的作圖功能作一個(gè)

3、簡(jiǎn)單介紹.大家將會(huì)看到，Matlab的作圖功能非常強(qiáng)大.二、相關(guān)函數(shù)（命令）及簡(jiǎn)介1.平面作圖函數(shù)：plot,其基本調(diào)用形式：plot(x,y,s)以x作為橫坐標(biāo)，y作為縱坐標(biāo).s是圖形顯示屬性的設(shè)置選項(xiàng).例如：x=-pi:pi/10:pi;y=sin(x);plot(x,y,'-rh','linewidth',2,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','g')在使用函數(shù)plot時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意到當(dāng)兩個(gè)輸入量同為向量時(shí)，向量x與y必須維數(shù)相同，而且必須同是行向量

4、或者同是列向量.繪圖時(shí)，可以制定標(biāo)記的顏色和大小，也可以用圖形屬性制定其他線條特征，這些屬性包括：linewidth markeredgecolor markerfacecolor markersize指定線條的粗細(xì).指定標(biāo)記的邊緣色 指定標(biāo)記表面的顏色.指定標(biāo)記的大小.若在一個(gè)坐標(biāo)系中畫幾個(gè)函數(shù)，則 plot的調(diào)用格式如下:plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,)2.空間曲線作圖函數(shù)： 格式如下：plot3(x,y,z,s).例如: x=0:pi/30:20*pi; y=sin(x);z=cos(x); plot3(x,y,z)得到三維螺旋線：plot3,它與plot相比，只是多了一

5、個(gè)維數(shù)而已.其調(diào)用圖23 .空間曲面作圖函數(shù)：(1) mesh函數(shù).繪制彩色網(wǎng)格面圖形.調(diào)用格式：mesh(z),mesh(x,y,z)木口mesh(x,y,z,c).其中，mesh(x,y,z,c)畫出顏色由c指定的三維網(wǎng)格圖.若x、y均為向量，則length(x)=n,length(y)=m,m,n=size(z).(2) surf在矩形區(qū)域內(nèi)顯示三維帶陰影曲面圖.調(diào)用格式與mesh類似.(3) ezmesh用符號(hào)函數(shù)作三維曲面網(wǎng)格圖.調(diào)用格式：ezmesh(x,y,z)其中x=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t).畫圖區(qū)域默認(rèn)為：-2*pi<s<2*pi且-2*p

6、i<t<2*pi.或者用格式：ezmesh(x,y,z,smin,smax,tmin,tmax)(4) ezsurf用符號(hào)函數(shù)作三維曲面圖.調(diào)用格式與ezmesh類似.(5) sphere畫球體命令.4 .meshgrid,調(diào)用格式:x,y=meshgrid(m,n),這里的m,n為給定的向量，可以定義網(wǎng)格劃分區(qū)域和劃分方法.矩陣x和矩陣y是網(wǎng)格劃分后的數(shù)據(jù)矩陣.5 .圖像的修飾與其他函數(shù)：(1) axisequal控制各個(gè)坐標(biāo)軸的分度，使其相等；(2) colormap設(shè)置繪圖顏色.調(diào)用格式：colormap(rgb)其中r,g,b都是0-1之間的數(shù).或者用格式：colormap

7、(s)s為顏色映像.下面舉幾個(gè)常用的例子：顏色映像相應(yīng)的顏色系顏色映像相應(yīng)的顏色系autumn紅黃色系hsv色調(diào)飽和色系gray線性灰色系hot黑紅黃白色系cool青和洋紅色系pink柔和色系(3) grid網(wǎng)格函數(shù)gridon添加網(wǎng)格.gridoff取消網(wǎng)格.(4) find找出符合條件的元素在數(shù)組中的位置.調(diào)用格式：y=find(條件)例如：輸入：a=4578121466522541;b=find(a>7)輸出：b=3467三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容數(shù)學(xué)分析中，特別是積分部分，我們接觸了不少有趣的函數(shù)，由于其中有的不是一一對(duì)應(yīng)的，用上面的方法無法畫出它們的圖像，這時(shí)就只能用參數(shù)了.此外還有些圖形只

8、能用參數(shù)來畫，比如空間曲線，在計(jì)算機(jī)上不接受“兩個(gè)曲面的交線”這種表示，所以也只能用參數(shù)來實(shí)現(xiàn).用參數(shù)方式作圖的關(guān)鍵在于找出合適的參數(shù)表示，尤其是不能有奇點(diǎn)，最好也不要用到開方.所以要找的參數(shù)最好是有幾何意義的.當(dāng)然這也不可一概而論，需要多積累經(jīng)驗(yàn).1 .利用函數(shù)plot在一個(gè)坐標(biāo)系中畫以下幾個(gè)函數(shù)圖像，要求采用不同顏色、不同線形、不同的符號(hào)標(biāo)記.函數(shù)為：x=sin(t),y=cos(t),z=sin(2t),t(0,2n).程序如下：t=0:pi/20:2*pi;x=sin(t);y=cos(t);z=sin(2*t);plot(t,x,'-k*',t,y,'-rs&

9、#39;,t,z,':bo')圖像如下：2 .繪制類似田螺線的一條三維螺線(方程自己設(shè)計(jì)).程序如下：t=0:.1:30;x=2*(cos(t)+t.*sin(t);y=2*(sin(t)-t.*cos(t);z=1.5*t;plot3(x,y,-z)%取n主要是為了畫圖看起來更清楚axisequal圖像如下：圖43 .利用函數(shù)z=sinH_二y,繪制一個(gè)墨西哥帽子的圖形.、x2y2程序如下：a,b=meshgrid(-8:.5:8);%先生成一個(gè)網(wǎng)格c=sqrt(a.A2+b.A2)+eps;z=sin(c)./c;mesh(a,b,z)axissquare圖像如下:-10-

10、10圖5思考：這里的eps是什么？其作用是什么？224.利用suf繪制馬鞍面圖形(函數(shù)為：z=±-L).94程序如下：x,y=meshgrid(-25:1:25,-25:1:25);z=xA2/9-yA2/4;suf(x,y,z)title('馬鞍面')gridoff圖像如下：馬鞍面-JD，4Q圖65.分別用ezmesh和ezsuf各繪制一個(gè)圓環(huán)面，嘗試將兩個(gè)圓環(huán)面放在一個(gè)圖形精品文檔精品文檔界面內(nèi)，觀察它們有什么不同之處.提示：圓環(huán)面的方程為：(",'x2+y2環(huán)面的參數(shù)方程為：'x=(R+rcosu)cosv«y=(R+rcos

11、u)sinvZ=rsinu,R)2 +z2 = r2, R= 6, r = 2，而圓u 02, v 0,2二x = (6碎 cds(u)y = (6+2 cos(u) sin(, z = 2 sin")x = (B+2 cds(u)i) cos(¥), y = p+2 cos(u) sin池 2 = 2 $in(u)圖76.繪制黎曼函數(shù)圖形，加深對(duì)黎曼函數(shù)的理解. 說明：黎曼函數(shù)的定義為I-,當(dāng)p、q為正整數(shù)，E為既約分?jǐn)?shù)，x = Ew(o,i) y=<qqq0,當(dāng)x = 0,1及無理點(diǎn)，x0,1程序參見附錄2. 圖像如下：1 r-D.i -08 -程序參見附錄11圖

12、像如下：圖8精品文檔精品文檔四、自己動(dòng)手1.做出下圖所示的三維圖形:ezsurf('3*sin(u)*cos(v)','3*sin(u)*sin(v)','3*cos(u)',0,pi,0,2*pi);axisequalholdonezsurf('(8+2*cos(u)*cos(v)','(8+2*cos(u)*sin(v)','2*sin(u)',0,2*pi,0,2*pi)圖10精品文檔精品文檔a,b=meshgrid(-8:.5:8);c=sqrt(a.A2+b.A2)+eps;z=sin(c

13、)./c;mesh(a,b,z)axissquare改變a、b的取值范圍，可得到裁剪后的圖。3 .畫出球面、橢球面、雙葉雙曲面、單葉雙曲面.球面：ezsurf('3*sin(u)*cos(v)','3*sin(u)*sin(v)','3*cos(u)',0,pi,0,2*pi);axisequaltitle(球面')橢球面：ezsurf('3*sin(u)*cos(v)','1*sin(u)*sin(v)','1*cos(u)',0,pi,0,2*pi);axisequaltitle(橢球面

14、')雙葉雙曲面：ezsurf('3*tem(u)*cos(v)','3*tem(u)*sin(v)','5*sec(u)',-2*pi,3*pi/2,0,2*pi);axisautoaxisequaltitle(雙葉雙曲面)單葉雙曲面：ezsurf('3*sec(u)*cos(v)','4*sec(u)*sin(v)','5*tem(u)',-pi/2,pi/2,0,2*pi);axisautoaxisequalhtle(單葉雙曲面)4 .若要求田螺線的一條軸截面的曲邊是一條拋物線：y=0時(shí)x2=5z.試重新設(shè)計(jì)田螺線的參數(shù)方程，并畫出該田螺線.Ezplot3(1*t*sin(t)',Tt*cos(t)','t*2/5',0,50)t=0:.1:30;x=3*(1*t*sin(t);y=3*(1*t.*cos(t)；z=t*0.4;plot3(x,y,-z)%取-z主要是為了畫圖看起來更清楚axisequal>>5 .作出下圖所示的馬鞍面（顏色為灰色，并有一個(gè)標(biāo)題：“馬鞍面”）:馬鞍面1口口.-4D4D圖11x,y=meshgrid(-25:1:25);z=xA2/9-yA2/4;mesh(x,y,z)title(&#