2019教育第十二章第75講.doc

1、第1頁第 75 講不等式選講考試要求1.不等式的基本性質(B 級要求);2.|ax+ b|c, |x a|+ Xb|wc 型不等式的解法(B 級要求)；3.不等式證明的基本方法(比較法、綜合法、 分析法)(B 級要求)；4.算術一幾何平均不等式與柯西不等式(A 級要求)；5.利用不 等式求最大(小)值(B 級要求)；6.運用數(shù)學歸納法證明不等式(B 級要求).診斷自測1. 求不等式|x 1 X 5|2 的解集.解 當 x 1 時，原不等式可化為 1 x (5 x)2, 42，不等式恒成立，二 x 1.2當 1x5 時，原不等式可化為 x 1 (5 x)2,二 x4，. 1x5 時，原不等式可化

2、為 x 1 (x 5)2，該不等式不成立.綜上，原不等式的解集為( ，4).2. 若存在實數(shù) x 使 x a|+ x 1| |(x a) (x1)1= |a1|，要使 |x a| + x 1| 3 有解，可使 |a1| 3，二3 a 1 3，二2 a4.故實數(shù) a 的取值范圍為2, 4.3. 設 a, b, m, n R，且 a2+ b2= 5, ma+ nb= 5,求.m2+ n2的最小值.解 根據(jù)柯西不等式(ma+ nb)2 (a2+ b2)(m2+ n2),得 25 5,m2+ n2的最小值為 5.4. 若 a, b, c (0,+x),且 a+ b+ c= 1,求a+.b+ c 的最大

3、值.解(，a+ b+ ,c)2= (1xa+ 1xb+ 1xc)20, y0,若不等式-+1+0 恒成立， 求實數(shù)入的最小值.x y x+y解/x0, y0,原不等式可化為 圧(1+1)(x+ y)= 2+y+x.x y 八x yT2 +，+ y2 + 2、卩 = 4,當且僅當 x= y 時等號成立.x y、xyi11 1丨 x+ y (x+ y).= 4,即一圧 4,X 4.衛(wèi) y 丿_min故入的最小值為一 4.知識梳理1.絕對值不等式的解法(1) 含絕對值的不等式 xia 的解集：不等式a0a=0a0 xia(x,a)U(a,+)( x,0)U(0,+x)R(2)|ax+ b|0)和 |

4、ax+ b| c(c0)型不等式的解法：1|ax+b|c? ax+ bc 或 ax+ bw c；(3) |x a|+ |x b| c(c0)和 |x a|+ |x b|wc(c0)型不等式的解法：1利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想；2利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；3通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.2. 含有絕對值的不等式的性質(1) 如果 a, b 是實數(shù)，則|a|b|w|a)|w|a|+ |b|，當且僅當 ab0 時，等號成立.如果 a, b, c 是實數(shù)，那么|a c|w|a b|+ |b c|,當且僅當(a b)(b 0時,

5、等號成立.3. 不等式證明的方法第3頁(1)比較法：1作差比較法：知道 ab? a b0, ab? a bb 只要證明 a b0 即可，這種 方法稱為作差比較法.2作商比較法：由 ab0? ai 且 a0，b0，因此當 a0，b0 時，要證明 ab，只要證明琴1 即 可，這種方法稱為作商比較法.(2) 綜合法：從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關性質或定理，經(jīng)過推理論證，最終推導出所 要證明的不等式成立，這種證明方法叫綜合法.即“由因導果”的方法.(3) 分析法：從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結為一 個已成立的不等式(已知條件、定理等)，從而得出要證的不等式成立，

6、這種證明 方法叫分析法.即“執(zhí)果索因”的方法.(4) 反證法和放縮法：1先假設要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結合已知條件，應用公理、定義、定理、性質等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質、明 顯成立的事實等)矛盾的結論，以說明假設不正確，從而證明原命題成立，這種方 法叫做反證法.2在證明不等式時，有時要把所證不等式的一邊適當?shù)胤糯蠡蚩s小，此利于化簡 并使它與不等式的另一邊的關系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱 為放縮法.(5) 數(shù)學歸納法：一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù) n0的所有正整數(shù) n 都成立時，可 以用以下兩個步驟：1證明當 n= n0時命題

7、成立；2假設當 n= k(k N*，且 kn。)時命題成立，證明 n = k+ 1 時命題也成立.在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于 n的所有正整數(shù)都成立.這種 證明方法稱為數(shù)學歸納法.第4頁4.幾個常用基本不等式(1) 柯西不等式：1柯西不等式的代數(shù)形式：設 a,b,c,d 均為實數(shù)，則(a2+ b2)(c2+ d2) (ac+ bd)2(當 且僅當 ad = bc 時，等號成立).2柯西不等式的向量形式：設a， B為平面上的兩個向量，貝U1 如3|a，BI，等號當 且僅當a， B共線時成立3柯西不等式的三角不等式：設 xi， yi， X2，y， X3， y3 R，則_ (xi

8、X2)2+( yi y2)2+(X2 x3)2+(y2-y3)2(xi X3)2+( yi y3)2.4柯西不等式的一般形式：設 n 為大于 i 的自然數(shù)，ai，bi(i = i，2,，n)為實數(shù)，則(ai+ 空+ an)(bi+ b2+-+(aibi+ a2b2+-+ anbn)2,等號當且僅當也=捱= 3 時成立(當 a 尸 0 時，約定 bi= 0, i = i, 2,，n).aia2an(2) 算術一幾何平均不等式若 ai, a2,，an為正數(shù)，則+2；土一 *aia2an，當且僅當 ai= a2= =an時，等號成立.考點一絕對值不等式的解法及利用絕對值不等式求最值【例 i U (2

9、0i9 全國I卷)已知函數(shù) f(x)= |x+ i| 2|x a|, a0.(i)當 a= i 時，求不等式 f(x)i 的解集；若 f(x)的圖象與 x 軸圍成的三角形面積大于 6,求 a 的取值范圍.解 (i)當 a= i 時，f(x)i 化為 x+ i| 2x i|10.當 x0,無解；2當ivxvi 時，不等式化為 3x 20,解得 3x I 時，不等式化為一 x+ 20,解得 Kxi 的解集為 ix |x2Lx i 2a, xa.第5頁所以函數(shù) f(x)的圖象與 x 軸圍成的三角形的三個頂點分別為A2a311, 0 , B(2a +1,0)，C(a，a+1)，22 ABC 的面積為

10、3(3+ 1)2.22由題設得 3(a+ 1) 6,故 a2.所以 a 的取值范圍為(2,+x).規(guī)律方法形如 X a|+ |x b| c(或wc)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法，利用絕對值號內式子對應方程的根，將數(shù)軸分為(一x,a, (a, b, (b,+ )(此處設 avb)三個部分，在每個部分上去掉絕對值號分別列出對應的不等式 求解，然后取各個不等式解集的并集；幾何法，利用|x a|+ X b|c(c0)的幾何意義：數(shù)軸上到點 xi= a 和 x2= b 的距離之和大于 c 的全體；(3)圖象法：作 出函數(shù) yi=x a|+ |x b|和 y2= c 的圖象，結合圖象求解.【

11、例 1 2(1)對任意 x, y R，求|x 1|+ |x|+ |y 1|+ |y+ 1|的最小值.(2)對于實數(shù) x, y,若|x 1| 1, y 2| l(x 1) X|= 1,|y1|+ |y+1| l(y1)(y+1)匸 2,1|+ xi+ |y1|+ |y+1| 1 + 2=3.|x1|+ x|+ |y1|+ |y+1|的最小值為 3.(2)|x2y+1|=|(x1)2(y1)|w|x1|+|2(y2)+2|w1+2|y2|+2 |a)| |a|b|.(3) 利用零點分區(qū)間法.考點二絕對值不等式的綜合應用1 1第6頁【例 2】(2019 全國U卷)已知函數(shù) f(x)= x 2 + x

12、+ 2 , M 為不等式 f(x)2 的 解集(1)求 M;證明：當 a，b M 時,|a+ b|1 + ab|.12x,xW 2，(1) 解 f(x)=1,1x1當 x 2 時，由 f(x)2 得一 2x 1,所以1xW-；1 1當2x2 時，f(x) -時，由 f(x)2 得 2x2,1解得 x1，所以 x1.所以 f(x)2 的解集 M = x| 1x1.證明由(1)知，當 a，b M 時，一 1a1， 1b1，從而(a+ b)2 (1 + ab)2a+ b ab? 1 (a? 1)(1 b2)0，即(a+ b(1 + ab)2，因此 |a+ b|3,求實數(shù) a 的取值范圍.解(1)當

13、a 2 時，f(x)|2x 2|+ 2.第7頁解不等式 |2x 2| + 2W6 得一 1Wx 3.因此 f(x)W6 的解集為x| 1Wx |2x a+ 1 2x|+ a= |1 a|+ a,當x=2 時等號成所以當 x R 時，f(x) + g(x) 3 等價于|1 一 a|+ a3.當 a 3,無解. 當 a1時，等價于 a 1 + a3,解得 a2. 所以實數(shù) a的取值范圍是2 , +).考點三證明不等式例31】若 a, b R，求證:|a+bv-JOL+JbL1 + |a+ b1+ |a|+1 + |b證明 當|a+ b|= 0 時，不等式顯然成立當 |a+ b|M0時,由 0|a+

14、 b|v|a| + |b|?所以匕|a+ b|1V1 二1 + |a|+ |b|a|+回1 + |a|+ |b|a|+|b|v_JaL+|b|1 + |a|+ |b|+1 + |a|+ |b|v1 + |a|+1+ |b規(guī)律方法(1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧常見的放縮變換有:變換分式的分子和分母，如丄 11112k2k (k+1)，也1；第9頁aa+ m3真分數(shù)性質“若 00,且 ab+ bc+ ca= 1.求證：(1)a+ b+ c 3;崔+、ac+、護和B+c).證明(1)要證 a+ b+ c“3由于 a, b, c0,因此只需證明(a+ b+ c)23.即證：a2

15、+ b2+ c2+ 2(ab+ bc+ ca)3,而 ab+ bc+ ca= 1,故需證明：a2+ b2+ c2+ 2(ab+ bc+ ca) 3(ab+ bc+ ca). 即證：a2+ b2+ c2 ab+ bc+ca.a2+ b2b2+ c2c2+ a2222 (而這可以由 ab+ bc+ ca 3.1因此要證原不等式成立，只需證明靈嬴Ja+Ub+Uc.即證 a bc+ b ac+ c ab 1,即證 a bc+bac+ c ab ab+ bc+ ca. a . bc+ b . ac+ c . ab ab+ bc+ ca 當且僅當 a= b= c=于時等號成立.原不等式成立.而 a bc=

16、 ab acab+ acb acab+ bc.2, c.abbc+ ac原不等式成立.a+ b+ c.abc第10頁規(guī)律方法 當所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式、基本不等式?jīng)] 有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結論之間的關系時，可用分析法來尋找證明途徑, 使用分析法證明的關鍵是推理的每一步必須可逆111 1【訓練 2】 設 n 是正整數(shù)，求證：二門+匸 6+ 2nn(k= 1，2，n)，得1 1 1一2n n+ k n1w 丄2n n+1 n1 1 1w2n n+ 2 n原不等式成立考點四柯西不等式的應用【例 4】(2019 蘇、錫、常、鎮(zhèn)二模)已知 a，b，c 為正數(shù)，且 a+ b+ c

17、= 3,求，3a+ 1+ 3b+ 1+ 3c+ 1 的最大值.解 由柯西不等式可得(.3a+1+3b+1+. 3c+1)2w12+12+12( . 3a+1)2+(. 3b+1)2+(. 3c+1)2=3X12, ,3a+ 1 + . 3b+ 1+ 3c+ 1w6,當且僅當.3a+ 1= 3b+ 1 = .3c+ 1 時取等號. , 3a + 1 +. 3b+ 1 + ,3c+ 1 的最大值是 6.規(guī)律方法(1)使用柯西不等式證明的關鍵是恰當變形，化為符合它的結構形式， 當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進 行證明當 k= n 時,1 1 1w2nn+nn，1

18、衛(wèi)三丄+22n n+ 1+11 nn + 2+2n (x+y+ z) = 27. 又(x+ 2y + 3z) + (y+2z+ 3x) + (z+ 2x+ 3y) = 6(x+ y+ z) = 18 3, .+ +亠二x+ 2y+ 3z y+ 2z+ 3x z+ 2x+ 3y 18,32當且僅當 x= y=z=.3 時，等號成立.一、必做題1.在實數(shù)范圍內，求不等式 岷一 2|- 1| b0,求證：2a b 2ab a b.33222222證明 2a b (2ab a b) = 2a(a b ) + b(a b ) =(a2 b2)(2a+ b) = (a b)(a+b)(2a+ b).(2)

19、利用柯西不等式求最值的一般結構為:【訓3】 已知大于 1 的正數(shù) x, y，z滿足x+y+匚3 3求證：x+y+z+2y2yx2解 k2|0，Jx2W2得 Owxw4.2 2(ai+ a2+ + a1、+ 云 (i第12頁因為 ab0，所以 a b0， a + b0， 2a + b0， 從而(a b)(a+ b)(2a+ b)0，即卩 2a? b2ab ab.3.(2019 江蘇卷)已知 x0，y0,證明：(1 + x+ y )(1 + x + y)9xy.證明 因為 x0, y0,所以 1+ x+y233歹0,2第13頁1 + x2+ y33x2y0，故(1 + x+ y2)(1 + x2+

20、 y)3 3Xy=9xy.2 2 24.(2019 徐州模擬)設 a、b、c 是正實數(shù)，且 a+ b+ c= 9,求彳+石+的最小值心222、解v(a+b+c)2+B+=(,a)2+ (,b)2+ ( . c)2 If L2 2 2 2 2 22+2+22a+b+2 的最小值為2.5.（一題多解）已知 a，b，c 均為正實數(shù)，且互不相等，且 abc= 1，求證：，a+ ,b1 1+_a+b2-以上三式相加，得：+ +.a+、：b+ , c.b, c 互不相等， + b+ 2 ,a+. b+ c.1bc+ ca ca+ ab ab+ bc -222c= bc+ ca+ ab=2+2+2 abc

21、+ a bc+ ab c= a/a+/b+/c=2 , b.第14頁6.設 x, y, z R，且滿足：x2+ y2+ z2= 1, x+ 2y+ 3z= _ 14,求 x+ y+ 乙解 由柯西不等式可得(x?+ y2+ z2)(l2+ 2?+ 3?) (x+ 2y +3z)，即(x+ 2y+ 3z)?w14,因此 x+ 2y+因為 x+ 2y+ 3z=/i4，所以 x=辱彳，解得 x=，y.143143、14二,，于是 x+ y+ z=廠.1 1 17.(2019 南通二模)設 x, y, z 均為正實數(shù)，且 xyz= 1,求證：氏+茗+兀xy 入 y y 厶厶入+ yz+ zx.證明 因為 x, y, z 均為正實數(shù)，且 xyz= 1,1 2 1 2 1 2所以 h + xy = 2yz, p + yz = 2xz,它 + xz= 2xy,當且僅當 x= y= 1 時 xy3x3y z3yz x z33取等號.1 1 1所以 x3y+Tz+ z3xxy+ yz+8.(2019 蘇州模擬)已知 a, b, c R，且 2a + 2b+ c= 8,求(a 1)2+ (b+ 2)2+ (c3)2的最小值.解由柯西不等式得2 2 2 2(