PID LQR H 控制器 實(shí)例已修正錯(cuò)誤

1、目錄0 引言11 原系統(tǒng)的特性11.1 參考論文系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖分析11.2 控制對(duì)象的傳遞函數(shù)12 PID控制器設(shè)計(jì)32.1 PID控制器原理322 PID控制器設(shè)計(jì)42.3 控制器性能分析52.4 Simulink仿真link仿真63 極點(diǎn)配置控制器的設(shè)計(jì)73.1 極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)73.2 極點(diǎn)配置控制器分析93.3 Simulink仿真94 LQR控制器的設(shè)計(jì)104.1 LQR控制器原理104.2 LQR控制器設(shè)計(jì)114.4 Simulink下仿真135 H控制器的設(shè)計(jì)155.1 H控制器原理155.2 H控制器設(shè)計(jì)175.3 H控制器分析215.4 Simulink下仿真226 綜合比較23參考

2、文獻(xiàn)240 引言隨著磁盤驅(qū)動(dòng)器軌道密度的不斷增長(zhǎng)，越來(lái)越多的算法被引入到磁盤驅(qū)動(dòng)器的磁頭定位上；由于H控制能詳細(xì)的指定閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，利用H控制來(lái)增強(qiáng)HDD伺服系統(tǒng)的性能和魯棒性成為一種可行的方法；本文將對(duì)幾種常見的控制器：PID,極點(diǎn)配置，LQR和H控制器進(jìn)行研究，并比較各種控制的優(yōu)缺點(diǎn)。本文則分別介紹了4種不同的控制控制器來(lái)改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能、跟蹤性能和抗干擾性能。 1 原系統(tǒng)的特性1.1 參考論文系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖分析 本文通過閱讀A Comparative Study of the Use of the Generalized Hold Function for HDDs一文，對(duì)硬盤

3、伺服系統(tǒng)的模型進(jìn)行分析，如圖1-1所示是參考論文系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。圖1-1 參考論文系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖其中P為控制對(duì)象、K為控制器、S為采樣器、y采樣器測(cè)量值、v為采樣測(cè)量噪聲、為外部干擾、W為低通濾波器、U為控制器輸出、和比例因子。參考論文采用的是H控制器來(lái)改善一個(gè)離散系統(tǒng)性能，本文在沒有考慮采樣器情況下，針對(duì)控制對(duì)象P來(lái)設(shè)計(jì)幾種控制器來(lái)改善一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)性能，并做了一個(gè)橫向比較。1.2 控制對(duì)象的傳遞函數(shù)式（1）為控制對(duì)象傳遞函數(shù)，下文中針對(duì)控制對(duì)象P設(shè)計(jì)控制器，首先，經(jīng)過對(duì)被控對(duì)象分析，加入一個(gè)比例因子就可以達(dá)到一個(gè)基本的控制效果。MATLAB程序仿真如下：num=conv(-3*107,1 -2.4*

4、105 1.92*1010); %多項(xiàng)式乘法den=conv(1 251.3 3.948*105,1 2.4*105 1.92*1010);g1=tf(num,den)g=g1/(-76); %加入比例因子G=minreal(g)figure(1);step(G);Transfer function: 394800 s2 - 9.475e010 s + 7.58e015s4 + 2.403e005 s3 + 1.926e010 s2 + 4.92e012 s + 7.58e015圖1-2 原系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線由仿真結(jié)果知，系統(tǒng)傳遞函數(shù)互質(zhì)，狀態(tài)空間最小實(shí)現(xiàn)為4階。如圖1-2所示系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線可

5、知系統(tǒng)穩(wěn)定，超調(diào)量53%，響應(yīng)時(shí)間0.045s，但是控制效果不理想。因此，需要進(jìn)一步設(shè)計(jì)控制器來(lái)改善系統(tǒng)性能。下面對(duì)硬盤模型P進(jìn)行四種控制器的設(shè)計(jì):PID控制器、基于極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋控制器、線性二次最優(yōu)（LQR）控制器、控制器。2 PID控制器設(shè)計(jì)2.1 PID控制器原理為了便于理解PID控制器的原理，首先介紹一下典型PID控制器系統(tǒng)原理框圖如圖2-1所示：-積分比例微分d/dt-被控對(duì)象PID控制器 -圖2-1 典型PID控制結(jié)構(gòu)在圖2-1中，系統(tǒng)的偏差信號(hào)為。在PID調(diào)節(jié)作用下，控制器對(duì)誤差信號(hào)分別進(jìn)行比例、積分、微分運(yùn)算，其結(jié)果的加權(quán)和構(gòu)成系統(tǒng)的控制信號(hào)，送給被控對(duì)象加以控制。PID控

6、制器的數(shù)學(xué)描述為： 式中，Kp為比例系數(shù)，Ti為積分時(shí)間常數(shù)，Td的微分時(shí)間常數(shù)。 連續(xù)PID控制器的Laplace變換式可以寫成： 但為了避免純微分運(yùn)算，經(jīng)常用一階滯后環(huán)節(jié)來(lái)近似純微分環(huán)節(jié)，即將PID控制器寫成如下形式：本文采用Ziegler-Nichols公式得出PID函數(shù)來(lái)進(jìn)行PID控制器的設(shè)計(jì)，從系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應(yīng)速度、超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)精度等各方面來(lái)考慮, kp , ki , kd 的作用如下:(1) 比例系數(shù)kp 的作用是加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度,提高系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。kp 越大,系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快,系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度越高,但易產(chǎn)生超調(diào),甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。kp 取值過小,則會(huì)降低調(diào)節(jié)精度,使響應(yīng)

7、速度緩慢,從而延長(zhǎng)調(diào)節(jié)時(shí)間,使系統(tǒng)靜態(tài)、動(dòng)態(tài)特性變壞。(2) 積分作用系數(shù)ki 的作用是消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。ki 越大,系統(tǒng)靜態(tài)誤差消除越快,但ki 過大,在響應(yīng)過程的初期會(huì)產(chǎn)生積分飽和現(xiàn)象,從而引起響應(yīng)過程的較大超調(diào)。若ki 過小,將使系統(tǒng)靜態(tài)誤差難以消除,影響系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。(3) 微分作用系數(shù)kd 的作用是改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,其作用主要是在響應(yīng)過程中抑制偏差向任何方向的變化,對(duì)偏差變化進(jìn)行提前預(yù)報(bào)。但kd 過大,會(huì)使響應(yīng)過程提前制動(dòng),從而延長(zhǎng)調(diào)節(jié)時(shí)間,而且會(huì)降低系統(tǒng)的抗干擾性能。22 PID控制器設(shè)計(jì)加入PID控制器之后，通過如上所述kp、ki、kd 的作用調(diào)節(jié)Kp、Ti、Td參數(shù)使得閉

8、環(huán)傳遞函數(shù)階躍響應(yīng)達(dá)到理想效果，MATLAB程序仿真如下：num=conv(-3*107,1 -2.4*105 1.92*1010);den=conv(1 251.3 3.948*105,1 2.4*105 1.92*1010);G1=tf(num,den);G=G1/(-76); %這一項(xiàng)有問題G1=-G1;Kc,b,Wc,d=margin(G1);%取得控制對(duì)象幅值裕度Kc、相位裕度d、和交叉頻率Wc、dTc=2*pi/Wc; %求取參數(shù)Kp=0.45*Kc;Ti=0.5*Tc;Td=0.5*Tc;GPID=Kp*(1+tf(1,Ti 0)+tf(Td 0,Td/20 1); figure

9、(2);step(feedback(G1*GPID,1),'-',G,'-');figure(3);bode(feedback(G1*GPID,1),'-',feedback(G,1),'-');axis(0 0.01 0 1.6) %有問題，這里%各參數(shù)取值為：Kp = 68Ti = 9.728509668515869e-004Td = 9.728509668515869e-004N=20設(shè)計(jì)控制器為：系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖2-2所示：圖2-2 PID控制前后的階躍響應(yīng)曲線圖2-3 PID控制后系統(tǒng)的伯德圖2.3 控制器性能分析如

10、圖2-2、圖2-3所示分析了PID控制前后系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，系統(tǒng)的超調(diào)量由53%降為14.2%，調(diào)節(jié)時(shí)間由0.045s降到0.00452s，動(dòng)態(tài)性能明顯提高。從閉環(huán)系統(tǒng)伯德圖可以看出，系統(tǒng)零頻幅振比M(0)=0db,所以階躍響應(yīng)輸入時(shí)，其穩(wěn)態(tài)誤差為0，另外，校正后系統(tǒng)的諧振峰值遠(yuǎn)小于原系統(tǒng)，所有超調(diào)量比較小，而頻帶寬度比原系統(tǒng)寬，所以調(diào)節(jié)時(shí)間比較短，快速性比較好，但抗干擾性能比較差。再看PID控制的擾動(dòng)輸入時(shí)情況。在原系統(tǒng)模型中：1、令，則可得到由輸入到輸出的傳遞函數(shù)為： （6）2、令，則可得到由干擾到輸出的傳遞函數(shù)為： （7）由以上分析可知，。MATLAB程序仿真如下：figure(3

11、);step(1/(1+GPID*G1); %干擾信號(hào)的階躍響應(yīng)axis(0 0.007 -0.3 1.2);圖2-4 PID控制系統(tǒng)抗干擾性能曲線圖2-4所示，PID控制器作用下系統(tǒng)對(duì)階躍干擾信號(hào)幾乎可以完全抑制，系統(tǒng)抗干擾性能非常好。因此，該控制器方案達(dá)到預(yù)期效果。2.4 Simulink仿真link仿真利用Simulink仿真PID控制，仿真圖如下圖2-5圖2-5 Simulink仿真圖仿真結(jié)果如下：圖2-6 階躍響應(yīng)曲線圖2-7 控制信號(hào)輸入從圖2-6，圖2-7仿真結(jié)果可以知道，系統(tǒng)可以較快跟蹤階躍信號(hào)，而且控制對(duì)象的控制信號(hào)輸入也在合理范圍以內(nèi)。3 極點(diǎn)配置控制器的設(shè)計(jì)3.1 極點(diǎn)配

12、置設(shè)計(jì)本文中原系統(tǒng)傳遞函數(shù)是4階SISO系統(tǒng)，且系統(tǒng)傳遞函數(shù)互質(zhì)，因此首先把系統(tǒng)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型，然后可直接進(jìn)行基于狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置。由對(duì)控制對(duì)象分析知道，系統(tǒng)的平衡實(shí)現(xiàn)中:g=116.1652 78.1759 0.0051 0.0005 可以看出系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)的權(quán)重非常小，可以忽略它的影響，對(duì)系統(tǒng)分析時(shí)，系統(tǒng)的主要性能由主導(dǎo)極點(diǎn)決定。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降階，可以得到系統(tǒng)降階后傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)降階后模型為一個(gè)二階系統(tǒng)。對(duì)于二階系統(tǒng)，其特征多項(xiàng)式為，對(duì)應(yīng)特征根為，對(duì)于二節(jié)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性來(lái)說(shuō)，當(dāng)=0.707是為比較理想，這時(shí)。基于以上分析選擇兩個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)和兩個(gè)遠(yuǎn)極點(diǎn)，得到MATLAB程序仿真如下：num=c

13、onv(-3*107,1 -2.4*105 1.92*1010);den=conv(1 251.3 3.948*105,1 2.4*105 1.92*1010);G1=tf(num,den);G=G1/(-76);Gs= sscanform(G,'ctrl') %把原系統(tǒng)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型A B C D=ssdata(Gs);P=-3000-3000i,-3000+3000i,-20000,-21000; %期望極點(diǎn)K=acker(A,B,P);Ac=A-B*K;num,den=ss2tf(Ac,B,C,D);G1=tf(num,den);Gs1=sscanform(G1,'

14、;ctrl');figure(2);step(G,'-',G1,'-'); %控制前后的階躍響應(yīng)figure(3);subplot(1,2,1)margin(G); %原系統(tǒng)伯德圖subplot(1,2,2)margin(G1); %PID控制系統(tǒng)伯德圖圖3-1 極點(diǎn)配置控制前后系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線圖3-2 極點(diǎn)配置控制前后系統(tǒng)的伯德圖3.2 極點(diǎn)配置控制器分析如圖3-1、圖3-2所示基于極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制前后系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，系統(tǒng)超調(diào)量由53%降為4%，調(diào)節(jié)時(shí)間由0.045s降到0.002s，動(dòng)態(tài)性能大幅提高。從系統(tǒng)伯德圖可以看出，系統(tǒng)零頻幅振比M

15、(0)=0db,所以階躍響應(yīng)輸入時(shí)，其穩(wěn)態(tài)誤差為0，另外，校正后系統(tǒng)的諧振峰值為0，所以沒有振蕩，且超調(diào)量比較小，而頻帶寬度比原系統(tǒng)寬，所以調(diào)節(jié)時(shí)間比較短，快速性比較好，但抗干擾性能比較差。3.3 Simulink仿真用simulink仿真如下：圖3-3 極點(diǎn)配置系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖3-4 極點(diǎn)配置系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖3-3、3-4所示simulink仿真與程序仿真效果一樣。因此，該控制器方案比較理想。4 LQR控制器的設(shè)計(jì)4.1 LQR控制器原理線性二次型調(diào)節(jié)器問題簡(jiǎn)稱LQR (Linear Quadratic Regulator)問題在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要的位置, 受到控制界的普遍重視。LQR

16、 方法具有設(shè)計(jì)規(guī)范、易于工程實(shí)現(xiàn)以及能夠獲得線性反饋結(jié)構(gòu)等優(yōu)點(diǎn)。但在使用該方法時(shí), 最優(yōu)控制效果取決于加權(quán)陣Q 和R 的選取, 如果Q 和R 選取不當(dāng), 則可能使求得的解不能滿足實(shí)際系統(tǒng)的性能要求, 就更談不上“最優(yōu)”了,有時(shí)還能得出誤導(dǎo)性的結(jié)論。設(shè)給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程: (1)二次性能指標(biāo)函數(shù)定義為: 滿足二次型目標(biāo)函數(shù)J為最小(8)其中:X為n 維狀態(tài)向量, U為r維輸入向量, A,B分別是n×n, n×r 維常數(shù)矩陣, Q為正定(或半正定)實(shí)對(duì)稱矩陣, R為正定厄米特或?qū)崒?duì)稱矩陣。LQR(Linear Quadratic Regulator)問題表示這樣一種物理

17、概念:若系統(tǒng)受到外界擾動(dòng), 偏離零狀態(tài)后(即到達(dá)某一初態(tài)X0), 應(yīng)施加怎樣的控制使系統(tǒng)回到零狀態(tài)附近, 并滿足二次型目標(biāo)函數(shù)J 為最小。此時(shí)的稱為最優(yōu)控制,使式(8)取得最小值的最優(yōu)控制律為: （9）式中P就是Riccati方程的解, K是反饋增益矩陣。目前確定加權(quán)矩陣Q 和R 的普遍方法是仿真試湊法, 該方法的基本原理是:首先進(jìn)行分析初步選取Q 和R, 通過計(jì)算機(jī)仿真判斷其是否符合設(shè)計(jì)要求, 如果符合要求則停止仿真。然后用MATLAB 函數(shù)庫(kù)可以直接求得反饋增益矩陣K,P=LQR(A B Q R) ,其中向量K為狀態(tài)反饋向量，P為Riccati代數(shù)方程的解，把K 代入到實(shí)際系統(tǒng)控制器參數(shù)中

18、,可以得到狀態(tài)反饋下的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（A-BK，B，C-DK，D）。這樣就完成了控制器的設(shè)計(jì)。 一般情況下，如果希望輸入信號(hào)小，則選擇較大的R矩陣，這樣可以迫使輸入信號(hào)變小，否則目標(biāo)函數(shù)將增大，不能達(dá)到最優(yōu)的要求。對(duì)多輸入系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，若希望第i個(gè)輸入小些，則R的第i列的值應(yīng)該選得大一些，如果希望第j個(gè)狀態(tài)變量的值小一些，則應(yīng)該相應(yīng)地將Q矩陣的第j列元素選擇較大的值，這時(shí)最優(yōu)化功能會(huì)迫使該變量變小。4.2 LQR控制器設(shè)計(jì)在硬盤控制器中，經(jīng)過權(quán)衡各方參數(shù)后選取Q=1 0 0 0;0 50 0 0;0 0 1 0;0 0 0 5000;R=0.5;編寫matalab程序如下：num=conv(

19、-3*107,1 -2.4*105 1.92*1010);den=conv(1 251.3 3.948*105,1 2.4*105 1.92*1010); %原函數(shù)模型G1=tf(num,den); %程控傳遞函數(shù)G=G1/(-76); %把原函數(shù)變?yōu)閱挝粺o(wú)差G_t=G1/-36; %先選定一個(gè)比例因子 A B C D=ssdata(G_t); %狀態(tài)空間模型數(shù)據(jù)的訪問Q=1 0 0 0;0 50000 0 0;0 0 1 0;0 0 0 5000;R=0.5;K,S=lqr(A,B,Q,R);Ac=A-B*K;Cc=C-D*K; %計(jì)算狀態(tài)反饋后的狀態(tài)空間方程Gk=ss(Ac,B,Cc,D)

20、;Gk1=tf(Gk);figure(2);step(Gk1,'-',G,'-')%與原系統(tǒng)進(jìn)行比較figure(3);bode(Gk,'-',G_t,'-');gm,pm,wg,wp=margin(Gk)；gm1,pm1,wg1,wp1=margin(G_t)；figure(4);step(1-Gk1);%擾動(dòng)輸入階躍響應(yīng)。結(jié)果如下：設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣為：K = 11.3312 20.8006 202.0346 59.7220加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)模型為：Transfer function:8.333e005 s2 - 2e011 s

21、+ 1.6e016- （10）s4 + 2.41e005 s3 + 1.944e010 s2 + 1.88e013 s + 1.599e016系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖4-1所示： 圖4-1 原系統(tǒng)與校正后系統(tǒng)階躍響應(yīng)圖4-2 原系統(tǒng)與校正后系統(tǒng)伯德圖4.3 LQR控制器分析1）如圖4-1所示：可以看出，經(jīng)過LQR校正后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能明顯好轉(zhuǎn)，對(duì)比如下：上升時(shí)間（ms）峰值超調(diào)量(%)調(diào)節(jié)時(shí)間(ms)穩(wěn)態(tài)值原系統(tǒng)1.931.5352.731.21校驗(yàn)后系統(tǒng)1.931.14146.361如圖4-1所示系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量都得到改善，而且振蕩減小了。如圖4-2所示，從系統(tǒng)伯德圖可以看出，系統(tǒng)零頻幅振

22、比M(0)=0db,所以階躍響應(yīng)輸入時(shí)，其穩(wěn)態(tài)誤差為0，另外，校正后系統(tǒng)的諧振峰值=0.925db，遠(yuǎn)小于原系統(tǒng)，所以振蕩較小，且超調(diào)量比較小，而頻帶寬度比原系統(tǒng)寬，所以調(diào)節(jié)時(shí)間比較短，快速性比較好，但抗干擾性能比較差。4.4 Simulink下仿真利用MATLAB中的Simulink仿真以上設(shè)計(jì)，仿真圖如下：圖4-3系統(tǒng)simulink仿真結(jié)構(gòu)仿真結(jié)果如圖：圖4-4 校正后系統(tǒng)階躍響應(yīng)圖4-5 校正后系統(tǒng)控制輸入信號(hào) 圖4-6校正后系統(tǒng)狀態(tài)X1階躍輸入下的響應(yīng)曲線 圖4-7原系統(tǒng)狀態(tài)X1在階躍響應(yīng)輸入下響應(yīng)曲線 圖4-8校正后系統(tǒng)狀態(tài)X2在階躍輸入下的響應(yīng)曲線 圖4-9原系統(tǒng)X2在階躍輸入下

23、響應(yīng)曲線 圖4-10校正后系統(tǒng)狀態(tài)X3在階躍輸入下的響應(yīng)曲線 圖4-11原系統(tǒng)X3在階躍輸入下響應(yīng)曲線 圖4-12校正后系統(tǒng)狀態(tài)X4在階躍輸入下的響應(yīng)曲線圖4-13原系統(tǒng)X4在階躍響應(yīng)輸入下響應(yīng)曲線從以上各圖（圖4-6至圖4-13）可以看出，加入校正后系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)在階躍信號(hào)輸入下的響應(yīng)曲線有了較大的改善，信號(hào)幅值大大較小，從而驗(yàn)證了LQR設(shè)計(jì)的目的，尋找一個(gè)最優(yōu)的控制使得目標(biāo)函數(shù)的值最小。5 H控制器的設(shè)計(jì)5.1 H控制器原理現(xiàn)代控制理論的許多成果在理論上很漂亮，但實(shí)際應(yīng)用并不成功。主要原因是忽略了對(duì)象的不確定性，并對(duì)系統(tǒng)所存在的干擾信號(hào)作了苛刻的要求。加拿大學(xué)者Zames在1981年提出了

24、著名的H¥控制思想，考慮如下一個(gè)單輸入單輸出系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題：對(duì)于屬于一個(gè)有限能量的干擾信號(hào)，設(shè)計(jì)一個(gè)控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且干擾對(duì)系統(tǒng)期望輸出影響最小。由于傳遞函數(shù)的H¥范數(shù)可描述有限輸入能量到輸出能量的最大增益，所以用表示上述影響的傳遞函數(shù)的H¥范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，就可使具有有限功率譜的干擾對(duì)系統(tǒng)期望輸出的影響最小。一個(gè)控制系統(tǒng)最重要的目的是使其達(dá)到給定的性能指標(biāo)而同時(shí)又能保證系統(tǒng)的內(nèi)穩(wěn)定。一般來(lái)講，描述給定的性能指標(biāo)的方法之一是用某些信號(hào)的大小來(lái)表示。H控制中的性能指標(biāo)就是用傳遞函數(shù)矩陣的H范數(shù)來(lái)描述的。H魯棒控制理論是通過對(duì)傳遞函數(shù)的無(wú)窮范數(shù)

25、優(yōu)化而獲得具有魯棒性能的控制器的一種控制理論。H范數(shù)的物理意義是它代表系統(tǒng)獲得的最大能量增益。H魯棒控制理論的實(shí)質(zhì)是為MIMO(多輸入多輸出)且具有模型攝動(dòng)和不確定性的系統(tǒng)提供了一種頻域的魯棒控制器設(shè)計(jì)方法。當(dāng)一個(gè)多輸入多輸出系統(tǒng)存在有不確定性（如故障，擾動(dòng)）時(shí)，我們就可以通過H控制理論來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)魯棒控制器，來(lái)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提供系統(tǒng)的魯棒性。魯棒控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)如下所示，其中P為增廣的對(duì)象模型，而F為控制器模型。從輸入信號(hào)u1到輸出信號(hào)y1的傳遞函數(shù)可以表示為。y1u1 圖5-1標(biāo)準(zhǔn)反饋控制結(jié)構(gòu)對(duì)于以上的雙端子狀態(tài)方程對(duì)象模型結(jié)構(gòu)，的設(shè)計(jì)目標(biāo)是找到一個(gè)控制器F(s)，它能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的

26、范數(shù)限制在一個(gè)給定的小整數(shù)下，即<。這時(shí)控制器的狀態(tài)方程表示為 （11）其中 （12）且X與Y分別為下面兩個(gè)代數(shù)Riccati方程的解 （13）控制器存在的前提條件為：（1）足夠小，且滿足<；（2）控制器Riccati 方程的解X 為正定矩陣；(3) 觀測(cè)器Riccati 議程的解Y 為正定矩陣；(4) 。該式說(shuō)明兩個(gè)Riccati方程的積矩陣的所有特征值均小于。5.2 H控制器設(shè)計(jì)對(duì)于一般混合靈敏度設(shè)計(jì)問題，其加權(quán)控制結(jié)構(gòu)如圖5-2所示：圖5-2一般加權(quán)靈敏度函數(shù)結(jié)構(gòu)其中W1，W2，W3都是加權(quán)函數(shù)，這些加權(quán)函數(shù)應(yīng)該使得G(s),W1(s)、W3G(s)為正則。換句話說(shuō)就是在S趨

27、向無(wú)窮是應(yīng)該有界。一般情況下，由以上可以組成系統(tǒng)的增廣矩陣為：這個(gè)結(jié)構(gòu)又成為設(shè)計(jì)的一般混合靈敏度問題。在這樣的問題下，線性分式表示可以寫成為，其中F(s)為控制器模型，S(s)為靈敏度函數(shù)，其定義為，是從r (s) 到e (s) 的傳遞函數(shù)，而T(s)為補(bǔ)靈敏度函數(shù)，其定義為，是為從r (s) 到y(tǒng) (s) 的傳遞函數(shù)。靈敏度是決定跟蹤誤差大小的最重要指標(biāo)，靈敏度越低，則系統(tǒng)的跟蹤誤差越小，估系統(tǒng)響應(yīng)的品質(zhì)指標(biāo)越好，而補(bǔ)靈敏度函數(shù)是決定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的重要指標(biāo)，它制約系統(tǒng)輸出信號(hào)的大小，在存在不確定性時(shí)，有較大的加權(quán)會(huì)迫使系統(tǒng)輸出信號(hào)穩(wěn)定。靈敏度和補(bǔ)靈敏度函數(shù)的加權(quán)選擇是相互矛盾的，他們直接應(yīng)

28、該存在折中。在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，一般開始時(shí)可以把W2設(shè)置為一個(gè)很小的值，這個(gè)W2幾乎為零，此時(shí)先考慮W1，w3的影響。輸入響應(yīng)的最大能量等價(jià)于函數(shù)S（s）的范數(shù)。在硬盤控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中, 為了抑制系統(tǒng)低頻段內(nèi)干擾和模型誤差的影響, 應(yīng)盡量減小S（s）在該頻段內(nèi)的增益, 通過整形S(s)的頻率特性使其位于某條曲線之下, 得到所要求S 的奇異值(R) 曲線, 就可以得到好的跟蹤性能, 減少穩(wěn)態(tài)誤差。S 對(duì)任一個(gè)加權(quán)矩陣W1 的跟蹤性能指標(biāo)為:又因?yàn)轸敯舴€(wěn)定性與補(bǔ)償靈敏度函數(shù)的最大奇異值成反比, 即補(bǔ)償靈敏度函數(shù)越小,魯棒穩(wěn)定性越好。同理可設(shè)計(jì)得到所要求T 的奇異值(R) 曲線, 通過整形T 的頻率特性使其

29、位于某條曲線之下時(shí)可以達(dá)到好的魯棒穩(wěn)定性能, 則得到T 對(duì)任一個(gè)加權(quán)矩陣W3的魯棒穩(wěn)定性指標(biāo)為:W1, W3 是根據(jù)工程設(shè)計(jì)的需要而選取的加權(quán)傳遞函數(shù)矩陣。在MATLAB中，魯棒控制工具箱提供了hinf()函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)混合穩(wěn)定性與品質(zhì)魯棒性要求相結(jié)合的控制器。在設(shè)計(jì)控制器之前，首先自動(dòng)檢驗(yàn)控制器是否存在。如果所有的條件均滿足，則將設(shè)計(jì)出一個(gè)控制器。否則，將給出錯(cuò)誤信息，提示用戶因某些原因不滿足，不能設(shè)計(jì)出所需的控制器。本文分別選取 。調(diào)用MATLAB語(yǔ)句如下：num=conv(-3*107,1 -2.4*105 1.92*1010);den=conv(1 251.3 3.948*105,1

30、2.4*105 1.92*1010);G1=tf(num,den);G=G1/(-76);W1=0,200;8,1; %設(shè)置加權(quán)函數(shù)W1,W2,W3W2=0.01;W3=1,0;0,5000;GP=augtf(G,W1,W2,W3);Gc=hinf(GP); %設(shè)計(jì)混合穩(wěn)定性與品質(zhì)魯棒性要求相結(jié)合的控制器figure(1);step(feedback(G*Gc,1),'-',G,'-');%校正后系統(tǒng)階躍響應(yīng)figure(2);%bode(G*Gc,'-',G,'-');bode(feedback(G*Gc,1),'-&#

31、39;,G,'-');%求閉環(huán)系統(tǒng)伯德圖figure(3);step(1-feedback(G*Gc,1);%閉環(huán)反饋系統(tǒng)擾動(dòng)階躍響應(yīng)曲線figure(4);%step(feedback(Gc,G);%控制信號(hào)線S=1/(1+G*Gc);subplot(2,1,1)sigma(1/tf(0,200,8,1),'-',S,'-');%繪制靈敏度函數(shù)的奇異值曲線subplot(2,1,2)T=1-S;sigma(1/tf(1,0,0,8000),'-',T,'-');%繪制補(bǔ)靈敏度函數(shù)的奇異值曲線u,t=gensig(

32、'sin',0.01);%加入正弦波干擾figure(5);subplot(2,1,1)lsim(ss(G),u,t);%原系統(tǒng)subplot(2,1,2)lsim(ss(G*Gc),u,t);%調(diào)節(jié)后系統(tǒng)系統(tǒng)驗(yàn)證控制器存在性：<< H-inf Optimal Control Synthesis >>Computing the 4-block H-inf optimal controllerusing the S-L-C loop-shifting/descriptor formulaeSolving for the H-inf controller F

33、(s) using U(s) = 0 (default)Solving Riccati equations and performing H-infinityexistence tests:1. Is D11 small enough? OK2. Solving state-feedback (P) Riccati .a. No Hamiltonian jw-axis roots? OKb. A-B2*F stable (P >= 0)? OK3. Solving output-injection (S) Riccati .a. No Hamiltonian jw-axis roots?

34、 OKb. A-G*C2 stable (S >= 0)? OK4. max eig(P*S) < 1 ? OK-all tests passed - computing H-inf controller .DONE!設(shè)計(jì)控制器Gc如下：Zero/pole/gain:50139207.2611 (s2 + 251.3s + 3.948e005) (s2 + 2.4e005s + 1.92e010)- （14）(s+9.868e007) (s+638.9) (s+0.125) (s2 + 2.4e005s + 1.92e010)階躍響應(yīng)曲線如圖5-2所示：圖5-3 校正后系統(tǒng)與原系統(tǒng)

35、階躍響應(yīng)圖5-4 校正后系統(tǒng)與原系統(tǒng)伯德圖圖5-5 階躍擾動(dòng)輸入響應(yīng)圖5-6 S與加權(quán)矩陣1/W1的奇異曲線圖5-7 T與加權(quán)矩陣1/w3的奇異曲線圖5-8 加入100HZ正弦波干擾5.3 H控制器分析從以上可以知道， ,可以看出W1 (s) 的低頻增益較大, 而高頻增益較小, 這樣選擇的目的是在有擾動(dòng)及低頻模型誤差時(shí), 可得到好的穩(wěn)定軌跡跟蹤, 因?yàn)樵诟哳l處存在明顯的模型誤差及不確定性, 所以不強(qiáng)調(diào)高頻處的軌跡跟蹤。W3 (s) 的低頻增益為零, 如此選擇W3 (s) 可確保受控對(duì)象在低頻處的輸出不被衰減, 保證了軌跡跟蹤, 同時(shí)也保證有較好的魯棒穩(wěn)定性,W3 (s) 與零分貝線的交點(diǎn)為魯棒

36、控制帶寬8000rad/s.從階躍響應(yīng)曲線如圖5-2所示，加入了控制器后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能得到改善。上升時(shí)間（ms）峰值超調(diào)量(%)調(diào)節(jié)時(shí)間(ms)穩(wěn)態(tài)值原系統(tǒng)1.931.5352.731.21校驗(yàn)后系統(tǒng)4.821.044.1213.41系統(tǒng)伯德圖如圖5-3所示，校正后系統(tǒng)高頻段的曲線位于原系統(tǒng)的下方，證明對(duì)于高頻干擾的抑制，校驗(yàn)后系統(tǒng)比原系統(tǒng)更加優(yōu)越，而且在較高頻段可以看出，校驗(yàn)后系統(tǒng)的斜率明顯比原系統(tǒng)大，這樣對(duì)于高頻干擾的抑制能力更加強(qiáng)。對(duì)于階躍擾動(dòng)輸入，系統(tǒng)都能夠很快克服擾動(dòng)恢復(fù)到原狀態(tài)。如圖5-4所示系統(tǒng)在階躍擾動(dòng)輸入下很快就恢復(fù)到0狀態(tài)，所以系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾性能。從圖5-7可以看到，系統(tǒng)原系統(tǒng)在100HZ正弦波干擾下，擾動(dòng)幅值增大，而在加入控制器后，擾動(dòng)幅值得到衰減。5.4 Simulink下仿真利用MATLAB中的Simulink仿真控制器效果，仿真圖如5-5所示：圖5-9 系統(tǒng)simulink仿真結(jié)構(gòu)仿真結(jié)果如下：圖5-10校正后系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線圖5-11 控制信號(hào)曲線從以上可以可以看出，系統(tǒng)的性能有較大的改善，從控制信號(hào)曲線可以看出，控制器輸出信號(hào)保持在一個(gè)合理的范圍以內(nèi)。6 綜合比較本文以上