4四邊形知識點與經(jīng)典例題

1、第十九章 四邊形一、 基礎(chǔ)知識（一）四邊形由一般到特殊的演變示意圖（二）特殊四邊形平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形定義有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。有一個角是直角的平行四邊形是矩形。有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形。兩腰相等的梯形是等腰梯形。性質(zhì)1對邊平行且相等。2對角相等，鄰角互補。3對角線互相平分1四個角都是直角。2對角線相等。1四條邊都相等。2兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。具有平行四邊形、矩形、菱形的所有特征。1兩腰相等兩底平行2同一底上的兩角相等3兩條對角線相等判定1定義：2判定定理：（1）兩組對邊分別相等的四邊

2、形是平行四邊形。（2）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（4）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。1定義：2判定定理：（1）對角線相等的平行四邊形是矩形。（2）有三個角是直角的四邊形是矩形。1定義：2判定定理：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（2）對角線互相垂直的四邊形是菱形。(1)先證明是矩形再證明一組鄰邊相等。（2）先證明是菱形再證一個角是直角。1定義：先判斷是梯形在證明兩腰相等。2同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。3對角線相等的梯形是等腰梯形。對稱性軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形（三）1三角形中位線定理：三角形的中位線

3、平行于三角形的第三邊，且等于第三遍的一半。 2由矩形的性質(zhì)得到直角三角形的一個性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。二、例題例1：如圖1，平行四邊形ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分別為E、F. 求證：BAE =DCF.（圖1）CABDEF證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ABE =CDF，AB= CD.又AEBD，CFBD，AEB =CFD = 90°，ABECDF. BAE =DCF.OABCDEF（圖2）例2如圖2，矩形ABCD中，AC與BD交于O點，BEAC于E，CFBD于F.求證：BE = CF. 證明：四邊形ABCD是矩形，OB = OC.又BEAC，CFBD，

4、BEO =CFO = 90º.BOE =COF.BOECOF. BE = CF.評注：本題主要考查矩形的對角線的性質(zhì)以及全等三角形的判定.ABCD圖3EF例3已知：如圖3，在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，點E、F分別在AB、CD上，且BE = 2EA，CF = 2FD. 求證：BEC =CFB.證明：在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，梯形ABCD是等腰梯形. ABC =DCB.又AB = DC，BE = 2EA，CF = 2FD，BE = CF. BC = CB，BECCBF. BEC =CFB.例4如圖6，E、F分別是 ABCD的AD、BC邊上的點，且AE =

5、 CF.（1）求證：ABECDF；（2）若M、N分別是BE、DF的中點，連結(jié)MF、EN，試判斷四邊形MFNE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論. ADBCEF(圖6)MN（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AB = CD，A =C.AE = CF，ABECDF.（2）解析： 四邊形MFNE是平行四邊形.ABECDF，AEB =CFD，BE = DF.又M、N分別是BE、DF的中點，ME = FN.四邊形ABCD是平行四邊形，AEB =FBE.CFD =FBE. EBDF，即MEFN.四邊形MFNE是平行四邊形.評注：本題是一道猜想型問題. 先猜想結(jié)論，再證明其結(jié)論.例5如圖7， ABCD的對角

6、線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點E，F(xiàn).圖7ABCDEFO求證：四邊形AFCE是菱形.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC. EAC =FCA.EF是AC的垂直平分線，OA = OC，EOA =FOC，EA = EC.EOAFOC . AE = CE.四邊形AFCE是平行四邊形.又EA = EC，四邊形AFCE是菱形.例6如圖9，四邊形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是對角線AC上的點.（1）如果 ，則DECBFA（請你填上一個能使結(jié)論成立的一個條件）；圖8BCDAEF（2）證明你的結(jié)論.解析：本題是一道條件開放型問題，答案不唯一.（1）AE=CF；OE = OF；DEA

7、C，BFAC；DEBF等.（2）證明：四邊形ABCD是矩形，AB = CD，AB CD. DCE =BAF.AE=CF，ACAE = ACCF，即AF = CE.DECBFA.例7如圖10，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，對角線AC和BD相交于點O，E是BC邊上一個動點（點E不與B、C兩點重合），EFBD交AC于點F，EGAC交BD于點C.（1）求證：四邊形EFOG的周長等于2OB；（2）請你將上述題目的條件“梯形ABCD中，ADBC，AB = DC”改為另一種四邊形，其他條件不變，使得結(jié)論，“四邊形EFOG的周長等于2OB”仍成立，并將改編后的題目畫出圖形，寫出已知、求證、不

8、必證明.ABCD圖10EGOF解析：（1）證明：在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，梯形ABCD是等腰梯形. ABC =DCB.又BC = CB，AB = DC，ABCDCB. ACB =DBC.又EGAC，ACB =GEB.DBC=GEB. EG = BG.EGOC，EFOG，四邊形EGOF是平行四邊形.OE = OF，EF = OG.四邊形EGOF的周長 = 2（OGGE）= 2（OGGB）= 2OB.（2）如圖11，已知在矩形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，E是BC邊上一個動點（點E不與B、C兩點重合），EFBD交AC于點F，EGAC交BD于點C.求證：四邊形EFOG的周

9、長等于2OB圖11BADCOFEG注意：若將矩形改為正方形，原結(jié)論成立嗎？例8有一塊梯形形狀的土地，現(xiàn)要平均分給兩個農(nóng)戶種植（即將梯形的面積兩等分），試設(shè)計兩種方案（平分方案畫在備用圖13(1)、(2)上），并給予合理的解釋.解析：本題是一道方案設(shè)計題，現(xiàn)提供三種方案供參考：方案一：如圖14（1），連結(jié)梯形上、下底的中點E、F，則備用圖（1）備用圖（2）圖13S四邊形ABFE = S四邊形EFCD =.方案二：如圖14（2），分別量出梯形的上、下底a、b的長，在下底BC上截取BE =（ab），連結(jié)AE. 則SABE = S四邊形AECD =.方案三：如圖14（3），連結(jié)AC，取AC的中點E，連

10、結(jié)BE、ED，則圖中陰影部分的面積等于梯形ABCD的一半.分析此方案可知，AE = EC，SAEB= SEBC，SAED= SECD.SAEBSAED= SEBCSECD = S四邊形ABCD.（3）ABCDE（1）ABCDEF（2）ABCDE圖14圖15例9請將四個全等直角梯形（如圖15），拼成一個平行四邊形，并畫出兩種不同的拼法示意圖（拼出的兩個圖形只要不全等就認為是不同的拼法）解析：拼法有多種，現(xiàn)列舉四例：三、適時訓(xùn)練（一）精心選一選 1.下列命題正確的是（ ）一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形一定是平行四邊形對角線相等的四邊形一定是矩形兩條對角線互相垂直的四邊形一定是菱形兩條對角線相

11、等且互相垂直平分的四邊形一定是正方形2. 已知平行四邊形ABCD的周長32, 5AB=3BC,則AC的取值范圍為( )A. 6<AC<10； B. 6<AC<16； C. 10<AC<16； D. 4<AC<163.兩個全等的三角形（不等邊）可拼成不同的平形四邊形的個數(shù)是（）（A）1（B）2（C）3（D）44延長平形四邊形ABCD的一邊AB到E，使BEBD，連結(jié)DE交BC于F，若DAB120°，CFE135°，AB1，則AC 的長為（ ）（A）1（B）1.2（C）（D）1.55若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE1cm

12、，則BD的長是（ ）（A）1cm（B）2cm（C）3cm（D）4cm6.若順次連結(jié)一個四邊形各邊中點所得的圖形是矩形，那么這個四邊形的對角線()（A）互相垂直（B）相等 （C）互相平分（D）互相垂直且相等7. 如圖，等腰ABC中，D是BC邊上的一點，DEAC，DFAB，AB=5那么四邊形AFDE的周長是（ ）（A）5 （B）10 （C）15 （D）208.如圖，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則線段CN的長是（ ） （A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm 9. 如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°

13、;，AC將梯形分成兩個三角形，其中ACD是周長為18 cm的等邊三角形，則該梯形的中位線的長是( )(A)9 cm (B)12cm (c)cm (D)18 cm10.如圖，在周長為20cm的ABCD中，ABAD，AC、BD相交于點O，OEBD交AD于E，則ABE的周長為（） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cmABCDEF圖 211. 如圖2，四邊形ABCD為矩形紙片把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊的中點E處，折痕為AF若CD6，則AF等于 （）（A）（B）（C）（D） 12.如圖，已知四邊形ABCD中，R、P分別是BC、CD上的點，E、F分別是RPDCBAEF第1

14、2題圖AP、RP的中點，當點P在CD上從C向D移動而點R不動時，那么下列結(jié)論成立的是 （ )A、線段EF的長逐漸增大 B、線段EF的長逐漸減小 C、線段EF的長不變 D、線段EF的長與點P13. 在梯形ABCD中，AD/BC，對角線ACBD，且，BD=12c m，則梯形中位線的長等于（ ）A. 7.5cmB. 7cmC. 6.5cmD. 6cm黃藍紫橙紅綠AGEDHCFB第14題14. 國家級歷史文化名城金華，風(fēng)光秀麗，花木蔥蘢某廣場上一個形狀是平行四邊形的花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍、綠、橙、紫6種顏色的花如果有，那么下列說法中錯誤的是（ ）A紅花、綠花種植面積一定相等B紫花、橙花種植面

15、積一定相等C紅花、藍花種植面積一定相等D藍花、黃花種植面積一定相等15.如圖,在一個3方格紙上,若以格點(即小正方形的頂點)為頂點畫正方形，在該3方格紙上最多可畫出的正方形的個數(shù)是( )個.A.13 B.14 C.18 D.20 （二）細心填一填1.如果四邊形四個內(nèi)角之比1：2：3：4，則這四邊形為形。2.若正方形的對角線長為2cm，則正方形的面積為。3.若矩形一個內(nèi)角的平分線，把另一邊分為4cm,5cm兩部分，則這個矩形周長是4.已知：平行四邊形ABCD的周長是30cm，對角線AC，BD相交于點O，AOB的周長比BOC的周長長5cm ，則這個平行四邊形的各邊長為。5. 已知：平行四邊形ABC

16、D中， AEBC交CB的延長線于點E，AFCD交CD的延長線于點F，ABBCCDDA32cm，BCAB，EAF2C，則BE長為，則C.ABCDEFO圖86. 在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別是A(2，5)，B(3，1)，C(1，1)，在第一象限內(nèi)找一點D，使四邊形ABCD是平行四邊形，那么點D的坐標是 7.已知：如圖8，正方形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，E、F分別是邊AB、BC上的點，若AE4cm，DF3cm，且OEOF，則EF的長為 。8 如圖10(1)是一個等腰梯形，由6個這樣的等腰梯形恰好可以拼出如圖10(2)所示的一個菱形對于圖10(1)中的等腰梯形，請寫出它的內(nèi)

17、角的度數(shù)或腰與底邊長度之間關(guān)系的一個正確結(jié)論： 9如圖，在四邊形中，是對角線的中點，分別是的中點，則的度數(shù)是 第10題圖DABCPMNCFDBEAP（第9題）（1）（2）圖1010如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB、BC的中點，則PM+PN的最小值是_11. 如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個條件是 。12. 已知矩形ABCD，分別為AD和CD為一邊向矩形外作正三角形ADE和正三角形CDF，連接BE和BF，則的值等于 。13. 如圖所示，O

18、為矩形ABCD的對角線交點，DF平分ADC交AC于E，BC于F，BDF=15°，則COF=_14. 如圖，矩形的對角線和相交于點，過點的直線分別交和于點E、F，則圖中陰影部分的面積為15、如圖，矩形的面積為，順次連結(jié)各邊中點得到四邊形，再順次連結(jié)四邊形四邊中點得到四邊形，依此類推，求四邊形的面積是。（三）認真答一答1.如圖，在四邊形ABCD中，A=60°,B=D=90°,BC=2,CD=3,求AB的長。2.如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC,AB=CD=2,BAD=120°,對角線AC平分BCD，求等腰梯形ABCD的周長。ABCDEFD3.將平行四邊形

19、紙片ABCD按如圖方式折疊，使點C與A重合，點D落到D 處，折痕為EF（1）求證：ABEADF；（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論4已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，對角線AC、BD相交于點E，ADB=60°，BD=10，BEED=41，求梯形ABCD的腰長.5. 如圖，菱形ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，BEAF60°，BAE18°求CEF的度數(shù)。ABCDMNE(第6題)6.已知：如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足為點D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為點E，（1）求證：四邊形AD

20、CE為矩形；（2）當ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明7. 如圖，四邊形ABCD中，一組對邊AB=DC=4，另一組對邊ADBC，對角線BD與邊DC互相垂直，M、N、H分別是AD、BC、BD的中點，且ABD=30°求：（1）MH的長（2）MN的長。8. 如圖所示，在ABC中，BAC=90°,ADB,BE平分ABC,EFBC,那么AE=CF嗎？證明你的結(jié)論。9. 如圖，ABCD是正方形，CEBD，BEBD，BE交DC于點F，求證：（1）BEC30°（2）DEDF 10.如圖，在正方形ABCD中，P為對角線BD上一點，PEBC，垂足為E， PF

21、CD，垂足為F，求證：EFAP11. 如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P，過點P作直線交AD于點E,交BC于點F。若PE=PF,且AP+AE=CP+CF（1）求證：PA=PC;（2）若AD=12,AB=15,DAB=60°,求四邊形ABCD的面積.12.如圖，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，點A處有一動點E以1cms的速度由點A向點B運動，同時點C處也有一動點F以2cms的速度由點C向點D運動，設(shè)運動的時間為x（s），四邊形EBFD的面積為y（cm2），求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍。13.如圖在直角梯形ABCD中, ADBC, B=90°

22、;AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,動點P從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動,動點Q從C開始沿CB向B以3cm/s的速度運動,P,Q分別從點A,C同時出發(fā),當其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動,設(shè)運動的時間t,t分別為何值時,四邊形PQCD為平行四邊形,等腰梯形?A B Q C D P 14.在ABC中，借助作圖工具可以作出中位線EF，沿著中位線EF一刀剪切后，用得到的AEF和四邊形EBCF可以拼接成平行四邊形EBCP，接切線與拼圖過程如圖所示，依照上述方法，安要求完成下列操作設(shè)計，并畫出圖形說明。（1）在ABC中，增加條件 ，沿著 一刀剪切后可以拼成矩形。（2）在A

23、BC中，增加條件 ，沿著 一刀剪切后可以拼成菱形。（3）在ABC中，增加條件 ，沿著 一刀剪切后可以拼成正方形。（4）在ABC（ABAC）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，畫出切線與拼圖示意圖。15如圖把一個正方形割去四分之一，將余下的部分分成3個全等的圖形（圖甲）；將余下的部分分成4個全等的圖形（圖已）仿照示例，請你將一個正三角形割去四分之一后余下的部分。（1）分成3個全等的圖形（在圖一中畫出示意圖）；（2）分成四個全等的圖形（在圖二中畫出示意圖）；（3）你還能利用所得的4個全等的圖形拼成一個平行四邊形嗎？若能，畫出大致的示意圖。16.如圖是 王大爺?shù)囊粔K四邊形菜地，在A處有一口井，王大爺

24、要想從A處引一條筆直的水渠，且這條筆直的水渠將四邊形菜地分成面積相等的兩部分.請你為王大爺設(shè)計一條引水渠的方案，畫出圖形,并簡要寫出作圖的主要步驟.解:作圖步驟：17. (1)如圖25-1，在四邊形ABCD中，ABAD，BD90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且EAF=BAD.求證:EFBEFD; (2) 如圖25-2在四邊形ABCD中，ABAD，B+D180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且EAF=BAD, (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明. (3) 如圖25-3在四邊形ABCD中，ABAD，B+ADC180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且EAF=BAD, (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立