平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運算

1、2.3.2§2.3.3 平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運算教學(xué)目的：（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運算；（3）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線. 教學(xué)重點：平面向量的坐標(biāo)運算教學(xué)難點：向量的坐標(biāo)表示的理解及運算的準(zhǔn)確性.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+2(1)我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一. 1，2是被，唯一確

2、定的數(shù)量二、講解新課：同學(xué)們，我們知道，向量的概念是從物理中抽象出來的，人們最初對向量的研究是從幾何的的角度來進行的，但是隨著問題的不斷深入，我們發(fā)現(xiàn)用圖形來研究向量有一些不便之處，那么，有沒有一種更簡潔的方式可以來表示向量呢？我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說過：“數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微?！眻D形關(guān)系往往與某些數(shù)量關(guān)系密切聯(lián)系在一起，數(shù)與形是互相依賴的，所以我們想到了用數(shù)來表示向量.思路一：用一個數(shù)能否表示向量？（請學(xué)生回答）（不能，因為向量既有大小，又有方向）思路二：用兩個數(shù)能否表示向量？（引導(dǎo)學(xué)生思考）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一個點和一對有序?qū)崝?shù)對之間有一一對應(yīng)的關(guān)系，那么，向量是否也能找到與

3、之對應(yīng)的實數(shù)呢？ 讓我們先來探討這樣一個問題：探究一：如圖，為互相垂直的單位向量，請用表示圖中的向量1 4 O222223 3123411234534 45 52請學(xué)生動手完成并回答：根據(jù)向量加法的幾何意義，我們只要把分解在的方向上，就可得到：，同理可得 我們用來表示的這種形式是否唯一？根據(jù)是什么？（提問學(xué)生）由此復(fù)習(xí)平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使，其中的，稱為平面的一組基底.強調(diào)：基底不唯一，只要不共線，就可作為基底，而一旦基底選定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的.二、理解概念，加深認識.根據(jù)平面向量基本定理，

4、我們知道，在選定基底的情況下，所給四個向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是說，這幾個向量用基底、來表示的形式是唯一的，每個向量對應(yīng)的這對實數(shù)對我們就將其稱之為向量的坐標(biāo).推廣到平面內(nèi)的任意向量，我們怎樣來定義向量的坐標(biāo)？（引導(dǎo)學(xué)生思考，請學(xué)生嘗試給出定義）如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示在定義中，要注意定義實際上給出了求向量坐標(biāo)的方法：寫出向量在正交基底方向的分解形式，就得到了向量的坐標(biāo)；反過來，知

5、道了一個向量的坐標(biāo)，就相當(dāng)于知道了它在、方向的分解形式.結(jié)合定義，指導(dǎo)學(xué)生求出向量、，的坐標(biāo).（多媒體演示）在坐標(biāo)系中觀察，向量及的坐標(biāo)與其終點坐標(biāo)有何關(guān)系？這幾個向量在坐標(biāo)系中的位置有什么共同點？什么樣的向量其坐標(biāo)就是終點坐標(biāo)？通過這樣的問題引導(dǎo)讓學(xué)生得到結(jié)論：起點在原點的向量其坐標(biāo)就是其終點的坐標(biāo).類比點的坐標(biāo)，提出：向量平移后具體位置發(fā)生了改變，其坐標(biāo)是否會發(fā)生變化？結(jié)合向量坐標(biāo)的定義，將平移前后的向量分別分解在基底的方向上，所得四邊形是全等的，因此，這兩個向量的坐標(biāo)相同.也可這樣理解，通過動畫演示，指出：平移前后的向量是相等向量，通過平移，可以使它們的起點平移到坐標(biāo)原點處，則其終點必然

6、重合，此時，它們的坐標(biāo)都對應(yīng)著這個終點的坐標(biāo)，由此得到：相等向量的坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等向量.三、自主探索，推導(dǎo)法則.前面所學(xué)的向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積這幾種運算的結(jié)果是向量，因此，引入向量后，這些運算的結(jié)果也能用坐標(biāo)表示， 請學(xué)生以四人小組為單位，自己討論推導(dǎo)，再將推導(dǎo)方法及所得結(jié)論在班上進行交流，最后，教師再來歸納整理，由此得出平面向量的坐標(biāo)運算法則：（1）兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差：（其中）（2）實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)： 若，則；探究三：通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，起點在原點的向量的坐標(biāo)就是其終點坐標(biāo)，那么，對于起

7、點不在原點的向量，又該如何來確定其坐標(biāo)？若已知其起點坐標(biāo)和終點坐標(biāo)，如何求出此向量的坐標(biāo)？先來看一個具體的例子：求出圖中的向量的坐標(biāo)，并觀察其坐標(biāo)與其起點坐標(biāo)、終點坐標(biāo)之間有何關(guān)系？1（引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，歸納猜想）學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：其坐標(biāo)等于向量的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo).再將A,B的坐標(biāo)推廣到一般的，可得相應(yīng)結(jié)論。教師指出：這只是我們從具體的例子中得到的猜想，要說明其正確性，必須進行嚴密的推證。指導(dǎo)學(xué)生進行證明，關(guān)鍵說明：已知A,B兩點的坐標(biāo)相當(dāng)于知道了向量, 的坐標(biāo)，而，從而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運算.由此，得到一個重要的結(jié)論：一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo).練習(xí)2.

8、四、鞏固應(yīng)用，加深理解.例1、 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點D的坐標(biāo).解：設(shè)頂點D的坐標(biāo)為例2、已知平面上三點的坐標(biāo)分別為A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求點D的坐標(biāo)使這四點構(gòu)成平行四邊形的四個頂點.（引導(dǎo)學(xué)生思考，多媒體演示） 分析：未固定四邊形四個頂點的順序，因此，點D的位置有3個.五、課堂小結(jié).（先請學(xué)生歸納，再由教師完善）1.平面向量的坐標(biāo)的概念；2.幾個重要結(jié)論：(1) 相等的向量坐標(biāo)相同；坐標(biāo)相同的向量是相等向量；(2) 起點在原點的向量的坐標(biāo)等于其終點的坐標(biāo).（3）一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo).即：3.平面向量的坐標(biāo)運算:六、布置作業(yè).（必做題）課本P114. 2.3.4（選做題）我們把平面內(nèi)兩條相交但不垂直的數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系（兩條數(shù)軸的原點重合且單位長度相同）稱為斜坐標(biāo)系.平面上任意一點P的斜坐標(biāo)定義為