凱特?cái)[測(cè)量重力加速度

1、凱特?cái)[測(cè)量重力加速度1818年凱特提出的倒擺，經(jīng)雷普索里德作了改進(jìn)后，成為當(dāng)時(shí)測(cè)量重力加速度g最精確的方法。波斯坦大地測(cè)量研究所曾用五個(gè)凱特?cái)[用了8年時(shí)間（1896-1904），測(cè)得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=(981.274±0.003)cm/s2，許多地區(qū)的g值都曾以此為根據(jù)。凱特?cái)[測(cè)量重力加速度的方法不僅在科學(xué)史上有著重要的價(jià)值，而且在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)上亦有值得學(xué)習(xí)的技巧。教學(xué)目的：1. 學(xué)習(xí)凱特?cái)[的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思想和技巧。2. 掌握一種比較精確的測(cè)量重力加速度的方法。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：1. 復(fù)擺的原理2. 凱特?cái)[的結(jié)構(gòu)及原理3. 利用凱特?cái)[測(cè)量重力加速度的方法教學(xué)內(nèi)容：一實(shí)驗(yàn)原理圖一是復(fù)擺的示意圖

2、，設(shè)一質(zhì)量為m的剛體，其重心G到轉(zhuǎn)軸的距離為h，繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，當(dāng)擺幅很小時(shí)，剛體繞O軸擺動(dòng)的周期T為 （1）式中g(shù)為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?。設(shè)復(fù)擺繞通過重心G的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IG，當(dāng)G軸與O軸平行時(shí)，有 （2）代入式（1）得 （3）對(duì)比單擺周期的公式，可得 （4）l稱為復(fù)擺的等效擺長(zhǎng)。因此只要測(cè)出周期和等效擺長(zhǎng)便可求得重力加速度。復(fù)擺的周期我們能測(cè)得非常精確，但利用來確定l是很困難的。因?yàn)橹匦腉的位置不易測(cè)定，因而重心G到懸點(diǎn)O的距離h也是難以精確測(cè)定的。同時(shí)由于復(fù)擺不可能做成理想的、規(guī)則的形狀，其密度也難絕對(duì)均勻，想精確計(jì)算IG也是不可能的。我們利用復(fù)擺上兩點(diǎn)的共軛性可以精確求得l。在復(fù)擺

3、重心G的兩旁，總可找到兩點(diǎn)O和O，使得該擺以O(shè)懸點(diǎn)的擺動(dòng)周期T1與以O(shè)為懸點(diǎn)的擺動(dòng)周期T2相同，那么可以證明就是我們要求的等效擺長(zhǎng)l。 圖一 復(fù)擺示意圖 圖二 凱特?cái)[擺桿示意圖圖二是凱特?cái)[擺桿的示意圖，對(duì)凱特?cái)[而言，兩刀口間的距離就是該擺的等效擺長(zhǎng)l。在實(shí)驗(yàn)中當(dāng)兩刀口位置確定后，通過調(diào)節(jié)A、B、C、D四擺錘的位置可使正、倒懸掛時(shí)的擺動(dòng)周期T1和T2基本相等，即T1T2。由公式（3）可得 （5） （6）其中T1和h1為擺繞O軸的擺動(dòng)周期和O軸倒重心G的距離。當(dāng)T1T2時(shí)，h1+h2=l即為等效擺長(zhǎng)。由式（5）和（6）消去IG，可得 （7）式中，l、T1、T2都是可以精確測(cè)定的量，而h1則不易測(cè)準(zhǔn)

4、。由此可知，a項(xiàng)可以精確求得，而b項(xiàng)不易精確求得。但當(dāng)T1 T2以及的值較大時(shí)，b項(xiàng)的值相對(duì)a項(xiàng)是非常小的，這樣b項(xiàng)的不精確對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生的影響就微乎其微了。凱特?cái)[由底座、壓塊、支架、V形刀承和一根長(zhǎng)一米的金屬擺桿組成。金屬擺桿上嵌有二個(gè)對(duì)稱的刀口E和F，作懸掛之用，一對(duì)大小形狀相同、但質(zhì)量不同的大擺錘A、B分別位于擺桿的兩端，另一對(duì)小擺錘D、C位于刀口E和F的內(nèi)側(cè)，擺錘A、D由金屬制成，擺錘C、B由塑料制成。就擺桿的外形而言，擺桿各部分處于對(duì)稱狀態(tài)，其目的在于抵消實(shí)驗(yàn)時(shí)空氣浮力的影響以及減小阻力的影響。調(diào)節(jié)刀口E和F可以改變等值單擺長(zhǎng)l。調(diào)節(jié)擺錘A、B、C、D的位置，可以改變擺桿系統(tǒng)的質(zhì)量分

5、布。h1和h2分別為懸點(diǎn)O和O到擺桿體系重心的距離。當(dāng)四個(gè)擺錘調(diào)節(jié)到某一合適的位置時(shí)，以O(shè)為懸點(diǎn)和以O(shè)為懸點(diǎn)的擺動(dòng)周期相等。當(dāng)l、h1（或h2）和四個(gè)擺錘的位置確定之后，只要測(cè)出擺動(dòng)周期T（TT1T2），便可求得重力加速度g。選定兩刀口間的距離即該擺的等效擺長(zhǎng)l，固定刀口時(shí)要注意使兩刀口相對(duì)擺桿基本對(duì)稱，兩刀口相互平行。用米尺測(cè)出l的值，取參考g值（g9.80m/s2），利用粗略估算T值，作為調(diào)節(jié)T1T2時(shí)的參考值。將擺桿懸掛到支架上水平的V形刀承上，調(diào)節(jié)底座上的螺絲，借助于鉛垂線，使擺桿能在鉛垂面內(nèi)自由擺動(dòng)，倒過來懸掛也是如此。二實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1 實(shí)驗(yàn)儀器本實(shí)驗(yàn)裝置包括凱特?cái)[、光電探頭、米尺和VA

6、FN多用數(shù)字測(cè)試儀。實(shí)驗(yàn)中將光電探頭放在擺桿下方，調(diào)整它的位置和高度，讓擺針在擺動(dòng)時(shí)經(jīng)過光電探測(cè)器。電信號(hào)由B插口輸入到數(shù)字測(cè)試儀中，數(shù)字測(cè)試儀的功能選擇旋鈕放在“振動(dòng)計(jì)數(shù)”檔，時(shí)標(biāo)旋鈕放在“0.1ms”檔，計(jì)停開關(guān)置于“停止”，然后接通電源。讓擺桿作小角度的擺動(dòng)，待其擺動(dòng)若干次穩(wěn)定后，按下數(shù)字測(cè)試儀的“復(fù)位”按鈕。此時(shí)測(cè)試儀開始自動(dòng)記錄一個(gè)周期的時(shí)間。顯示屏左邊顯示擺動(dòng)的次數(shù)（即周期數(shù)），右邊顯示擺動(dòng)數(shù)個(gè)周期的時(shí)間數(shù)值。2 測(cè)量擺動(dòng)周期T1和T2調(diào)節(jié)四個(gè)擺錘的位置，使T1與T2逐漸靠近，一般粗調(diào)用大擺錘，微調(diào)用小擺錘。當(dāng)T1和T2比較接近估算值T時(shí)，最好移動(dòng)小塑錘，使T1與T2的差值小于0.001s。當(dāng)周期的調(diào)節(jié)達(dá)到要求后，將測(cè)試儀的計(jì)停開關(guān)撥到“計(jì)數(shù)”檔，測(cè)量凱特?cái)[正、倒擺動(dòng)10個(gè)周期的時(shí)間，10T1和10T2各測(cè)量5次取平均值。3 計(jì)算重力加速度g及標(biāo)準(zhǔn)誤差將擺桿從刀承上取下，平放在刀口上，使其平衡，平衡點(diǎn)即重心G的所在，測(cè)出（h1）或（l-h1）的值，代入公式（7）中計(jì)算g 值。自己推導(dǎo)誤差傳遞公式，計(jì)算。思考題：1 凱特?cái)[測(cè)重力加速度，在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)上有什么特點(diǎn)？避免了什么量的測(cè)量？降低了哪個(gè)量的測(cè)量精度？實(shí)驗(yàn)上如何來實(shí)現(xiàn)？2 結(jié)合誤差計(jì)