2絕對(duì)值不等式的解法

1、2絕對(duì)值不等式的解法主備：馮宗明 喻浩 徐洪燕 審核：牟必繼古之立大事者，不惟有超世之材，亦必有堅(jiān)古之立大事者，不惟有超世之材，亦必有堅(jiān)忍不撥之志忍不撥之志 .,|;,|, 11111111即即的點(diǎn)的集合的點(diǎn)的集合數(shù)軸上到原點(diǎn)距離大于數(shù)軸上到原點(diǎn)距離大于它的解集是它的解集是由絕對(duì)值的幾何意義由絕對(duì)值的幾何意義對(duì)于不等式對(duì)于不等式即即的點(diǎn)的集合的點(diǎn)的集合小于小于點(diǎn)距離點(diǎn)距離它的解集是數(shù)軸上到原它的解集是數(shù)軸上到原幾何意義幾何意義由絕對(duì)值的由絕對(duì)值的對(duì)于不等式對(duì)于不等式我們知道我們知道xx.|;|,|,|,axaxaxaxaaxaaxaaxa 或或因因而而的的點(diǎn)點(diǎn)的的集集合合表表示示到到原原點(diǎn)點(diǎn)距

2、距離離大大于于的的點(diǎn)點(diǎn)的的集集合合小小于于表表示示數(shù)數(shù)軸軸上上到到原原點(diǎn)點(diǎn)距距離離義義看看那那么么從從絕絕對(duì)對(duì)值值的的幾幾何何意意如如果果一一般般地地0 :.,|;,|,821 圖圖下下在在數(shù)數(shù)軸軸上上表表示示如如的的解解集集是是不不等等式式的的解解集集是是不不等等式式因因此此aaaxaaaxa aOxax |a aOax |x821 .圖圖 我們有我們有或或?qū)τ诮^對(duì)值不等式對(duì)于絕對(duì)值不等式是一個(gè)正實(shí)數(shù)是一個(gè)正實(shí)數(shù)例如例如等式而得到等式而得到上述不上述不解一般可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為解一般可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為即其他絕對(duì)值不等式的即其他絕對(duì)值不等式的的基礎(chǔ)的基礎(chǔ)是解其他絕對(duì)值不等式是解其他絕對(duì)值不等式上述絕對(duì)值

3、不等式上述絕對(duì)值不等式, )|(|,.,axxaxxa 11;|axxaxaxxaaxx 1111 axxaxxaxx111或或,|.,axxaxx 11或或921 .圖圖ax 1ax 11xxaxx |1x1xaxx |1ax 1ax 1.,|所示所示如圖如圖可以在數(shù)軸上表示出來(lái)可以在數(shù)軸上表示出來(lái)以上不等式的解以上不等式的解所以所以的點(diǎn)的距離的點(diǎn)的距離的點(diǎn)與坐標(biāo)為的點(diǎn)與坐標(biāo)為標(biāo)為標(biāo)為的幾何意義是數(shù)軸上坐的幾何意義是數(shù)軸上坐由于絕對(duì)值由于絕對(duì)值92111 xxxx .,的不等式的不等式可以解一些含有絕對(duì)值可以解一些含有絕對(duì)值式及絕對(duì)值的幾何意義式及絕對(duì)值的幾何意義利用上述利用上述 型不等式的

4、解法型不等式的解法和和cbaxcbax |1.|2133 x解不等式解不等式例例,|2132213 xx得由解得解,131 x., 131xx原不等式的解集為因此.,|,所示如圖合的點(diǎn)的集離不大于的點(diǎn)的距標(biāo)為它的解集是數(shù)軸上到坐得兩邊除以如果將從幾何上看1021323132313213 xxOx3131 11021 .圖圖.|7324 x解解不不式式例例,|723732 xx得由解,723723 xx或所以,335 xx或從而. 335xxx或所以原不等式的解集為?解的幾何解釋嗎解的幾何解釋嗎等式的等式的你能給出上述絕對(duì)值不你能給出上述絕對(duì)值不探究探究 等式的解法等式的解法型不型不和和cbxa

5、xcbxax |2.|5215 xx解不等式解不等式例例.,.,.,就可以得出不等式的解就可以得出不等式的解位置位置出具有上述特點(diǎn)的點(diǎn)的出具有上述特點(diǎn)的點(diǎn)的我們只要在數(shù)軸上確定我們只要在數(shù)軸上確定所以所以的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)點(diǎn)的距離之和不小于點(diǎn)的距離之和不小于兩兩軸上到軸上到那么不等式的解就是數(shù)那么不等式的解就是數(shù)別是別是對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分?jǐn)?shù)軸上與數(shù)軸上與設(shè)設(shè)如圖如圖意義來(lái)分析意義來(lái)分析我們從它的幾何我們從它的幾何比較復(fù)雜比較復(fù)雜這個(gè)絕對(duì)值不等式這個(gè)絕對(duì)值不等式分析分析5121121BABA xO1AAB1B3-2-1-121121 .圖圖xO1AAB1B3-2-1-121121

6、 .圖圖 .,.的解上的數(shù)都不是原不等式因此區(qū)間是兩點(diǎn)的距離那么為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別軸上與設(shè)數(shù)如圖解法一123121121 BABA;|,.,515111 BAAAAABA這時(shí)有位到點(diǎn)個(gè)單向左移動(dòng)將點(diǎn)的點(diǎn)的距離之和為點(diǎn)關(guān)鍵要在數(shù)軸上找出與為了求出不等式的解;|,51111 BBABBB這時(shí)也有個(gè)單位到點(diǎn)向右移動(dòng)將點(diǎn)同理的的左邊或點(diǎn)點(diǎn)的距離之和都小于點(diǎn)之間的任何點(diǎn)到與點(diǎn)點(diǎn)從數(shù)軸上可以看到11115BABABA;,xO1AAB1B3-2-1-121121 .圖圖.,5離之和都大于的距右邊的任何點(diǎn)到BA ., 23原不等式的解集是所以 .,|,等式的解集等式的解集們綜合在一起就得到不們綜合在一起就得到不它

7、它把把后后然然況況的情的情解解的的三個(gè)區(qū)間上討論不等式三個(gè)區(qū)間上討論不等式分別在這分別在這先先了三個(gè)區(qū)間了三個(gè)區(qū)間集分成集分成實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)把把對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)軸上與數(shù)軸上與時(shí)時(shí)解解可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)解法解法述述上上分析分析 112212521BAxx.,因此我們有如下解法因此我們有如下解法絕對(duì)值的不等式絕對(duì)值的不等式為不含為不含絕對(duì)值不等式可以轉(zhuǎn)化絕對(duì)值不等式可以轉(zhuǎn)化在這三個(gè)區(qū)間上在這三個(gè)區(qū)間上將數(shù)軸分為三個(gè)區(qū)間將數(shù)軸分為三個(gè)區(qū)間為分界點(diǎn)為分界點(diǎn)以點(diǎn)以點(diǎn)事實(shí)上事實(shí)上BA ,35212 xxxx解得原不等式可以化為時(shí)當(dāng)解法二5212 |,xxx即不等式組 ., 3 的解集是 .,矛盾即原不等式可以化

8、為時(shí)當(dāng)5352112 xxx52112 |,xxx所以不等式組.的解集為 ,25211 xxxx解得原不等式可以化為時(shí)當(dāng)5211 |,xxx即不等式組 .,2的解集是 ., 23原不等到的解集是綜上所述 .,.,的解集的解集利用函數(shù)圖象求不等式利用函數(shù)圖象求不等式數(shù)的觀點(diǎn)數(shù)的觀點(diǎn)我們也可以從函我們也可以從函類似地類似地根根近似近似圖象求方程的圖象求方程的可以利用函數(shù)可以利用函數(shù)的關(guān)系的關(guān)系的根的根零點(diǎn)與方程零點(diǎn)與方程的的由函數(shù)由函數(shù)時(shí)我們知道時(shí)我們知道在學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)在學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)0 xfxfy3 2 1 121-2-123xyO1221 .圖圖.|0521 xx為將原不等式轉(zhuǎn)化解法三即構(gòu)造函數(shù)

9、.|521 xxy.,;,;,142122262 xxxxx y .,.|,.,. 230521023231221不等式的解集是所以原即有時(shí)當(dāng)從圖象可知函數(shù)的零點(diǎn)是它是分段線性函數(shù)圖作出函數(shù)的圖象xxyx?,的特點(diǎn)嗎的特點(diǎn)嗎你能概括一下它們各自你能概括一下它們各自不等式的方法不等式的方法中給出了三種解絕對(duì)值中給出了三種解絕對(duì)值例例思考思考5.,有特點(diǎn)有特點(diǎn)上述三種方法各上述三種方法各的解題過(guò)程可以看到的解題過(guò)程可以看到從例從例5.,.,釋是解題關(guān)鍵釋是解題關(guān)鍵確的幾何解確的幾何解給予絕對(duì)值不等式以準(zhǔn)給予絕對(duì)值不等式以準(zhǔn)幾何意義幾何意義理解絕對(duì)值的理解絕對(duì)值的從中可以發(fā)現(xiàn)從中可以發(fā)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思

10、想了數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)體現(xiàn)等式的幾何意義等式的幾何意義解法一利用了絕對(duì)值不解法一利用了絕對(duì)值不體現(xiàn)了分體現(xiàn)了分等式而解之等式而解之轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不原不等式原不等式然后在這三個(gè)區(qū)間上將然后在這三個(gè)區(qū)間上將成三個(gè)區(qū)間成三個(gè)區(qū)間將數(shù)軸分將數(shù)軸分的解的解解法二利用解法二利用,| ,|0201 xx.,.絕對(duì)值符號(hào)絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)而去掉進(jìn)而去掉項(xiàng)式的符號(hào)項(xiàng)式的符號(hào)確定各個(gè)絕對(duì)值中的多確定各個(gè)絕對(duì)值中的多目的是為了目的是為了將數(shù)軸分為幾個(gè)區(qū)間的將數(shù)軸分為幾個(gè)區(qū)間的為分界點(diǎn)為分界點(diǎn)零點(diǎn)零點(diǎn)以絕對(duì)值的以絕對(duì)值的從中可以發(fā)現(xiàn)從中可以發(fā)現(xiàn)類討論思想類討論思想.)(,.,是解題的關(guān)鍵是解題的關(guān)鍵的增減性的增減性有時(shí)需要考察函數(shù)有時(shí)需要考察函數(shù)象象數(shù)的零點(diǎn)并畫(huà)出函數(shù)圖數(shù)的零點(diǎn)并