二元函數(shù)極限教學(xué)講義

1、二元函數(shù)極限教學(xué)講義1、一元函數(shù)極限的定義，記號(hào)復(fù)習(xí):2、一元函數(shù)連續(xù)的定義一、二元函數(shù)的極限一、二元函數(shù)的極限定義定義. 設(shè)函數(shù)),(yxfz 時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值無限趨于一個(gè)確定的常數(shù)A,當(dāng) 記作：的某空心鄰域內(nèi)有定義,如果點(diǎn)以任何方式無限趨于點(diǎn)Ayxfyyxx),(lim00機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點(diǎn)P0 ),(00yx),(yxPP0),(00yx),(yxfz 則稱 A 為函數(shù)00,yyxx時(shí)的極限. （1）0PP 0PP 0PP 的路徑是任意的；（2） 上面介紹的極限也稱為二重極限；（3） 一元函數(shù)的極限性質(zhì)在這里亦成立注意：（4）用極限定義計(jì)算多元函數(shù)的極限及證明極限的

2、存在比較麻煩，不作要求。 若當(dāng)點(diǎn)),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點(diǎn) (0, 0) 的極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則有21kkk 值不同極限不同值不同極限不同 !在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于,),(000時(shí)yxP不存在 .例例1. 討論函數(shù)函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在. 二重極限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同.

3、 如果它們都存在, 則三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在 .例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、 二元函數(shù)的連續(xù)性元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義 . 設(shè)二元函數(shù)),(yxf),(yxf如果函數(shù)在定義域 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在,如果 否則稱為不連續(xù),0P稱為間斷點(diǎn) .元函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D上連續(xù). 處連續(xù), 在點(diǎn)P0 ),(00yx鄰域內(nèi)有定義,且的某),(),(lim0000yxfyxfyyx

4、x存在,則稱二在點(diǎn)P0 ),(00yx例如例如, 函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在, 又如又如, 函數(shù)11),(22yxyxf上間斷.122 yx 故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).在圓周機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).定理定理：（1）若 f (x, y) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則該函機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) ,()2(yxf, ,Mm在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對(duì)任意，點(diǎn)DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略) 數(shù)是有界函數(shù)。 .11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例2.2.求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例3. 求函數(shù)的連續(xù)域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2oyx2課外作業(yè)： P165. 31. 證明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù) , 故連續(xù).又220yxyxyxyx222