初中不等式分式與分式方程

1、 不等式分式與分式方程【考綱說明】1. 了解分式的概念，會利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運算；能夠根據(jù)具體問題數(shù)量關(guān)系列出簡單的分式方程，會解簡單的可化為一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡，運用二次根式的加、減、乘、除法的法則進(jìn)行二次根式的運算【趣味鏈接】【知識梳理】一不等式部分考點一、不等式的相關(guān)概念1不等式 用不等號連接起來的式子叫做不等式 常見的不等號有五種： “”、 “” 、 “” 、 “”、 “”2不等式的解與解集 不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的解的全

2、體，叫做不等式的解集不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀的表示出來，具體表示方法是先確定邊界點：解集包含邊界點，是實心圓點；不包含邊界點，則是空心圓圈；再確定方向：大向右，小向左.3解不等式 求不等式的解集的過程或證明不等式無解的過程，叫做解不等式.要點詮釋：不等式的解與一元一次方程的解是有區(qū)別的：不等式的解是不確定的，是一個范圍，而一元一次方程的解則是一個具體的數(shù)值考點二、不等式的性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變，即如ab，那么a±cb±c性質(zhì)2：不等式兩邊乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即如果ab，c0，那么acbc（或）性質(zhì)

3、3：不等式兩邊乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，即如果ab，c0，那么acbc（或）要點詮釋：（1）不等式的其他性質(zhì)：若ab，則ba；若ab，bc，則ac；若ab，且ba，則a=b；若a20，則a=0；若ab0或，則a、b同號；若ab0或，則a、b異號.（2）任意兩個實數(shù)a、b的大小關(guān)系：a-bOab；a-b=Oa=b；a-bOab不等號具有方向性，其左右兩邊不能隨意交換：但ab可轉(zhuǎn)換為ba，cd可轉(zhuǎn)換為dc.考點三、一元一次不等式（組）1一元一次不等式的概念只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不等于0的不等式叫做一元一次不等式其標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b0(a0)或ax+b0(a0)

4、 ，ax+b0(a0)或ax+b0(a0)2一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似，但要特別注意不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，不等號要改變方向 解一元一次不等式的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項；(5)化系數(shù)為1 要點詮釋：解一元一次不等式和解一元一次方程類似不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以(或除以)同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向必須改變，這是解不等式時最容易出錯的地方3一元一次不等式組及其解集 含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組 一元一次不等式組中，幾個不等式解集的公共部分叫做這個一

5、元一次不等式組的解集一元一次不等式組的解集通常利用數(shù)軸來確定要點詮釋：判斷一個不等式組是一元一次不等式組需滿足兩個條件：組成不等式組的每一個不等式必須是一元一次不等式，且未知數(shù)相同；不等式組中不等式的個數(shù)至少是2個，也就是說，可以是2個、3個、4個或更多 4一元一次不等式組的解法 由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況如下表不等式組（其中ab）圖示解集 口訣 （同大取大） （同小取小） （大小取中間）無解 （空集） （大大、小小找不到） 注：不等式有等號的在數(shù)軸上用實心圓點表示.要點詮釋：解不等式組時，一般先分別求出不等式組中各個不等式的解集并表示在數(shù)軸上，再求出它們的公共

6、部分，就得到不等式組的解集5一元一次不等式（組）的應(yīng)用 列一元一次不等式（組）解實際應(yīng)用問題，可類比列一元一次方程解應(yīng)用問題的方法和技巧，不同的是，列不等式（組）解應(yīng)用題，尋求的是不等關(guān)系，因此，根據(jù)問題情境，抓住應(yīng)用問題中“不等”關(guān)系的關(guān)鍵詞語，或從題意中體會、感悟出不等關(guān)系顯得十分重要要點詮釋：列一元一次不等式組解決實際問題是中考考查的一個重要內(nèi)容，在列不等式解決實際問題時，應(yīng)掌握以下三個步驟：（1）找出實際問題中的所有不等關(guān)系或相等關(guān)系（有時要通過不等式與方程綜合來解決），設(shè)出未知數(shù)，列出不等式組（或不等式與方程的混合組）；（2）解不等式組；（3）從不等式組（或不等式與方程的混合組）的解

7、集中求出符合題意的答案6一元一次不等式、一元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系一次函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值時，一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次方程；當(dāng)函數(shù)值或時，一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次不等式，利用函數(shù)圖象可以確定的取值范圍.2 分式與分式方程考點一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1分式設(shè)A、B表示兩個整式如果B中含有字母，式子就叫做分式注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.2.分式的基本性質(zhì)（M為不等于零的整式）.3最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡.要點詮釋：分式的概念需注意的問題：(1)分式是兩個整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分?jǐn)?shù)線則可以理解為除號，還含有括號的

8、作用；（2）分式中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；（3）判斷一個代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進(jìn)行判斷（4）分式有無意義的條件：在分式中， 當(dāng)B0時，分式有意義；當(dāng)分式有意義時，B0 當(dāng)B=0時，分式無意義；當(dāng)分式無意義時，B=0 當(dāng)B0且A = 0時，分式的值為零考點二、分式的運算1基本運算法則分式的運算法則與分?jǐn)?shù)的運算法則類似,具體運算法則如下:（1）加減運算 ±= 同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減. ；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計算.（2）乘法運算 兩

9、個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運算 兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.（4）乘方運算 （分式乘方）分式的乘方，把分子分母分別乘方2零指數(shù) .3負(fù)整數(shù)指數(shù) 4分式的混合運算順序 先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的5約分 把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分6通分根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分要點詮釋： 約分需明確的問題：(1)對于一個分式來說，約分就是要把分子與分母都除以同一個因式，使約分前后分式的值相等；(2)約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分

10、母的公因式，其思考過程與分解因式中提取公因式時確定公因式的思考過程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積通分注意事項：(1)通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母；最簡公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積 (2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉 (3)確定最簡公分母的方法：最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；最簡公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.考點三、分式方程及其應(yīng)用1分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程2分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化

11、為整式方程 3分式方程的增根問題驗根：因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解4分式方程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些解題時應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問題，注意檢驗、解釋結(jié)果的合理性要點詮釋： 解分式方程注意事項：（1）去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；（2）解完分式方程必須進(jìn)行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶

12、入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：(1)審仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；(2)設(shè)合理設(shè)未知數(shù)；(3)列根據(jù)等量關(guān)系列出方程；(4)解解出方程；(5)驗檢驗增根；(6)答答題考點四、二次根式的主要性質(zhì)1.；2.；3.；4. 積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；5. 商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.6.若，則.要點詮釋： 與的異同點：（1）不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實數(shù)，0，負(fù)實數(shù)但與都是非負(fù)數(shù)，即，因而它的運算的結(jié)果是有差別的， ，而（2）相同點：當(dāng)

13、被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時，=；時，無意義，而.考點五、二次根式的運算1二次根式的乘除運算(1)運算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個要求：應(yīng)為最簡二次根式或有理式；分母中不含根號.(2)注意知道每一步運算的算理；2二次根式的加減運算先化為最簡二次根式，再類比整式加減運算，明確二次根式加減運算的實質(zhì)；3二次根式的混合運算(1)對二次根式的混合運算首先要明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號，應(yīng)先算括號里面的；(2)二次根式的混合運算與整式、分式的混合運算有很多相似之處，整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用.要點詮釋：怎樣快速準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的混合運算.

14、1.明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；2.在二次根式的混合運算中，原來學(xué)過的運算律、運算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法與乘法的混合運算，可分解為兩個步驟完成，一是進(jìn)行乘法運算，二是進(jìn)行加法運算，使難點分散，易于理解和掌握.在運算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，可以先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)到化簡的目的，但最后結(jié)果一定要化簡.例如，沒有必要先對進(jìn)行化簡，使計算繁瑣，可以先根據(jù)乘法分配律進(jìn)行乘法運算，通過約分達(dá)到化簡目的；(2)多項式的乘法法則及乘

15、法公式在二次根式的混合運算中同樣適用.如：，利用了平方差公式.所以，在進(jìn)行二次根式的混合運算時，借助乘法公式，會使運算簡化.3 一元一次方程考點一、一元一次方程1.等式性質(zhì)（1）等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍是等式.（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不為零），結(jié)果仍是等式.2.方程的概念（1）含有未知數(shù)的等式叫做方程.（2）使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).（3）求方程的解的過程，叫做解方程.3.一元一次方程（1）只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式:.（3）解一元一次方

16、程的一般步驟：去分母；去括號；移項；合并同類項；系數(shù)化成1；檢驗(檢驗步驟可以不寫出來).要點詮釋： 解一元一次方程的一般步驟步驟名 稱方 法依 據(jù)注 意 事 項1去分母在方程兩邊同時乘以所有分母的最小公倍數(shù)（即把每個含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍數(shù)）等式性質(zhì)21、不含分母的項也要乘以最小公倍數(shù)；2、分子是多項式的一定要先用括號括起來.2去括號去括號法則（可先分配再去括號）乘法分配律注意正確的去掉括號前帶負(fù)數(shù)的括號3移項把未知項移到方程的一邊（左邊），常數(shù)項移到另一邊（右邊）等式性質(zhì)1移項一定要改變符號4合并 同類項分別將未知項的系數(shù)相加、常數(shù)項相加1、整式的加減；2、有

17、理數(shù)的加法法則單獨的一個未知數(shù)的系數(shù)為“±1”5系數(shù)化為“1”在方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)（或方程兩邊同時乘以未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù)）等式性質(zhì)2不要顛倒了被除數(shù)和除數(shù)（未知數(shù)的系數(shù)作除數(shù)分母）*6檢根x=a方法：把x=a分別代入原方程的兩邊，分別計算出結(jié)果. 若 左邊右邊，則x=a是方程的解；若 左邊右邊，則x=a不是方程的解.注：當(dāng)題目要求時，此步驟必須表達(dá)出來.說明：（1）上表僅說明了在解一元一次方程時經(jīng)常用到的幾個步驟，但并不是說，解每一個方程都必須經(jīng)過六個步驟；（2）解方程時，一定要先認(rèn)真觀察方程的形式，再選擇步驟和方法；（3）對于形式較復(fù)雜的方程，可依據(jù)有效的數(shù)學(xué)知識將其轉(zhuǎn)化或

18、變形成我們常見的形式，再依照一般方法解.考點二、二元一次方程組1. 二元一次方程組的定義兩個含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程組成的一組方程，叫做二元一次方程組.要點詮釋：判斷一個方程組是不是二元一次方程組應(yīng)從方程組的整體上看，若一個方程組內(nèi)含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1次，這樣的方程組都叫做二元一次方程組2.二元一次方程組的一般形式要點詮釋： a1、a2不同時為0，b1、b2不同時為0，a1、b1不同時為0，a2、b2不同時為0.3. 二元一次方程組的解法(1) 代入消元法；(2) 加減消元法.要點詮釋： （1）二元一次方程組的解有三種情況，即有唯一解、無解、無限多解教材

19、中主要是研究有唯一解的情況，對于其他情況，可根據(jù)學(xué)生的接受能力給予滲透（2）一元一次方程與一次函數(shù)、一元一次不等式之間的關(guān)系： 當(dāng)二元一次方程中的一個未知數(shù)的取值確定范圍時，可利用一元一次不等式組確定另一個未知數(shù)的取值范圍，由于任何二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的形式，所以解二元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)y0時，求x的值.從圖象上看，這相當(dāng)于已知縱坐標(biāo)，確定橫坐標(biāo)的值.考點三、一次方程（組）的應(yīng)用列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟： 1.審:分析題意，找出已知、未知之間的數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系；2.設(shè):選擇恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)(直接或間接設(shè)元)，注意單位的統(tǒng)一和語言完整；3.列:根據(jù)數(shù)量和相等關(guān)系，正確列出代數(shù)

20、式和方程(組)；4.解:解所列的方程(組)；5.驗: (有三次檢驗 是否是所列方程(組)的解；是否使代數(shù)式有意義；是否滿足實際意義)；6.答:注意單位和語言完整.要點詮釋： 列方程應(yīng)注意：（1）方程兩邊表示同類量；（2）方程兩邊單位一定要統(tǒng)一；（3）方程兩邊的數(shù)值相等.【經(jīng)典例題】1解不等式x-5，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來【思路點撥】分?jǐn)?shù)線兼有括號的作用，分母去掉后應(yīng)將分子添上括號同時，用分母去乘不等式各項時，不要漏乘不含分母的項；不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向必須改變；在數(shù)軸上表示不等式的解集，當(dāng)解集是xa或xa時，不包括數(shù)軸上a這一點，則這一點用圓圈表示；當(dāng)解集是

21、xa或xa時，包括數(shù)軸上a這一點，則這一點用實心圓點表示.【答案與解析】解：去分母，得 4（2x-1）-2（10x+1）15x-60， 去括號，得 8x-4-20x-215x-60，移項合并同類項，得-27x-54，系數(shù)化為1，得x2在數(shù)軸上表示解集如下圖所示：【總結(jié)升華】解不等式（組）是中考中易考查的考點，必須熟練掌握2解不等式組并將其解集在數(shù)軸上表示出來.【思路點撥】分別解出兩個不等式的解集，再求出公共的解集即可.【答案與解析】解：由（1）式得5， 由（2）式得-1， -15 數(shù)軸上表示如圖： 【總結(jié)升華】注意解不等式組的解題步驟.3計算【答案與解析】4如果方程 有增根, 那么增根是 .【

22、答案與解析】 因為增根是使分式的分母為零的根,由分母或可得.所以增根是.答案: 【點評】使分母為0的根是增根.5某縣為鼓勵失地農(nóng)民自主創(chuàng)業(yè)，在2012年對60位自主創(chuàng)業(yè)的失地農(nóng)民進(jìn)行獎勵，共計劃獎勵10萬元.獎勵標(biāo)準(zhǔn)是：失地農(nóng)民自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的給予1000元獎勵；自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的，再給予2000元獎勵.問：該縣失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的和自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的農(nóng)民分別有多少人？【思路點撥】根據(jù)失地農(nóng)民自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的給予1000元獎勵：自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的，再給予2000元獎勵列

23、方程求解【答案與解析】方法一： 設(shè)失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的有x人，則根據(jù)題意列出方程 1000x+(60x)(1000+2000)=100000， 解得：x=40， 60-x =60-40=20 答：失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的有40人，自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的農(nóng)民有20人. 方法二： 設(shè)失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的和自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的農(nóng)民有分別有x，y人，根據(jù)題意列出方程組： 解得： 答：失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的有40，自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的農(nóng)民有20人. 6在社會實踐活動中，某校甲、乙、丙三位同學(xué)一同調(diào)查了高峰時段北京的二環(huán)路、三環(huán)路、四環(huán)路的車流量（每小時通過觀測點的汽車車輛數(shù)），三位同學(xué)匯報高峰時段的車流量情況如下： 甲同學(xué)說：“二環(huán)路車流量為每小時10000輛”； 乙同學(xué)說：“四環(huán)路比三環(huán)路車流量每小時多2000輛”； 丙同學(xué)說：“三環(huán)路車流量的3倍與四環(huán)路車流量的差是二環(huán)路車流量的2倍”；請你根據(jù)他們所提供的信息，求出高峰時段三環(huán)路、四環(huán)路的車流量各是多少？【思路點撥】根據(jù)甲、乙、丙三位同學(xué)提供的信息找出等量關(guān)系列出方