平均數(shù)、標(biāo)準差與變異系數(shù)

1、31第三章平均數(shù)、標(biāo)準差與變異系數(shù)本章重點介紹平均數(shù)(mean)、標(biāo)準差(standarddeviation)與變異系數(shù)(variationcoefficient)三個常用統(tǒng)計量，前者用于反映資料的集中性，即觀測值以某一數(shù)值為中心而分布的性質(zhì)；后兩者用于反映資料的離散性，即觀測值離中分散變異的性質(zhì)。第一節(jié)平均數(shù)平均數(shù)是統(tǒng)計學(xué)中最常用的統(tǒng)計量，用來表明資料中各觀測值相對集中較多的中心位置。在畜牧業(yè)、水產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)實踐和科學(xué)研究中，平均數(shù)被廣泛用來描述或比較各種技術(shù)措施的效果、畜禽某些數(shù)量性狀的指標(biāo)等等。平均數(shù)主要包括有算術(shù)平均數(shù)(arithmeticmean)、中位數(shù)(median)、眾數(shù)(mode

2、)、幾何平均數(shù)ggeometricmean)及調(diào)和平均數(shù)(harmonicmean),現(xiàn)分別介紹如下。一、算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測值的總和除以觀測值個數(shù)所得的商，簡稱平均數(shù)或均數(shù),記為X。算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計算。(一)直接法主要用于樣本含量nW30以下、未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計算。設(shè)某一資料包含n個觀測值：Xi、X2、Xn,則樣本平均數(shù)X可通過下式計算:n7Xi(3-1)XiX2.XnimX二二nnnn其中，2為總和符號；ZXi表示從第一個觀測值X1累加到第n個觀測值Xn。當(dāng)ZXiiwii=1在意義上已明確時，可簡寫為SX,(3-1)式即可改寫為:

3、-Ex500、 520、 535、 560、 585、X=n【例3.1】某種公牛站測得10頭成年公牛的體重分別為600、480、510、505、490(kg),求其平均體重。由于2x=500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285,n=10代入(31)式得:,Kx5285一八、x=528.5(kg)n10即10頭種公牛平均體重為528.5kg。(二)加權(quán)法對于樣本含量n>30以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)k，fiXi m-k“. fi i=1(3-2)上采用加權(quán)法計算平均數(shù)，計算公式為：flXif2為-fkXkx二flf2'&

4、quot;-fk式中：xi第i組的組中值；fi一第i組的次數(shù)；一分組數(shù)第i組的次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值X在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此fi稱為是x的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名?！纠?.2】將100頭長白母豬的仔豬一月窩重(單位：kg)資料整理成次數(shù)分布表如下，求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。_ ' fxx =v74520100= 45.2(kg)表31100頭長白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表組別組中值(x)次數(shù)(f)fx101534520256150303526910404530135050一552413206065852070753225合計1004520利用(32)式得:即這100頭長白母豬仔

5、豬一月齡平均窩重為45.2kg。計算若干個來自同一總體的樣本平均數(shù)的平均數(shù)時，如果樣本含量不等，也應(yīng)采用加權(quán)法計算?！纠?.3】某牛群有黑白花奶牛1500頭，其平均體重為750kg,而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為725kg,如果將這兩個牛群混合在一起，其混合后平均體重為多少？此例兩個牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要計算兩個牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個牛群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個牛群平均體重的加權(quán)平均數(shù)，即750 1500 725 12002700=738.89(kg)即兩個牛群混合后平均體重為738.89kg。（三）平均數(shù)的基本性質(zhì)1、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于

6、零。n工(Xi_x)=0或簡寫成z(xx)=0i12、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。nn(常數(shù)a w X)”(Xi-X)2</(Xi-a)2i1i4或簡寫為：x（x-X）2<x（x-:）2以上兩個性質(zhì)可用代數(shù)方法予以證明，這里從略。對于總體而言，通常用科表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為:(3-3)式中，N表示總體所包含的個體數(shù)。當(dāng)一個統(tǒng)計量的數(shù)學(xué)期望等于所估計的總體參數(shù)時，則稱此統(tǒng)計量為該總體參數(shù)的無偏估計量。統(tǒng)計學(xué)中常用樣本平均數(shù)（X）作為總體平均數(shù)（科）的估計量，并已證明樣本平均數(shù)X是總體平均數(shù)科的無偏估計量。二、中位數(shù)將資料內(nèi)所有觀測值從小到

7、大依次排列，位于中間的那個觀測值，稱為中位數(shù)，記為Md。當(dāng)觀測值的個數(shù)是偶數(shù)時，則以中間兩個觀測值的平均數(shù)作為中位數(shù)。中位數(shù)簡稱中數(shù)。當(dāng)所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時，中位數(shù)的代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。中位數(shù)的計算方法因資料是否分組而有所不同。（一）未分組資料中位數(shù)的計算方法對于未分組資料，先將各觀測值由小到大依次排列。1、當(dāng)觀測值個數(shù)n為奇數(shù)時，（n+1）/2位置的觀測值，即X（n+1）/2為中位數(shù);Md=X（n1）/22、當(dāng)觀測值個數(shù)為偶數(shù)時，n/2和（n/2+1）位置的兩個觀測值之和的1/2為中位數(shù)，即：Xn/2X(n/2 1)(3-4)【例3.4】觀察得9只西農(nóng)莎能奶山羊的妊娠天數(shù)為153、

8、156、157,求其中位數(shù)。此例n=9,為奇數(shù)，則：Md=x（n 由）/2 =x（9 書）/2 =x5=150 （天）即西農(nóng)莎能奶山羊妊娠天數(shù)的中位數(shù)為150天。144、145、147、149、150、151、【例3.5】某犬場發(fā)生犬瘟熱，觀察得10只仔犬發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡分別為7、8、8、9、11、12、12、13、14、14 天，求其中位數(shù)。此例n=10,為偶數(shù)，則：一 Xn/2 ' X(n/2 1)Md )2_ X5 X6一 211 12-2= 11.5 (天)即10只仔犬從發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡天數(shù)的中位數(shù)為11.5天。若資料已分組，編制成次數(shù)分布表，則可（35）（二）已分組資料中位數(shù)的計

9、算方法利用次數(shù)分布表來計算中位數(shù)，其計算公式為：inMd=L（c）f2式中：L中位數(shù)所在組的下限；i一組距；f一中位數(shù)所在組的次數(shù)；n總次數(shù)；c一小于中數(shù)所在組的累加次數(shù)?！纠?.6】某奶牛場68頭健康母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時間整理成次數(shù)分布表如表3-2所示，求中位數(shù)。表3-268頭母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時間次數(shù)分布表間隔時間（d）頭數(shù)（f）累加頭數(shù)122611274123425613165771203672861652871011264102116266>117268由表32可見：i=15,n=68,因而中位數(shù)只能在累加頭數(shù)為36所對應(yīng)的“5771”這一組，于是可確定L=57,

10、f=20,C=16,代入公式（35）得：in1568Md=L+（-c）=57+（一16）=70.5（天）f2202即奶牛頭胎分娩到第一次發(fā)情間隔時間的中位數(shù)為70.5 天。三、幾何平均數(shù)n個觀測值相乘之積開n次方所得的方根，稱為幾何平均數(shù)，記為Go它主要應(yīng)用于畜牧業(yè)、水產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)動態(tài)分析，畜禽疾病及藥物效價的統(tǒng)計分析。如畜禽、水產(chǎn)養(yǎng)殖的增長率，抗體的滴度，藥物的效價，畜禽疾病的潛伏期等，用幾何平均數(shù)比用算術(shù)平均數(shù)更能代表其平均水平。其計算公式如下：1G=：僅1X2X3Xn=(為X2X3Xn)n(36)為了計算方便，可將各觀測值取對數(shù)后相加除以n,得lgG,再求lgG的反對數(shù)，即得G值，即G=l

11、g(lgXi+lgX2十十lgXn)(37)n【例3.7】某波爾山羊群19972000年各年度的存欄數(shù)見表33,試求其年平均增長率。表33某波爾山羊群各年度存欄數(shù)與增長率年度存欄數(shù)(只)增長率(X)LgX1997140一一19982000.429-0.36819992800.400-0.39820003500.250-0.6022lgX=-1.368利用公式(37)求年平均增長率j1G=lg-(lgXilgX2IgXn)n=lg-11(-0.368-0.3980602)3=lg-1(-0.456)=0.3501即年平均增長率為0.3501或35.01%。四、眾數(shù)資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個觀測值或

12、次數(shù)最多一組的組中值，稱為眾數(shù)，記為M。如表2-3所列的50枚受精種蛋出雛天數(shù)次數(shù)分布中，以22出現(xiàn)的次數(shù)最多，則該資料的眾數(shù)為22天。又如例3.6所列出的次數(shù)分布表中，5771這一組次數(shù)最多，其組中值為64天，則該資料的眾數(shù)為64天。五、調(diào)和平均數(shù)資料中各觀測值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)，記為H,即(38)調(diào)和平均數(shù)主要用于反映畜群不同階段的平均增長率或畜群不同規(guī)模的平均規(guī)模?！纠?.8】某保種牛群不同世代牛群保種的規(guī)模分別為：0世代200頭，1世代220頭，2世代210頭；3世代190頭，4世代210頭，試求其平均規(guī)模。利用公式（39）求平均規(guī)模：1,1=208.33 (頭)

13、0.0048115(200220210190210)3(0.024)即保種群平均規(guī)模為208.33頭。對于同一資料，算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)。上述五種平均數(shù)，最常用的是算術(shù)平均數(shù)。第二節(jié)標(biāo)準差一、標(biāo)準差的意義用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強弱受樣本資料中各觀測值變異程度的影響。如果各觀測值變異小，則平均數(shù)對樣本的代表性強；如果各觀測值變異大，則平均數(shù)代表性弱。因而僅用平均數(shù)對一個資料的特征作統(tǒng)計描述是不全面的，還需引入一個表示資料中觀測值變異程度大小的統(tǒng)計量。全距（極差）是表示資料中各觀測值變異程度大小最簡便的統(tǒng)計量。全距大，則資料中各觀測值變異程度大，全距小，則資料中各觀測值變異程

14、度小。但是全距只利用了資料中的最大值和最小值，并不能準確表達資料中各觀測值的變異程度，比較粗略。當(dāng)資料很多而又要迅速對資料的變異程度作出判斷時，可以利用全距這個統(tǒng)計量。為了準確地表示樣本內(nèi)各個觀測值的變異程度，人們首先會考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準，求出各個觀測值與平均數(shù)的離差，即（x-x）,稱為離均差。雖然離均差能表達一個觀測值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因為離均差有正、有負，離均差之和為零，即2（x-X）=0,因而不能用離均差之和2（x-X）來表示資料中所有觀測值的總偏離程度。為了解決離均差有正、有負，離均差之和為零的問題，可先求離均差的絕對值并將各離均差絕對值之和除以觀測值n求得平均絕對離差，即N

15、|x-x|/n。雖然平均絕對離差可以表示資料中各觀測值的變異程度，但由于平均絕對離差包含絕對值符號，使用很不方便，在統(tǒng)計學(xué)中未被采用。我們還可以采用將離均差平方的辦法來解決離均差有正、有負，離均差之和為零的問題。先將各個離均差平方，即(xx)2,再求離均差平方和，即2(xX)2,簡稱平方和，記為SG由于離差平方和常隨樣本大小而改變，為了消除樣本大小的影響，用平方和除以樣本大小，即2(xx)2/n,求出離均差平方和的平均數(shù)；為了使所得的統(tǒng)計量是相應(yīng)總體參數(shù)的無偏估計量，統(tǒng)計學(xué)證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時，分母不用樣本含量n,而用自由度n-1,于是，我們采用統(tǒng)計量2(xx)2/n1表示資料的變

16、異程度。統(tǒng)計量2(x又)2/n1稱為均方(meansquare縮寫為MS)，又稱樣本方差，記為S2,即22S=£(x-x)/n-1(39)相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為(720對于有限總體而言，b2的計算公式為：(310)22。=£(x)/N由于樣本方差帶有原觀測單位的平方單位，在僅表示一個資料中各觀測值的變異程度而不作其它分析時，常需要與平均數(shù)配合使用，這時應(yīng)將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計學(xué)上把樣本方差S2的平方根叫做樣本標(biāo)準差，記為S,即：n -1(3-11)r一_22_2由于“(x-x)-(x-2xxx)二x2-2xxxnx2=Z一23n(所以(3-1

17、1)式可改寫為:(3-12)相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準差，記為b。對于有限總體而言，b的計算公式為:(3-13 )b(xE2/N在統(tǒng)計學(xué)中，常用樣本標(biāo)準差S估計總體標(biāo)準差b。二、標(biāo)準差的計算方法（一）直接法對于未分組或小樣本資料，可直接利用（311）或（3-12）式來計算標(biāo)準差?！纠?.9】計算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量：450,450,500,500,500,550,550,550,600,600,650(g)的標(biāo)準差。此例n=10,經(jīng)計算得：Nx=5400,Nx2=2955000,代入(312)式得:£x2-(£x)2/n/2955000-54002/10S=nr1=V10n

18、=65.828(g)即10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的標(biāo)準差為65.828g。（二）加權(quán)法對于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料,法計算標(biāo)準差。計算公式為：可利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)_£f(x-x)2_三fx2-(Zfx)2/Zfs-vf-1-'、f-1(314)式中，f為各組次數(shù)；x為各組的組中值；Sf=n為總次數(shù)?！纠?.10利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數(shù)分布表（見表3-4）計算標(biāo)準差。將表3-4中的Nf、2僅、2fx2代入（314）式得:= 3.5524 (g)“fx2-Cfx)2/%f“f-1575507.11-10705.12/200200-1即某純系蛋雞200枚蛋重的標(biāo)準

19、差為3.5524g。表3-4某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布及標(biāo)準差計算表組別組中值（x）次數(shù)（f）fxfx244.1545.03135.06075.045.8546.76280.213085.3447.5548.416774.437480.9649.2550.1221102.255220.2250.9551.8301554.080497.2052.6553.5442354.0125939.0054.3555.2281545.085317.1256.0556.9301707.097128.3057.7558.612703.241207.5259.4560.35301.518180.4561.

20、1562.04248.015376.00合計2f=2002僅=10705.121x2=575507.11三、標(biāo)準差的特性（一）標(biāo)準差的大小，受資料中每個觀測值的影響，如觀測值間變異大，求得的標(biāo)準差也大，反之則小。（二）在計算標(biāo)準差時，在各觀測值加上或減去一個常數(shù)，其數(shù)值不變。（三）當(dāng)每個觀測值乘以或除以一個常數(shù)a,則所得的標(biāo)準差是原來標(biāo)準差的a倍或1/a倍。（四）在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料中約有68.26%的觀測值在平均數(shù)左右一倍標(biāo)準差（X±S）范圍內(nèi)；約有95.43%的觀測值在平均數(shù)左右兩倍標(biāo)準差（X±2S）范圍內(nèi)；約有99.73%的觀測值在平均數(shù)左右三倍標(biāo)準差（X

21、±3S）范圍內(nèi)。也就是說全距近似地等于6倍標(biāo)準差，可用（全距/6）來粗略估計標(biāo)準差。第三節(jié)變異系數(shù)變異系數(shù)是衡量資料中各觀測值變異程度的另一個統(tǒng)計量。當(dāng)進行兩個或多個資料變異程度的比較時，如果度量單位與平均數(shù)相同，可以直接利用標(biāo)準差來比較。如果單位和（或）平均數(shù)不同時，比較其變異程度就不能采用標(biāo)準差，而需采用標(biāo)準差與平均數(shù)的比值（相對值）來比較。標(biāo)準差與平均數(shù)的比值稱為變異系數(shù)，記為CV。變異系數(shù)可以消除單位和（或）平均數(shù)不同對兩個或多個資料變異程度比較的影響。變異系數(shù)的計算公式為：CV=SM10%（315）x【例3.11已知某良種豬場長白成年母豬平均體重為190kg,標(biāo)準差為10.5kg,而大約克成年母豬平均體重為196kg,標(biāo)準差為8.5kg,試問兩個品種的成年母豬，那一個體重變異程度大。此例觀測值雖然都是體重，單位相同，但它們的平均數(shù)不相同，只能用變異系數(shù)來比較其變異程度的大小。由于，長白成年母豬體重的變異系數(shù)：CV=四5乂100%=5.53%190大約克成年母豬體重的變異系數(shù)：CV=85X100%=4.34%196所以，長白成年母豬體重的變異程度大于大約克成年母豬。因而在利用變異系注意，變異系數(shù)的大小，同時受平均數(shù)和標(biāo)準差兩個統(tǒng)計量的影響,數(shù)表示資料的變異程度時，最好將平均數(shù)和標(biāo)準差也列出。1、生物