中考數(shù)學(xué)例析直線上動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離和的最值問(wèn)題

1、“將軍飲馬”老歌新唱例析直線上動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離和的最值問(wèn)題王柏校 古希臘有位將軍要從A地出發(fā)到河邊去飲馬，然后再到B地軍營(yíng)視察，問(wèn)怎樣選擇飲馬地點(diǎn)，才能使路程最短？這是著名的“將軍飲馬”問(wèn)題，在河邊飲馬的地點(diǎn)有很多處，怎樣找出使兩條線段之和最短的那個(gè)點(diǎn)來(lái)，我們只要設(shè)L為河（如圖1），作AOL交L于O點(diǎn)，延長(zhǎng)AO至，使O=AO；連結(jié)B，交L于C，則C點(diǎn)就是所要求的飲馬地點(diǎn)。再連結(jié)AC，則路程（AC+CB）為最短的路程。為什么飲馬地點(diǎn)選在C點(diǎn)能使路程最短？因?yàn)锳是A點(diǎn)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)，AC與C是相等的。而B是一條線段，所以B是連結(jié)A、B這兩點(diǎn)間的所有線中，最短的一條，所以AC+CB=C+CB=B也

2、是最短的一條路了。這就是運(yùn)用軸對(duì)稱變換，找到的一種最巧妙的解題方法。這一流傳近2000年的名題至今還被命題者所喜愛，近年來(lái)許多省市中考中出現(xiàn)了以此故事為背景的試題，它們所考查的深度和廣度也在不斷演變、拓展，而且又常與其他的數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合，突出了數(shù)學(xué)的思維價(jià)值和應(yīng)用能力，能夠有效地體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，現(xiàn)從2009年中考試題中擷取與此相關(guān)的試題來(lái)分類說(shuō)明，供廣大讀者參考。一、演變成與正方形有關(guān)的試題例1（2009年撫順）如圖2所示，正方形的面積為12，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對(duì)角線上有一點(diǎn)，使的和最小，則這個(gè)最小值為（ ） A B C3 D 分析與解：正方形ABCD是軸對(duì)稱圖形

3、，對(duì)角線AC所在直線是它的一條對(duì)稱軸，相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)B、D關(guān)于對(duì)角線AC對(duì)稱,在這個(gè)問(wèn)題中D和E是定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)。我們可以找到一個(gè)定點(diǎn)D的軸對(duì)稱點(diǎn)B，連結(jié)BE，與對(duì)角線AC交點(diǎn)處P就是使距離和最小的點(diǎn)（如圖3），而使PD+PE的和的最小值恰好等于BE,因?yàn)檎叫蔚拿娣e為12，所以它的邊長(zhǎng)為2，即PD+PE的最小值為2。二、演變成與梯形有關(guān)的試題例2（2009鄂州）已知直角梯形ABCD中ADBC,ABBC，AD=2,BC=DC=5,點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，則當(dāng)PA+PD取最小值時(shí)，APD中邊AP上的高為（ ）A B C D3BCDAP圖4分析與解：如圖，先作出A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E,連結(jié)DE交BC于P

4、點(diǎn)，連結(jié)AP,再過(guò)點(diǎn)D作DFBC于F,過(guò)點(diǎn)D作DGAP于G.先可以根據(jù)梯形知識(shí)和勾股定理可以求得DF=4,從而AB=4,再由AB=BE且ADBC,知道BP是ABE的中位線，BP=AD=1得AP=.因?yàn)锳DP的面積=ADDF=APDG,所以AP邊上的高DG為=,即正確答案是C.三、演變成與圓有關(guān)的試題例3（2009龍巖）如圖，AB、CD是半徑為5的O的兩條弦，AB = 8，CD = 6，MN是直徑，ABMN于點(diǎn)E，CDMN于點(diǎn)F，P為EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值為 .分析與解：首先根據(jù)對(duì)稱知識(shí)確定點(diǎn)P的位置，連結(jié)BC交MN于點(diǎn)P，根據(jù)垂徑定理易知AE=4,CF=3,EF=7.再過(guò)C作C

5、GAB于點(diǎn)G,在RtBCG中，CG=EF=7,BG=BE+EG=3+4=7,所以PA+PC的最小值為BC=7.四、演變成與直角坐標(biāo)系有關(guān)的試題例4（2009孝感）在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，2），B（4，2）兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C（1，n），當(dāng)n = 時(shí)，AC + BC的值最小分析與解：點(diǎn)A和B在直角坐標(biāo)系下的位置如圖8，此問(wèn)題中A,B是定點(diǎn)，而點(diǎn)C（1，n）在直線x=1上,可以找出A點(diǎn)關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)A坐標(biāo)是(1,-2),經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和A的直線解析式為y=x-，所以當(dāng)x=1時(shí)n=-。這題與點(diǎn)的坐標(biāo)和一次函數(shù)知識(shí)想結(jié)合，考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力。解題時(shí)要畫出示意圖，在直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的大致位

6、置，就可以比較明確的看出利用將軍飲馬的背景，再利用坐標(biāo)知識(shí)求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，最后結(jié)合一次函數(shù)求出結(jié)果。五、演變成與一次函數(shù)有關(guān)的試題例5（2009荊門）一次函數(shù)y=kxb的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)如圖9(1)求該函數(shù)的解析式；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PCPD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo) 圖9分析與解：利用待定系數(shù)法易求得函數(shù)解析式為：y2x4；求 PCPD的最小值時(shí)既可以用代數(shù)方法求解，也能用幾何方法求出，關(guān)鍵還是正確找到能使PC+PD的值最小的點(diǎn)的位置。如圖10，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為，連結(jié)P、D，則PCPC

7、PCPDPCPDCD，即C、P、D共線時(shí)，PCPD的最小值是CD連結(jié)CD，在RtDCC中，CD2；易得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，1)(亦可作RtAOB關(guān)于y軸對(duì)稱的)六、演變成與二次函數(shù)有關(guān)的試題例6（2009重慶）如圖11，拋物線與x軸交與A(1,0),B(- 3，0)兩點(diǎn)， （1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得QAC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析與解：(1)將A(1，0)，B(3，0)代中得 拋物線解析式為： (2)存在 理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱 直線BC與的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)， 此

8、時(shí)AQC周長(zhǎng)最小 C的坐標(biāo)為：(0，3) 直線BC解析式為： Q點(diǎn)坐標(biāo)即為的解 Q(1，2)七、演變成綜合型試題例6（2009 衢州）如圖12，已知點(diǎn)A(-4，8)和點(diǎn)B(2，n)在拋物線上(1)求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(2)平移拋物線，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，點(diǎn)C(-2，0)和點(diǎn)D(-4，0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，AC+CB 最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

9、明理由圖124x22A8-2O-2-4y6BCD-44圖134x22A8-2O-2-4y6BCD-44QP分析與解： (1) （如圖13）將點(diǎn)A(-4，8)的坐標(biāo)代入，解得將點(diǎn)B(2，n)的坐標(biāo)代入，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，則點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，-2)圖144x22A8-2O-2-4y6BCD-44A直線AP的解析式是令y=0，得即所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(，0)(2)（如圖14）解法1：CQ=-2-=，故將拋物線向左平移個(gè)單位時(shí)，AC+CB最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為解法2：設(shè)將拋物線向左平移m個(gè)單位，則平移后A，B的坐標(biāo)分別為A(-4-m，8)和B(2-m，2)，點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)

10、稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-4-m，-8)直線AB的解析式為要使AC+CB最短，點(diǎn)C應(yīng)在直線AB上，將點(diǎn)C(-2，0)代入直線AB的解析式，解得圖154x22A8-2O-2-4y6BCD-44AB故將拋物線向左平移個(gè)單位時(shí)AC+CB最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為（如圖15）左右平移拋物線，因?yàn)榫€段AB和CD的長(zhǎng)是定值，所以要使四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短，只要使AD+CB最短；第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有AD+CB>AD+CB，因此不存在某個(gè)位置，使四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短第二種情況：設(shè)拋物線向左平移了b個(gè)單位，則點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為A(-4-b，8)和B(2-b，2)因?yàn)镃D=2，因此將點(diǎn)B向左平移2個(gè)單位得B(-b，2)，要使AD+CB最短，只要使AD+DB最短點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-4-b，-8)，直線AB的解析式為要使AD+DB最短，點(diǎn)D應(yīng)在直線AB上，將點(diǎn)D(-4，0)代入直線AB的解析式，解得故將拋物線向左平移時(shí)，存在某個(gè)位置，使四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為綜上所述，